1、5.5.2 简单的三角恒等变换（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一、单选题1. cos2x2-78-cos2x2+78可化简为 ( )A. 2sinxB. -2sinxC. 22sinxD. -22sinx2. 若cos=-45，是第三象限角，则1+tan21-tan2= ( )A. -12B. 12C. 2D. -23. (tan10-3)sin40的值为 ( )A. -1B. 0C. 1D. 24. 已知是第三象限角，且sin4+cos4=59，则sin2等于 ( )A. 223B. -223C. 23D. -235. 在ABC中，若sinBsinC
2、=cos2A2，则此三角形为 ( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6. 已知，均为锐角，且tan=cos-sincos+sin，则tan(+)的值为 ( )A. -1B. 1C. 2D. 37. 已知180360，则cos2的值等于()A. -1-cos2B. 1-cos2C. -1+cos2D. 1+cos28. 已知sin=-35，372，则tan2的值为()A. 3B. -3C. 13D. -139. 计算tan4+cos22cos24-的值为( )A. -2B. 2C. -1D. 110. 设函数fx=2cos2x+3sin2x+a(a为实常数)在
3、区间0,2上的最小值为-4，那么a=( )A. 4B. -6C. -4D. -311. 已知cos-6+sin=453，则sin+6的值是( )A. -235B. 235C. -45D. 4512. 已知tan2=-12，则sin+4的值是( )A. 210B. 25C. -210D. -25二、多选题13. 【多选题】已知函数f(x)=cos2x-1sin2x，则有 ( )A. 函数f(x)的图象关于直线x=2对称B. 函数f(x)的图象关于点2,0对称C. 函数f(x)的最小正周期为2D. 函数f(x)在0,2内单调递减14. 对于函数f(x)=sinx+2cosx，给出下列四个命题，正确
4、的有()A. 存在0,2，使f()=34B. 存在R，使函数f(x+)的图象关于y轴对称C. 存在R，使函数f(x+)的图象关于原点对称D. 当x0,2时，函数f(x)=sinx+2cosx的值域为1,2三、填空题15. 若tan-1tan+1=-13，则sin2=_16. 化简2+cos2-sin21=_17. 在ABC中，若3cos2A-B2+5sin2A+B2=4，则tanAtanB=18. 设f(x)=3sin3x+cos3x，若对任意实数x都有mf(x)，则实数m的取值范围是19. 设当x=时，函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值，则cos=_20. 函数y=cos2xcos
5、5-2sinxcosxsin65的递增区间是_四、解答题21. 已知函数f(x)=2cos(x-12)，xR. (1)求f(-6)的值;(2)若cos=35，(32,2)，求f(2+3)的值22. 已知，都是锐角，且sinsin=cos(+)，求证：tan=tan1+2tan223. 已知函数fx=sinx-6+cosx-3，gx=2sin2x2(1)若是第一象限角，且f=335，求g()的值；(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合24. 已知函数fx=1+1tanxsin2x-2sinx+4sinx-4(1)若tan=2，求f()；(2)若x12,2，求f(x)的取值范围答案和解析1.
6、【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式及其应用、两角和与差的三角函数关系和诱导公式.利用诱导公式、cos2=2cos2-1、cos(+)=coscos-sinsin和cos(-)=coscos+sinsin即可化简【解答】解：cos2(x2-78)-cos2(x2+78)，=1222cosx-22sinx-22cosx+22sinx，=-22sinx，故选D2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式及其应用掌握tan=sincos,sin2+cos2=1,cos=cos22-sin22,sin=2sin2cos2，即可求出答案【解答】解：因为cos=-45，是第三象限角，所
7、以sin=-1-cos2=-35，所以1+tan21-tan2=1+sin2cos21-sin2cos2=sin2+cos2cos2-sin2，=sin2+cos2cos2-sin2cos2-sin22=cos22-sin221-2sin2cos2，=cos1-sin=-451-35=-12，故选A3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查两角和与差的三角函数公式和诱导公式.灵活运用三角恒等变换所学公式和诱导公式化简即可得出答案【解答】解：(tan10-3)sin40，=sin10cos10-tan60sin40，=sin10cos10-sin60cos60sin40，=(sin10cos60
8、-sin60cos10cos10cos60)sin40，=-2sin50sin40cos10，=-2cos40sin40cos10，=-sin80cos10，=-cos10cos10，=-1故选A4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式及其应用.把，再结合二倍角公式即可【解答】解：因为sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-12sin22=59，所以sin22=89，又，所以2+4k20，从而sin2=223故选A5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式及其应用.利用cos2A2=1+cosA2和即可求出答案【解答】解：sinBsinC=c
9、os2A2，sinBsinC=1+cosA2，2sinBsinC=1+cos-(B+C)，2sinB sinC=1-cos(B+C)，cos(B-C)=1，又角B、角C为ABC的内角，B-C=0，B=C故选B6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查两角和的三角函数公式和同角三角函数公式利用tan=sincos与tan+=tan+tan1-tantan即可求出答案【解答】解：因为，均为锐角，tan=cos-sincos+sin，所以tan=1-tan1+tan，即tan1+tan=1-tan，即tan+tan1-tantan=1，所以tan(+)=tan+tan1-tantan=1，故选B7.
10、【答案】C【解析】【分析】本题考查了半角公式与万能公式、二倍角公式及其应用的相关知识，试题难度容易【解答】解：180360，902180，2为第二象限角，cos20，由cos=2cos22-1，可得cos2=-1+cos2，故选C8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系的相关知识，试题难度较易【解答】解：372，sin=-35，cos=-1-(-35)2=-45，372，32274则tan2=-1-cos1+cos=-1+451-45=-39.【答案】D【解析】【分析】本题考查了诱导公式、二倍角公式及其应用的相关知识，试题难度一般【解答】解：tan(4+)cos22cos
11、2(4-)=sin(4+)cos22sin2(4+)cos(4+)=cos22sin(4+)cos(4+)=cos2sin2(4+)=cos2sin(2+2)=cos2cos2=1，故选D10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角函数的定义域和值域、正弦、余弦函数的图象与性质、二倍角公式及其应用、辅助角公式的相关知识，试题难度一般【解答】解：f(x)=2cos2x+3sin2x+a=1+cos2x+3sin2x+a=2sin(2x+6)+a+1当x0,2时，2x+66,76，f(x)min=2(-12)+a+1=-4，a=-411.【答案】D【解析】【分析】本题考查两角和与差的三角函数，属
12、于基础题由cos(-6)+sin=453可得12cos+32sin=45，化简则sin(+6)=32sin+12cos，从而可得结果【解答】解：cos(-6)+sin=coscos6+sinsin6+sin=32cos+12sin+sin=32cos+32sin=453，12cos+32sin=45，sin(+6)=32sin+12cos=45，故选D12.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数恒等变形，首先根据二倍角公式以及同角公式求求出sin，cos，然后根据两角和公式求出结果，属于基础题先利用【解答】解：因为tan2=-12，所以sin=2sin2cos2sin22+cos22=2t
13、an21+tan22=-45,cos=cos22-sin22cos22+sin22=1-tan221+tan22=35所以sin(+4)=22sin+cos=22-45+35=-210故选C13.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式和正切函数的图像与性质.利用二倍角公式把函数f(x)化简成f(x)=-tanx，再根据由f(x)=-tanx的图像与性质逐项排除选项【解答】解：函数f(x)=cos2x-1sin2x=1-2sin2x-12sinxcosx=-tanx，由f(x)=-tanx的图像与性质知，函数f(x)的图像没有对称轴，故A错误；因为函数f(x)的图像关于，kZ对称，所
14、以函数f(x)的图象关于点2,0对称，故B正确；函数f(x)的最小正周期为，故C错误；函数f(x)在0,2内单调递减，故D正确故选BD14.【答案】BC【解析】【分析】由条件利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用诱导公式，正弦函数、余弦函数的值域以及它们的图象的对称性，得出结论本题主要考查辅助角公式，诱导公式，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于中档题【解答】解：对于函数f(x)=sinx+2cosx=5(15sinx+25cosx)=5sin(x+)-5,5，其中，cos=15，sin=25，为锐角，=arcsin255(0,2)，+(arcsin255,2+arcsin255)，f()=
15、5sin(+)(1,534=(1,5，故不存在(0,2)，使f()=34，故A不正确；f(x+)=5sin(x+)，故当+=2时，f(x+)=5sin(x+)=5cosx为偶函数，故B正确；f(x+)=5sin(x+)，故当+=k，kZ时，f(x+)=5sinx，为奇函数，它的图象关于原点对称，故C正确；因为函数f(x)=sinx+2cosx=5(15sinx+25cosx)=5sin(x+)-5,5，故D不正确；故答案为：BC。15.【答案】45【解析】【分析】本题主要考查三角恒等变换，属于基础题.掌握sin2=2sincos，sin2+cos2=1和tan=sincos即可得出答案【解答】
16、解：由tan-1tan+1=-13可解得tan=12，sin2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45故答案为4516.【答案】3cos1【解析】【分析】本题考查三角函数的化简，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，代入化简即可，基础题【解答】解：原式=1+cos2+1-sin21=2cos21+cos21=3cos1010，原式=3cos117.【答案】14【解析】【分析】本题考查了两角和与差的三角函数公式的相关知识，试题难度较易【解答】解：因为3cos2A-B2+5sin2A+B2=4，所以32cos(A-B)-52cos(A+B)=0，所以32cosAcosB+
17、32sinAsinB-52cosAcosB+52sinAsinB=0，即cosAcosB=4sinAsinB.所以tanAtanB=1418.【答案】(-,-2【解析】【分析】本题考查不等式的恒成立问题问题，属于中档题将不等式得恒成立问题转化为求三角函数得最值既可求得结果。【解答】解：f(x)=3sin3x+cos3x=2(32sin3x+12cos3x)=2sin(3x+6)，所以f(x)min=-2，于是若对任意实数x都有mf(x)，则m-2故答案为：(-,-219.【答案】-255【解析】【分析】本题主要考查辅助角公式，三角函数的最值条件，属于中档题利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式
18、，再利用三角函数的最值条件，求得cos的值【解答】解： f(x)=sinx-2cosx=555sinx-255cosx=5sin(x-)，其中sin=255，cos=55当x-=2k+2(kZ)时，函数f(x)取到最大值，即当=2k+2+(kZ)时，函数f(x)取到最大值，所以cos=-sin=-25520.【答案】【解析】【分析】本题考查了二倍角公式及其应用、正弦、余弦函数的图象与性质的相关知识，试题难度一般【解答】解：y=cos2xcos5-2sinxcosxsin65=cos2xcos5+sin2xsin5=cos(2x-5)，由-+2k2x-52k，得，即为单调递增区间21.【答案】解
19、：(1)因为f(x)=2cos(x-12)，所以f(-6)=2cos(-6-12)=2cos(-4)=1(2)因为cos=35，(32,2)，则sin=-45所以cos2=2cos2-1=2(35)2-1=-725，sin2=2sincos=2(-45)35=-2425f(2+3)=2cos(2+4)=2(cos2cos4-sin2sin4)=2-72522-(-2425)22=1725【解析】本题主要考查了三角函数的化简求值、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式，属于中档题(1)直接代入函数解析式利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求得；(2)先用同角三角函数求得si
20、n，再用二倍角公式分别求出cos2，sin2，最后代入函数解析式利用和角的余弦公式展开计算可得22.【答案】证明 sinsin=cos(+)，sin=cos(+)sin，sin(+)-=cos(+)sin，sin(+)cos=2cos(+)sin，tan(+)=2tan，tan+tan1-tantan=2tan，tan=tan1+2tan2【解析】本题主要考查两角差的三角函数关系和同角三角函数的基本关系构造=+-和掌握两角差、同角三角函数的基本关系即可证明23.【答案】解：(1)f(x)=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx，f()=3sin=335.sin=35
21、，又是第一象限角，cos=45，g()=2sin22=1-cos=15(2)由f(x)g(x)，得3sinx1-cosx，即32sinx+12cosx=sin(x+6)12，x+62k+6,2k+56，kZx2k,2k+23，kZ【解析】本题考查了函数y=Asin(x+)的图象与性质、二倍角公式及其应用、辅助角公式的相关知识，属于中档题(1)将f(x)化简为f(x)=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx，求出sin，利用三角函数的平方关系求得cos=45，再利用倍角公式得到所求；(2)由f(x)g(x)，得3sinx1-cosx，移项化简，得到x+62k+6,2k
22、+56，求得x范围24.【答案】解：(1)f(x)=sin2x+sinxcosx+cos2x=1-cos2x2+12sin2x+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12，由tan=2，得sin2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45，cos2=cos2-sin2sin2+cos2=1-tan2tan2+1=-35，所以f()=12(45-35)+12=35(2)由(1)，得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=22sin(2x+4)+12，由x12,2，得2x+4512,54，所以sin(2x+4)-22,1，所以f(x)=22sin(2x+4)+120,1+22【解析】本题考查了函数y=Asin(x+)的图象与性质、二倍角公式及其应用、辅助角公式的相关知识，试题难度一般
