1、2.3 二次函数与二次函数与一元二次方程、一元二次方程、不等式不等式安徽淮南第四中学安徽淮南第四中学2020.9例例1、已知、已知2a+10的解集是的解集是()A.x|x-a B.x|x5a或或x-aC.x|-ax5a D.x|5ax-a解：解：x2-4ax-5a2=0的两根是的两根是 -a、5a，2a+10,a5a，结合二次函数图像就可得出，结合二次函数图像就可得出.若二次项系数不含参，则只讨论两根的大小，再若二次项系数不含参，则只讨论两根的大小，再结合二次函数图像就可得出答案结合二次函数图像就可得出答案.跟踪训练跟踪训练1解关于解关于x的不等式的不等式x2(1a)xa0.方程方程 x2(1
2、a)xa0的解为的解为x11，x2a，函数，函数yx2(1a)xa的图象开口向上，的图象开口向上，则当则当a1时，原不等式解集为时，原不等式解集为x|ax1；当当a1时，原不等式解集为时，原不等式解集为；当当a1时，原不等式解集为时，原不等式解集为x|1xa2解关于解关于x的不等式的不等式x2(3a1)x(2a22)0(xR).解解原不等式可化为原不等式可化为x(a1)x2(a1)0，讨论讨论a1与与2(a1)的大小的大小.(1)当当a12(a1)，即，即aa1或或xa1或或x2(a1)，(2)当当a12(a1)，即，即a3时，不等式的解集为时，不等式的解集为x|x4.(3)当当a13时，不等
3、式的时，不等式的解集解集x|x2(a1)或或xa1例例2解关于解关于x的不等式的不等式ax2(a1)x10.当当a0时，原不等式即为时，原不等式即为x11.解集为解集为x|x1；当当a0，解得，解得x1.解集为解集为x|x 11a1a1a当当a1时，不等式的解集为时，不等式的解集为 ；若若0a1时，解得时，解得1x .解集为解集为x|1x 1，即，即 1时，解得时，解得 x1；解集为解集为x|x 0.求关于求关于x的不等式的不等式(x+a)(ax-1)0(aR)的解集的解集.当当a=0时时,-x0,即即x0;不等式的解集为不等式的解集为x|x0时，原不等式化为时，原不等式化为 (x )(x+a
4、)0，解得，解得x 或或x 或或x a1a1a1a当当a0时，原不等式化为时，原不等式化为 (x )(x+a)0，解得，解得 xa.解集为解集为x|x a1a1a1a反思感悟反思感悟 解含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用但要注意分类讨论思想的运用.(1)若若二次项系数含有参数二次项系数含有参数,需对二次项系数等于需对二次项系数等于0与不等于与不等于0进进行讨论行讨论,对于不为对于不为0的情况再按大于的情况再按大于0或小于或小于0进行讨论进行讨论.(2)若不等式对应的一元
5、二次方程根的情况不确定若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别需对其判别式式进行讨论进行讨论.(3)若求出的根中含有参数若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论则应对两根的大小进行讨论.二、不等式的恒成立问题二、不等式的恒成立问题例例1.已知不等式已知不等式mx22xm20，若对于所有的实数，若对于所有的实数x不等式恒成立，不等式恒成立，求求m的取值范围的取值范围解析解析对于所有实数对于所有实数x都有不等式都有不等式mx22xm20恒成立，即恒成立，即函数函数ymx22xm2的图象全部在的图象全部在x轴下方当轴下方当m0时，时，2x20，显然对任意，显然对任意x不能恒成立；不
6、能恒成立；例例2.若关于若关于x的不等式的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-10对于对于xR恒成立恒成立,求实数求实数m的取值范围的取值范围.解解:当当m2-2m-3=0时时,m=3 或或 m=-1.若若m=3,不等式化为不等式化为-10,显然对于显然对于xR恒成立恒成立,满足题意满足题意;若若m=-1,不等式化为不等式化为4x-10,显然不满足对于显然不满足对于xR恒成立恒成立.m的范围的范围为为m|x 315对点练习对点练习 1.若若 kx2-6kx+(k+8)0(k为常数为常数)对一切对一切xR恒成立恒成立,则则k的取值范围是的取值范围是()A.0 k 1B.0 k 1C.0
7、k 1D.k1当当k=0时，原不等式为时，原不等式为 80，显然恒成立，显然恒成立当当k0时，须满足时，须满足k0=36k2-4k(k+8)000的解集为的解集为x|x0.(1)求函数的解析式求函数的解析式;(2)若对于任意的若对于任意的-2x2,y+m3恒成立恒成立,求实数求实数m的最大值的最大值.解解:(1)易知易知-2和和0是是y=0的两个根的两个根,b=6,c=0.(2)y+m3即即 m-3x2-6x+3,而当而当 -2x2 时时,函数函数 t=-3x2-6x+3的对称轴为的对称轴为 x=-1,开口向下开口向下,所以函数的最小值在所以函数的最小值在 x=2时取得时取得,此时此时tmin
8、=-21,m -21,实数实数m的最大值为的最大值为-21.3.若不等式若不等式 ax2+2ax-(a+2)0 的解集是的解集是,求实数求实数a的取值范围的取值范围.解：解：不等式不等式ax2+2ax-(a+2)0的解集是的解集是 不等式不等式 ax2+2ax-(a+2)0当当a=0时时,不等式不等式ax2+2ax-(a+2)0为为-20,成立成立当当a0时时,a须满足须满足a0且且0=4a2+4a(a+2)=8a(a+1)0解得解得-1a0.综上可知综上可知,a的取值范围是的取值范围是a|-160000整理得整理得 x2-110 x+30000方程方程x2-110 x+3000=0两根为两根
9、为x1=50，x2=60，结合图像知，结合图像知，x2-110 x+30000)个百分点，预测收购量可增加个百分点，预测收购量可增加2x个百分点个百分点.试确定试确定x的取值，的取值，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%解解原计划税收为原计划税收为2400m8%元元.降低税率后的税率为降低税率后的税率为(8x)%（0 x8），农产品的收购量为），农产品的收购量为m(12x%)t，收购总金额为，收购总金额为2400m(12x%)元元2400m(12x%)(8x)%2400m8%78%，x242x880 x的取值范围为的取值范围为x|0 x22.某商品在最近某商品在最近30天内的价格天内的价格y1与时间与时间t(单位：天单位：天)的关系式是的关系式是y1t10(0t30，tN)；销售量；销售量y2与时间与时间t的关系式是的关系式是y2t35(0t30，tN)，则使这种商品日销售金额，则使这种商品日销售金额z不小于不小于500元的元的t的取值范围为的取值范围为_.解析解析z(t10)(t35)，依题意有依题意有(t10)(t35)500，解得解得10t15，tN，所以解集为，所以解集为t|10t15，tN.t|10t15，tN1234
