1、指数函数和对数函数复习测试题一一选择题（共11小题）1设，则，的大小关系为ABCD2设函数的图象与的图象关于直线对称，若，则A1011B1009CD3已知函数，的零点依次为、，则、的大小关系为ABCD4已知关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A，BC，D5函数满足，当，时，则在，上零点值的个数为A1009B1010C2019D20206当时，函数的图象恒在轴下方，则实数的取值范围是ABCD7模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：其中为最大确诊病例数当时，标志着已初步遏制疫情，则约为A60B65C66D6
2、98已知函数，若函数有且只有四个不同的零点，则实数的取值范围是ABC，D，二多选题（共6小题）9设，则ABCD10已知函数有两个零点，分别为，则下列结论正确的是ABCD11已知定义在上的函数满足，且当时，则可作为方程实根的有ABCD12已知正数，满足，则下列说法中正确的是ABCD三填空题（共7小题）13已知，试用、表示14已知关于的方程在区间，上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为15已知函数若函数恰有8个零点，则的范围为16已知函数，则函数的零点个数为四解答题（共10小题）17已知（1）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（2）试判断在，上的零点个数18已知某工厂生产机器设备的年固定成本为
3、200万元，每生产1台还需另投入20万元，设该公司一年内共生产该机器设备台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为万元，且（1）求年利润（万元）关于年产量（台的函数解析式；（2）当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润19已知函数（1）当时，解不等式；（2）设，且函数存在零点，求实数的取值范围20已知函数且（1）（1）求的值，并在直角坐标系中作出函数的大致图象（2）若方程有三个实数解，求实数的取值范围21（1）作出的图象，并讨论方程的实根的个数；（2）已知函数，若存在，使成立，求实数的取值范围22已知函数是偶函数（其中为自然对数的底数，（1）求的值；（2）若方程在区间，
4、上有实数根，求实数的取值范围指数函数和对数函数复习测试题一参考答案与试题解析一选择题（共11小题）1设，则，的大小关系为ABCD【分析】利用指数与对数函数的单调性，即可得出大小关系【解答】解：，则，的大小关系为故选：【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2设函数的图象与的图象关于直线对称，若，则A1011B1009CD【分析】在函数的图象上取点，则关于直线对称点为，代入，结合题目条件可得答案【解答】解：因为函数的图象与的图象关于直线对称，令，则；故，在的图象上，所以，即，两式相加得，所以，解得，故选：【点评】本题考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能
5、力，属于中档题3已知函数，的零点依次为、，则、的大小关系为ABCD【分析】化函数的零点为方程的根，利用估算法，将各函数的零点问题确定出大致区间进行零点的大小比较问题是解决本题的关键必要时结合图象进行分析，从而可得答案【解答】解：已知函数，的零点依次为、，时，即，时，即，时，即，所以的零点必定小于零，的零点必位于内，函数的零点必定大于1因此，这三个函数的零点依次增大，故、的大小关系为故选：【点评】本题考查函数零点的定义，函数零点就是相应方程的根，利用估算方法比较出各函数零点的大致位置，进而比较出各零点的大小属于基础题4已知关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A，BC，D【分析】画出
6、函数的图象，结合图象得到关于的不等式，解出即可判断【解答】解：的图象如下图所示：由图象可知，若方程有两个不等实根，则，解得，故选：【点评】本题考查了函数的零点问题，考查常见函数的性质以及转化思想，数形结合思想，是一道中档题5函数满足，当，时，则在，上零点值的个数为A1009B1010C2019D2020【分析】根据可得是以4为周期的函数，结合题意容易判断在，上零点的个数【解答】解：，即是以4为周期的函数，又，时，当或时，在每个周期内有两个零点，在其对称轴两侧各有一个，由图象可知，在轴右侧，每隔2个单位就有一个零点，在，上有1010个零点；故选：【点评】本题考查函数的周期性和函数的零点，解决的方
7、法是图象法，是容易题6当时，函数的图象恒在轴下方，则实数的取值范围是ABCD【分析】根据题意可知对任意恒成立，时，显然不合题意；时，可得出，然后根据和的单调性即可得出，从而解出的范围即可【解答】解：根据题意知对任意恒成立，当时，对任意不满足题意；当时，可得对任意恒成立，即，结合单调性可知，只需，又，即的取值范围是故选：【点评】本题考查了对数函数和二次函数的单调性，根据函数的单调性求函数在闭区间上的最值的方法，分类讨论的思想，考查了计算和推理能力，属于中档题7模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：其中为最大确诊病例数当
8、时，标志着已初步遏制疫情，则约为A60B65C66D69【分析】由已知可得方程，解出即可【解答】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题8已知函数，若函数有且只有四个不同的零点，则实数的取值范围是ABC，D，【分析】利用的解析式先表示出函数的解析式，然后对和进行讨论，再利用函数的奇偶性的定义，判断出函数为偶函数，将问题转化为有且仅有两个不同的零点，再利用导数求解函数的最小值，使得最小值小于0即可得到答案【解答】解：因为函数，则，所以函数，当时，所以只有一个零点，不符合题意；当时，因为，所以，则为偶函数，所以有且仅有四个不同的
9、零点可转化为有且仅有两个不同的零点，所以，当时，恒成立，此时最多一个零点，不符合题意，当时，令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，要使在上有且仅有两个不同的零点，则有，解得或，又，所以，综上所述，所以实数的取值范围是故选：【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的应用、函数奇偶性的判断与应用，对于函数的零点个数问题一般转化为图象的交点个数进行处理，本题的知识点较多，综合性较强，对学生的分析问题能力有较高的要求二多选题（共6小题）9设，则ABCD【分析】利用函数，的单调性求解【解答】解：，函数，均是减函数，故选项错误，函数是增函数，是减函
10、数，故选项正确，函数是增函数，故选项正确故选：【点评】本题主要考查了对数函数和指数函数的性质，是基础题10已知函数有两个零点，分别为，则下列结论正确的是ABCD【分析】将问题先化为有两个根，问题即转化为与的有两个不同交点的问题，画出图象即可求解【解答】解：函数有两个零点，即有两个根，问题即转化为与的有两个不同交点做出函数的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为，若有两个交点，则，对；当时，令，得，故，对；易知，整理得：，对；由得，所以，错故选：【点评】本题考查函数零点的判断方法，以及数形结合思想在解题时的应用属于中档题11已知定义在上的函数满足，且当时，则可作为方程实根的有ABC
11、D【分析】由已知求得函数解析式，得到，进一步写出分段函数，求解方程得答案【解答】解：，为定义在上的奇函数，当时，设，则，得，即，则，令，当时，解得或或故选：【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题12已知正数，满足，则下列说法中正确的是ABCD【分析】对于，设，则，由此能证明正确；对于，利用对数运算法则能推导出，由此能比较、的大小；对于，由结论利用基本不等式可得正确；对于，由结论，利用基本不等式即可得解正确【解答】解：正数，满足，设，则，对于，故正确；对于，故错误；对于，由于，两边平方，可得，故正确，对于，由于，可得，故正确故选：【点评】
12、本题考查对数的运算法则的应用，解题时要认真审题，注意对数换底公式的合理运用，考查了函数思想，属于中档题三填空题（共7小题）13已知，试用、表示【分析】根据对数的运算性质计算即可【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，考查转化思想，是一道基础题14已知关于的方程在区间，上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为【分析】观察方程的结构特征，将它进行变形为，然后构造函数，确定函数的单调性，从而将问题转化为当时，有两个不相等的实数根，利用根的分布列出不等式组，求解即可得到答案【解答】解：因为方程，所以变形为，令，则有，因为在上单调递增，所以即为，故当时，有两个不相等的实数根，在中，则
13、有，即，解得，所以实数的取值范围为故答案为：【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数单调性的应用、二次函数根的分布问题，解题的关键是将已知的方程变形为，进而构造函数分析，对于学生的思维能力有较高的要求15已知函数若函数恰有8个零点，则的范围为【分析】利用分段函数的解析式，先作出函数的图象，然后利用换元法将函数恰有8个零点转化为方程在，必有两个不等的实数根，再结合图象分析即可得到答案【解答】解：画出函数的图象如图所示，设，由，得，因为有8个零点，所以方程有4个不同的实根，结合的图象可得在，内有4个不同的实根，所以方程必有两个不等的实数根，即在，内有2个不同的实根，结合图象可知，则有
14、，解得，所以的范围为故答案为：【点评】本题考查的是函数的零点与方程根的关系，涉及了分段函数图象的画法、换元法的应用，对于函数零点个数的问题，一般运用数形结合的方法将零点的个数转化为两个函数图象的交点个数进行求解16已知函数，则函数的零点个数为18个【分析】根据题中给出的分段函数解析式，判断出它是周期函数和偶函数，然后在同一坐标系中作出函数与函数的图象，将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，再利用周期性和奇偶性进行分析，即可得到答案【解答】解：因为函数，即，所以函数是以2为周期的偶函数，当时，在同一坐标系中，函数与函数的图象如图所示，因为，所以函数与函数的图象有9个交点，又因为与都是
15、偶函数，则其图象关于轴对称，所以当时，函数与函数的图象也有9个交点，所以函数的零点个数为18个故答案为：18个【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了分段函数的应用、函数零点与方程根之间的关系、函数性质的应用，解题的关键是确定函数的周期和奇偶性，对于函数零点个数问题一般转化为图象的交点个数来处理四解答题（共10小题）17已知（1）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（2）试判断在，上的零点个数【分析】（1）将看成自变量，得到关于为自变量的一次函数，根据一次函数在指定区间的端点处取得最小值，由此构造出关于的不等式组，求解即可；（2）分离参数，利用对勾函数的单调性研究函数的单调性、最值情况
16、，据此构造出的不等式组，求解【解答】解：（1）原函数式可化为（a），由题意可得，即，解得，故的取值范围是，或（2）令得，因为，故，令，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，（4）故当时，函数只有一个零点；当时，原函数有两个零点；当或时，原函数没有零点【点评】本题考查函数思想在解决不等式恒成立、方程的根与函数的零点问题中的应用属于中档题18已知某工厂生产机器设备的年固定成本为200万元，每生产1台还需另投入20万元，设该公司一年内共生产该机器设备台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为万元，且（1）求年利润（万元）关于年产量（台的函数解析式；（2）当年产量为多少台时，该工厂生
17、产所获得的年利润最大？并求出最大年利润【分析】（1）由分段写出函数解析式；（2）分类利用函数的单调性及换元法、配方法求最值，取最大值中的最大者得结论【解答】解：（1）当时，；当时，；（2）当时，在，上为增函数，当时，（万元）；当时，令，当，即时，（万元）综上，当年产量为49台时，获得的年利润最大，最大为1780万元【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及配方法求最值，考查运算求解能力，是中档题19已知函数（1）当时，解不等式；（2）设，且函数存在零点，求实数的取值范围【分析】（1）把代入函数解析式，再由，得关于的分式不等式求解；（2）把函数在，上存在零点，转化为在，上有解，再由
18、函数的单调性求得函数的值域得答案【解答】解：（1）当时，由，得，即，解得或不等式的解集为，；（2）函数在，上存在零点方程在，上有解，即方程在，上有解，即在，上有解，函数在，上是减函数则，从而，实数的取值范围是，【点评】本题考查分式不等式的解法，考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想，训练了利用函数单调性求最值，是中档题20已知函数且（1）（1）求的值，并在直角坐标系中作出函数的大致图象（2）若方程有三个实数解，求实数的取值范围【分析】（1）通过函数的解析式，求出函数值，然后推出，即可得到函数的解析式（2）【解答】解：（1）（1），则；所以（2）的图象如图，方程有三个实数解，根据图象可知的
19、取值范围是，【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题21（1）作出的图象，并讨论方程的实根的个数；（2）已知函数，若存在，使成立，求实数的取值范围【分析】（1）写出分段函数解析式，作出图象，数形结合得答案；（2）写出命题存在，使成立的否定，即，使成立，分类求解的取值范围，再由补集思想得答案【解答】解：（1），其图象如图：由图可知，当，时，方程有1个实根，当或4时，方程有2个实根，当时，方程有3个实根；（2）函数，命题若存在，使成立的否定为，使成立下面求使命题，使成立的的范围若，则时，在，上取得最小值，（3），即；若，则时，取得最小值为（a），不满足恒成立；若，（3）
20、，（5），解得综上可得，使成立的的范围是，则存在，使成立的的取值范围为【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化、数形结合及分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题22已知函数是偶函数（其中为自然对数的底数，（1）求的值；（2）若方程在区间，上有实数根，求实数的取值范围【分析】（1）利用偶函数的定义，求出的值；（2）分离参数，然后构造函数并结合单调性求出新函数的值域，则的范围可求【解答】解：（1）由是偶函数得：恒成立，故，即（2）由（1）知由得，令，当，时，故，故，时，方程在区间，上有实数根即的取值范围是，【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，函数的零点与函数值域间的关系属于中档题
