1、4.5.1 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解方程解法时间图 中国 公元50年100年一次方程、二次方程和三次方程根11世纪北宋贾宪三次方程正根数值解法13世纪南宋秦九韶任意次代数方程正根解法7世纪隋唐王孝通三次或三次以上方程方程解法时间图 西方 一次方程、二次方程的一般解法1541年意大利塔尔塔利亚三次方程一般解法18021829挪威阿贝尔证明了五次以上一般方程没有求根公式记载了费拉里的四次方程一般解法9世纪阿拉伯花拉子米1545年意大利卡尔达诺解解方程的历史方程的历史二次函数与二次方程我的解是3和-1我的根有点难度，等你们学完这节你们就会了！探究新知1.求下列方程的解(1)21 0
2、x 2(2)23 0 xx(3)ln26 0 xx 12我的解是知识探究 我们已经学习过用二次函数的观点来认识一元二次方程和不等式，知道一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的解就是对应二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的零点.问题1:完成下列表格.验证方程的根，对应函数的零点，以及函数图象与x轴的交点的关系，并说说什么是函数的零点？一元二次方程 x22x3=0 x22x+1=0 x22x+3=0 方程的根二次函数函数的零点函数的图象以及与x轴的公共点x1=-1,x2=3x1=x2=1没有实数解y=x22x3y=x22x+1y=x22x+3-1,31没有零点(-1,0)(3,0)(1,
3、0)结论:1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.零点：零点：对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的的实数实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点.问题问题1:函数的零点是一个点吗？函数的零点是一个点吗？零点不是一个点，零点指的是一个实数零点不是一个点，零点指的是一个实数.问题问题2:试归纳函数零点的等价说法？试归纳函数零点的等价说法？方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)有零点有零点 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴轴有交点有交点概念：概念：数形 问题2:类比二次函数的零点，对于一般函
4、数 y=f(x)，你能说说什么是函数 y=f(x)的零点吗？2).区别:1).联系:数值上相等：求函数零点就是求方程的解.存在性相同：函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点零点对于函数而言，解对于方程而言函数的零点与方程的解有什么联系和区别？函数零点概念的理解根据零点的概念判断与填空根据零点的概念判断与填空:(1)任何函数都有零点.（）(2)的零点是 .（）(3)如图所示，函数 的零点是2xy)0,2()(xf3,1 练习：零点.零点.(3)写出f(x)的(3)写出f(x)的 ；实数实数(2)解方程(2)解方程 0；0；)步骤：(1)令f(x步骤：
5、(1)令f(x解的【类题通法】函数零点存在性定理函数零点存在性定理第第1组组第第2组组上面两组镜头，哪一组能说明人一定曾渡过河上面两组镜头，哪一组能说明人一定曾渡过河?ABx0y 问题3:问题3:由以上可知，当我们无法用公式解方程f(x)=0时，我们可以用怎样的方法来求其实数解？利用函数y=f(x)的性质和图象，找出函数的零点，从而得到方程的解。问题4:对于二次函数 f(x)=x2-2x-3 ，观察它的图象，发现它在区间2,4和-2,0各有一个零点.(1)这时，函数图象与x轴有什么关系？(2)你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系？在零点及其附近，函数图象连续不断；函数图象在零
6、点处穿过了x轴。函数图象在区间(2,4)上，函数图象从下到上穿过了x轴，即 f(2)0，f(2)f(4)0 ，f(0)0，f(-2)f(0)0.(3)再任意画几个函数图象，观察零点所在的区间，以及在这这一区间上函数图象与x轴的关系.类似地，你得到用函数 f(x)的取值规律的方法吗？()2f xx 2()log(2)f xx()33xf x 函数图象在区间1,3上连续不断；并在(1,3)上从上到下穿过了x轴。(1)0,(3)0ff(1)(3)0ff 函数图象在区间2,4上连续不断；并在(2,4)上从下到上穿过了x轴。(2)0,(4)0ff(2)(4)0ff 函数图象在区间0,2上连续不断；并在(
7、0,2)上从下到上穿过了x轴。(0)0,(2)0,ff(0)(2)0ff 问题5:由以上的分析，你能说说在区间(a,b)上，y=f(x)在什么样的情况下一定有零点？一般地，如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即 存在 c (a,b),使得 f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0 的解.函数零点存在性定理 问题6：(1)如果函数 y=f(x)在区间a,b上有 f(a)f(b)0，那么 函数 y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？(2)如果函数 y=f(x)在区间a,b上是
8、连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？xoyaby=()f xxoyaby=()f x “在区间a,b上图象连续不断”和“f(a)f(b)0”这两个条件缺一不可。(3)如果函数 y=f(x)在区间a,b上是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)f(b)0？y=()f x (4)如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，但是否只有一个零点呢？y=()f x(5)如何理解函数零点存在定理？如果函数 y=f(x)在区间a,b具有单调性呢？a
9、b（不变号零点）（变号零点）理解此定理时应注意以下几个问题：(1)此定理不可逆.即 若函数y=f(x)同时满足上述两个条件，则y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点，但有零点，却不一定满足上述两个条件.因此，上述两个条件是函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点的充分不必要条件。(2)此定理不能确定零点的个数.即 若函数y=f(x)同时满足上述两个条件，则y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点，但零点不一定只有一个。但若函数y=f(x)在区间(a,b)内还同时具有单调性，则函数在这区间(a,b)上只有一个零点.(5)如何理解函数零点存在定理？练习 下列三图分别是同一个函数在不同范围的
10、图象，你能仅根据其中的某一图象，得出函数在某一个区间上只有一个零点的判断？为什么？(教材P144练习第1题)不能。因为当自变量在不同的范围内取值时，图象呈现的细节有可能不相同。在本题中，当x(-200,200),x(-20,20),x(-2,2)时，看到的零点个数是不同的。所以确定函数的零点往往需要函数的了解函数的性质，并借助相关的定理例1.求方程lnx+2x6=0实数解的个数例 1解：设函数f(x)=lnx+2x6，则f(x)的定义域为(0,+)，列表，并作出f(x)的图象x1 2 3456789f(x)-4 4-1.3069-1.30691.09863.38635.60947.79189.
11、945912.079414.1972f(2)0，即 f(2)f(3)0.由函数零点存在定理，f(x)在(2,3)内至少有一个零点.又 f(x)=lnx+2x6是增函数,f(x)是只有一个零点,方程lnx+2x6=0有1个实数解.由表和图象得f(x)=lnx+2x6 思考1：以上解法中，列表和作图都借助了工具。事实上，本题还可以先判定函数是增函数，再让x在定义域内取值，由f(x)的符号来得出零点的个数。除此之外，你还有别的解法吗？例1.求方程lnx+2x6=0实数解的个数另解：由lnx+2x6=0得 lnx=-2x+6 设f(x)=lnx,g(x)=-2x+6.作出函数 f(x)和 g(x)的图
12、象，如右.由图知，函数f(x)和 g(x)的图象只有一个公共点P(x0,y0)，其中x0(2,3)方程lnx=-2x+6只有一个解,即lnx+2x6=0有1个实数解.xoyf(x)=lnxg(x)=-2x+600(,)P xy0 x减函数增函数思考2：如何判定函数y=f(x)零点(或方程f(x)=0的解)的个数？思路1.解方程法：思路2.性质法：一是直接解方程f(x)=0或判断方程解的个数;根据函数f(x)的性质和零点存在定理进行判断 二是利用函数图象.由函数f(x)=0得g(x)=h(x)，再分别作出g(x)和h(x)的图象，则两图象的交点个数得出结论D操作演练，素养提升操作演练，素养提升例
13、2.判断函数 f(x)=4-3x+log2 x有多少个零点？解：思路2：转化判断方程4-3x+log2 x=0根的个数.思路1：在定义域内，让x取一些值，由f(x)的正负来判断；函数的定义域为2()43log(0,)f xxx 1()32f 132322143log1332 116162143log316 0 1()16f 144211()43l20og344f 0 122211()43log33022f 2(1)43l10og1f 22(2)43log 240f 2(3)25log 30f .x随着x的增加，3 增加越来越快，增加越来越慢2log x越来小2()43logxf xx (4)7
14、70f 有两个零点。()f xxoy另解：由 f(x)=4-3x+log2 x=0得 log2 x=3x-4 设f(x)=log2 x,g(x)=3x-4 作出f(x)和g(x)的图象 由图可得 函数f(x)和g(x)的图象有两个公共点。方程4-3x+log2 x=0有两个实数解，即 f(x)=4-3x+log2 x有2个零点。2xg(x)=3x-4f(x)=log2 x1x例2.判断函数 f(x)=4-3x+log2 x有多少个零点？思考1：这种解法好不好，为什么？若 f(x)=4+3x+log2 x呢？不好。一是事先并不知道各个零点所在的大致区间，二是x取哪一些值不好把握。但若如例2中，函
15、数是增函数或减函数，则这种方法则比较方便。思考2：你能用例2的方法来判断方程4-3x+log2 x=0根的个数吗？增函数增函数2、方程、函数、函数图象之间的关系方程、函数、函数图象之间的关系方程方程f(x)0有实数根有实数根函数函数yf(x)的图象与的图象与_有交点有交点函数函数yf(x)有有_3、函数零点的存在性定理函数零点的存在性定理如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a，b上的图象是上的图象是_的一条曲线，并且有的一条曲线，并且有_.那么，函数那么，函数yf(x)在区间在区间(a，b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a，b)，使得使得_，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)0的根的根1、函数的零点函数的零点对于函数对于函数yf(x)，把使，把使_叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点f(x)=0的实数的实数x课堂小结课堂小结x轴轴零点零点连续不断连续不断f(a)f(b)0f(c)=0课堂小结：课堂小结：.函数零点的定义；2.函数的零点与方程的根的等价关系；5.确定函数的零点大致区间的方法；6.三种思想：函数与方程思想；数形结合思想；转化与化归思想.1.函数零点与方程解的关系:2.用函数方程思想，数形结合思想，求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间 作业:课本P155 习题4.5 2、3题 课堂小结函数方程零点解数 值存在性个 数
