1、5.6函数函数y=Asin(x+)一般地,当动点M的起点位置Q所对应的角为时,对应的函数是y=sin(x+)(0),把正弦曲线上的所有点向 左 (当0时)或向右(当0)的周期是 ,把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标 缩短 (当1时)或伸长 (当00)对函数y=sin(x+)的图象的影响一般地,函数y=Asin(x+)的图象,可以看作是把y=sin(x+)图象上所有点的纵坐标伸长 (当A1时)或 缩短 (当0A0)对y=Asin(x+)的图象的影响4|函数y=sin x的图象与y=Asin(x+)(A0,0)的图象的关系1.将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cos
2、x的图象.()2.将函数y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,便得到函数y=2sin x的图象.()3.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin 2x的图象.()提示:应得到y=sin x的图象.212判断正误，正确的画“”，错误的画“”.4.把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin的图象.()提示:应得到y=sin 2=sin的图象.5.在y=Asin(x+)的图象中,相邻的两条对称轴之间的距离为1个周期.()提示:相邻的两条对称轴间的距离为半个周期.424x4x22x1|图象的平移变换与伸缩变换一般地,函数y=Asin(
3、x+)(A0,0,xR)的图象可以由y=sin x的图象经过平移变换和伸缩变换得到.易错警示在图象变换中要注意变换的次序:可以先平移后伸缩,也可先伸缩后平移,但是两种变换次序中,平移的量是不同的,在应用中一定要区分清楚,避免出错.弄清平移对象是避免错误的关键.将函数y=sin 2x+cos 2x的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(D)A.y=2sin B.y=2sinC.y=2sin D.y=2sin 31424x23x24x23x思路点拨先将函数用辅助角公式化成同名三角函数,再求出平移量即可.解析 由已知得y=sin 2x+cos 2x=2sin,周期T=,向右平移个周期,即向右平
4、移个单位长度,得到的图象对应的函数为y=2sin2+=2sin,故选D.326x221444x623x2|利用图象求函数y=Asin(x+)的解析式 由y=Asin(x+)(A0,0)的图象确定解析式的方法1.逐一定参法(1)由函数图象上的最高点、最低点来确定A.(2)由函数图象与x轴的交点确定T,由T=确定.(3)确定函数y=Asin(x+)中的值.其方法有两种:代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入y=Asin(x+)(此时A与已知),求得.五点对应法:确定的值时,往往以寻找“五点法”中的点为突破口.2|,02.待定系数法通过将若干特殊点代入函数解析式,可以求得待定系数A,的值.这里需要注
5、意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一个点,并能正确代入函数解析式.3.图象变换法运用逆向思维,先确定基本函数解析式y=Asin x,再根据图象平移规律确定相关的参数.如图是函数y=Asin(x+)的图象的一部分,求此函数的解析式.0,0,|2A思路点拨解法一:由图象确定A和的值取点确定的值.解法二:由图象确定A的值将点和代入函数式列关于和的方程组解方程组.解法三:确定基础函数y=3sin 2x由图象变换得到解析式.,06,035,06解析 解法一(逐一定参法):由题中图象知A=3,T=-=,=2,y=3sin(2x+).点在函数图象上,0=3sin,-2+=2k(kZ),得=+2k(kZ
6、).|0,0)单调区间的方法:整体代换法,注意若0,则可利用诱导公式先将x的系数转化为正数,再求单调区间.22k,0kk22,0k4.有关三角函数奇偶性问题的结论:(1)对于y=Asin(x+)(A0),若为奇函数,则=k(kZ);若为偶函数,则=k+(kZ).(2)对于y=Acos(x+)(A0),若为奇函数,则=k+(kZ);若为偶函数,则=k(kZ).22已知函数f(x)=sin(2x+)(-0).将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数,则函数f(x)的图象的对称轴方程是 x=+,kZ .32k3思路点拨先确定平移后函数的解析式,由偶函数的性质确定,根据y=sin
7、 x的图象的对称性,利用整体代换的思想求解.解析 由题意知,平移后函数的解析式为y=sin,因为此函数为偶函数,所以y轴为其图象的一条对称轴,所以将x=0代入可得+=+k(kZ),解得=-+k(kZ),由的取值范围可得=-,所以f(x)=sin,令2x-=k+,kZ,解得x=+,kZ,故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+,kZ.223x2326626x622k32k3方法技巧 解决正、余弦(型)函数图象平移后的对称性问题,可以不求解析式,利用一个对称轴(或对称中心)结合周期解决,如本题中由“将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数”可知:x=是函数f(x)的图象的一条
8、对称轴,又函数f(x)的最小正周期为,半周期为 ,因此其对称轴方程为x=+,kZ.33322k已知函数f(x)=Asin(x+)在一个周期内的图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求方程f(x)-lg x=0的实数解的个数.0,0,|2A思路点拨(1)由函数图象最高点及点(0,1)先确定A,再由“五点法”确定,进而求出解析式;(2)将方程解的个数问题转化为函数图象交点个数问题来求解.解析 (1)由题图,知A=2,由函数图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin=,又|,所以=.易知点是“五点”中的“第五点”,所以+=2,所以=2.因此所求函数的解析式为f(x)=2sin.1226
9、11,0121112626x因为f(x)的最大值为2,令lg x=2,得x=100,令+k100,11121112(2)在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示.且+30+100,所以在区间(0,100内有31个区间(kZ,0k30),且在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在上有231=62(个)交点.另外,两函数的图象在上还有一个交点,所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解.111221117,1212kk11,10012110,12易错警示解决含有三角函数的方程解的个数问题,常要用到三角函数的周期性,如在几个周期内有解,每个周期有几个解,解题时要特别注意不是整周期的区间内解的情况,防止判断失误导致解题错误.
