1、第四章指数函数和对数函数单元检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=ln(x+1)x-2的定义域是()A.(-1,+)B.(-1,2)(2,+)C.(-1,2)D.-1,2)(2,+)2.已知a=20.2,b=20.3,c=0.20.3,则()A.bac B.abcC.bca D.acb3.由表格中的数据,可以判断方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间是()x01234ex12.727.3920.0954.603x+22581114A.(0,1)B.(1,2)C.(2
2、,3)D.(3,4)4.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2 000 mg该药物,那么x小时后病人血液中这种药物的含量为()A.2 000(1-0.2x) mgB.2 0000.8x mgC.2 000(1-0.2x) mgD.2 0000.2x mg5.已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实数根x1,x2满足x132x2,则实数m的取值范围为()A.m4 B.-12m4 C.72m4 D.-12m0,-ln(-x),x0,则实数m的取值范围为()A.(-,-1)(1,+) B.(-1,0)(0,1)C.(-,-e)(0,e) D.(
3、-,-1)(0,1)8.若函数f(x)=ax,x1,4-a2x+2,x0成立,则实数a的取值范围是()A.(1,+) B.(1,8)C.(4,8)D.4,8)二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.若0mn1,则()A.log4mlog4n B.3n3mC.logm314n10.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1x2),下列式子成立的是()A. f(x1+x2)=f(x1)f(x2)B. f(x1x2)=f(x1)+f(x2)C.f(x1)-f(x2)x1-x20D
4、. fx1+x2214x+1对任意的x-2,2恒成立,求m的取值范围.20.(本小题满分12分)某食品厂对蘑菇进行深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2t5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25x40),根据市场调查,日销售量q(单位:千克)与ex成反比,每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100 千克.(1)求该工厂的日销售利润y(单位:元)关于每千克蘑菇的出厂价x(单位:元)的函数关系式;(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的日销售利润y为100e4元?21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ax+9.(1)
5、当a0时,设g(x)=f(2x),证明:函数g(x)在R上单调递增;(2)若x1,2, f(2x)0恒成立,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在(-3,9)上有两个零点,求实数a的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+(m-2)x-m,g(x)=f(x)x,且函数y=f(x-2)是偶函数.(1)求g(x)的解析式;(2)若不等式g(ln x)-nln x0在1e2,1上恒成立,求n的取值范围;(3)若函数y=g(log2(x2+4)+k2log2(x2+4)-9恰好有三个零点,求k的值及该函数的零点.参考答案一、单项选择题1.B由题意得x+10,x-20,所以x-1
6、且x2,即f(x)的定义域为(-1,2)(2,+),故选B.2.Ac=0.20.31a=20.2ac.故选A.3.C设f(x)=ex-3x-2,由题表知, f(0)、 f(1)、 f(2)均为负值,f(3)、 f(4)均为正值,且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,因此方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间为(2,3),故选C.4.B由题意知,该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减,给某病人注射了2 000 mg该药物,x个小时后病人血液中这种药物的含量为y=2 000 (1-20%)x=2 0000.8x (mg),故选B.5.D设f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由
7、题意可得, f320,即322-(2m-8)32+m2-160,即4m2-12m-70,解得-12m0时,y0,选项D错误;当x=4时,y=21128+121128=8,选项A错误,故选B.7.D当m0时,-m0,即-ln m0,解得0m1.当m0,所以f(m)+2f(-m)=-ln(-m)+2ln(-m)0,即ln(-m)0,解得m0成立,函数f(x)=ax,x1,4-a2x+2,x1,4-a20,a14-a21+2,解得a4,8),故选D.二、多项选择题9.AD因为y=log4x在(0,+)上单调递增,且0mn1,所以log4mlog4n,故A正确;因为y=3x在R上单调递增,且0mn3m
8、,故B错;取m=14,n=12,知logm3logn3,故C错;由指数函数的性质可知D正确.故选AD.10.ACDf(x1+x2)=2x1+x2, f(x1)f(x2)=2x12x2=2x1+x2=f(x1+x2),所以A成立; f(x1x2)=2x1x2, f(x1)+f(x2)=2x1+2x22x1x2=f(x1x2),所以B不成立;易知函数f(x)=2x在R上是单调递增函数,则 f(x1)-f(x2)x1-x20,所以C成立;fx1+x220恒成立,函数的定义域为R;B错误,函数y=ln(x2-x+1)在x12时是增函数,在x12时是减函数;C错误,由x2-x+1=x-122+3434可
9、得y=ln(x2-x+1)ln34,函数的值域为ln34,+;D正确,函数的图象关于直线x=12对称.故选AD.12.BD依题意得,若b是f(x)的值域中的数,则-b也是值域中的数,即f(x)的值域关于原点对称,选项A中函数的值域为0,+),不是“M函数”;选项B中函数的值域为(-,0)(0,+),是“M函数”;选项C中函数的值域为(0,+),不是“M函数”;选项D中函数的值域为R,是“M函数”.故选BD.解题模板准确理解题意是解题的关键.“对任意xD,都存在yD,使得g(y)=f(x)成立”的含义是“f(x)的值域是g(y)的值域的子集”. 本题中“对任意xD,都存在yD,使得f(y)=-f
10、(x)成立”,意思是若s在函数f(x)的值域内,则-s也在函数f(x)的值域内,从而解决问题.三、填空题13.答案13解析log233log32=13log23log32=13.14.答案4.58解析由题意可得40=10+(100-10)e-0.24t,化简可得e-0.24t=13,-0.24t=ln13=-ln 3,0.24t=ln 31.099,t4.58.15.答案13;7解析由已知得24=24+2+4-1=13.函数f(x)=2x42x=4+2x+42x-1=3+2x+42x3+22x42x=7,当且仅当x=1时取等号,所以函数f(x)=2x42x的最小值为7.16.答案116,1解析
11、f(x)=x2-2x+loga ax-1在1,32内恒小于零,即(x-1)2loga(x-1)对于x1,32恒成立,画出函数y=(x-1)2与y=loga(x-1)的图象(图略),得0a1,loga32-132-12,解得116a14x+1可化为m14x+112|x|,依题意知m14x+112|x|对任意的x-2,2恒成立.(8分)令y=14x+112|x|,x-2,2,则mymax,(9分)令t=12x,当x0,2时,t14,1,y=t2+1t=t+1t,当t=14时,y取得最大值,最大值为174;(10分)当x-2,0)时,t(1,4,y=t2+1t-1=t3+t,当t=4时,y取得最大值
12、,最大值为68. (11分)综上,m的取值范围为m68.(12分)20.解析(1)设日销售量q=kex(25x40,k为常数),则ke30=100,k=100e30,(2分)日销售量q=100e30ex(25x40),(4分)y=100e30(x-20-t)ex(25x40).(6分)(2)当t=5时,y=100e30(x-25)ex,(7分)令y=100e4,则x-25=ex-26,(8分)画出函数y=x-25与y=ex-26的图象如图所示,由图可得方程x-25=ex-26的解为x=26,(11分)当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日销售利润为100e4元.(12分)21.解析(1)证
13、明:g(x)=f(2x)=4x-2a2x+9,(1分)任取x1,x2R,且x12x1,即2x2-2x10,又2x2+2x10,a0,2x2+2x1-2a0,(2x2-2x1)(2x2+2x1-2a)0,g(x2)g(x1),函数g(x)在R上单调递增.(4分)(2)设t=2x(1x2),则2t4,x1,2, f(2x)0恒成立,即t2,4,t2-2at+90恒成立,即2at+9t(t2,4),令h(t)=t+9t(t2,4),(6分)易得h(t)在2,3上单调递减,在3,4上单调递增,又h(2)=132,h(4)=254,h(t)的最大值为132,2a132,即a134,实数a的取值范围为13
14、4,+.(8分)(3)函数f(x)在(-3,9)上有两个零点且f(x)=x2-2ax+9的图象的对称轴为直线x=a,-3a0,f(-3)0,f(9)0,(10分)解得3a5.实数a的取值范围为(3,5).(12分)22.解析(1)f(x)=x2+(m-2)x-m,f(x-2)=(x-2)2+(m-2)(x-2)-m=x2+(m-6)x+8-3m.(2分)y=f(x-2)是偶函数,m-6=0,m=6,f(x)=x2+4x-6,g(x)=x-6x+4(x0).(4分)(2)令ln x=t,x1e2,1,t-2,0),不等式g(ln x)-nln x0在1e2,1上恒成立, g(t)-nt0在t-2
15、,0)上恒成立.(6分)nt-6t+4t=-6t2+4t+1(t-2,0).令z=-6t2+4t+1,1t=s,则s-12,z=-6s2+4s+1=-6s-132+53-52,n-52.(8分)(3)令log2(x2+4)=p,则p2,方程g(log2(x2+4)+k2log2(x2+4)-9=0可化为g(p)+k2p-9=0,即p-6p+4+2kp-9=0,即p2-5p+2k-6p=0.(10分) 函数y=g(log2(x2+4)+k2log2(x2+4)-9恰好有三个零点,方程g(log2(x2+4)+k2log2(x2+4)-9=0有三个实数根,p2-5p+2k-6p=0有一个根为2,k=6,p2-5p+6=0,解得p=2或p=3.由log2(x2+4)=2,得x=0,由log2(x2+4)=3,得x=2,该函数的零点为0,-2,2.(12分)
