1、第三章 函数的概念与性质 尖子生培优卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1设单调递增函数满足：对任意，均有，则（ ）ABCD2已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）ABCD3已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）ABCD4对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：在区间上是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（ ）AB1CD25已知函数的定义域为 ，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条
2、件的实数构成的集合为（ ）ABCD6已知是偶函数，对任意，且，都有，且，则的解集是（ ）ABCD7牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55经测量室温为25，茶水降至75大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，）A4分钟B5分钟C6分钟D7分钟8已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每
3、小题有两项或以上符合题意。9我们把定义域为0，+）且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为“函数”（1）对任意的x0，+），总有f（x）0；（2）若x0，y0，则有f（x+y）f（x）+f（y）成立，下列判断正确的是（ ）A若f（x）为“函数”，则f（0）=0不一定成立B若f（x）为“函数”，则f（x）在0，+）上不一定是增函数C函数，在（0，+）上是“函数”D函数g（x）=x2+x在0，+）上是“函数”10已知函数f（x）ln（x）x53，函数g（x）满足g（x）g（x）6则（ ）Af（lg3）f（lg）6B函数g（x）的图象关于点（3，0）对称C若实数a，b满足f（a）f（b）6，则ab0
4、D若函数f（x）与g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则x1x2x3y1y2y3611一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”下列结论正确的是（ ）A若为的“跟随区间”，则B函数存在“跟随区间”C若函数存在“跟随区间”，则D二次函数存在“3倍跟随区间”12已知是定义在区间，上的奇函数，且（1），若，时，有若对所有，恒成立，则实数的取值范围可能是（ ）A(，6B(6，6)C(3，5D6，)三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13若不等式对一切恒成立，则实数x的取值范围是_.14已知函数
5、，若对于，都有，则实数的取值范围为_.15已知函数，若对于任意的实数和，当，时，都有成立，则实数a的取值范围是_16定义在上函数满足，且当时，则使得在上恒成立的的最小值是_.四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。171.若函数f（x）满足：存在整数m，n，使得关于x的不等式的解集恰为m，n，则称函数f（x）为P函数（1）判断函数是否为P函数，并说明理由；（2）是否存在实数a使得函数为P函数，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由18已知（1）当时，求的值域；（2）对任意和任意，都有恒成立，求实数a的取值范围19定义：对于定义在上的函数和定义在上
6、的函数满足：存在，使得，我们称函数为函数和函数的“均值函数”.（1）若，函数和函数的均值函数是偶函数，求实数的值；（2）若，且存在函数和函数的“均值函数”，求实数的取值范围；（3）若，是和的“均值函数”，求的值域.20已知（1）若在区间恒成立，求的取值范围；（2）当时，是否存在点，使得 的图像关于点对称？若存在，求出点，若不存在，请说明理由；21已知实数不全为0，给定函数，记方程的解集为，方程的解集为，若满足，则称为一对“太极函数”问：（1）当，时，验证是否为一对“太极函救”；（2）若为一对“太极函数”，求的值；（3）已知为一对“太极函数”，若，方程存在正根，求的取值范围（用含有的代数式表示）
7、22已知幂函数，满足.（1）求函数的解析式.（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案1C【解析】因为，故或，所以或，证明一个引理：如果存在，使得，则任意，总有.用反证法证明如下：假设存在，有，由可得，对任意的，则有，而或，故，又或，若，则即，与矛盾；故任意的，总有.因为，故存在非负整数，使得.由前述证明可知：同理有：任意的，总有；任意的，总有； 任意的，总有；这样矛盾，故引理得证.又或，若，由引理可得当时，此时，此时排除BD.若，此时，此时排除A.因为或，此时总有，故选：C.2B【解析】
8、根据题意，构造函数，则，所以函数的图象在上单调递减.又因为，所以，所以，解得或（舍）.所以不等式的解集是.故选：B.3C【解析】由题意得在，上单调递减，因为函数的值域为，所以，结合可得：，故选：4C【解析】由题意， 在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，又，所以，则当时，有最大值.5A【解析】由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数，由任意的，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4，又当时，则当时，而是奇函数，当时，又，f(-2)=-f(2)，从而得，即时，而函
9、数的周期是4，于是得函数在上的值域是，因对任意，存在，使得成立，从而得不等式，即在上有解，当时，取，成立，即得，当时，在上有解，必有，解得，则有，综上得，所以满足条件的实数构成的集合为.故选：A6A【解析】因为是偶函数，所以的图像关于x=1对称，而，则，又因为任意，且，都有，所以在单调递减，结合函数图像的对称性可知函数在单调递增.所以的解集是.故选：A.7C【解析】根据题意，即设茶水从降至大约用时t分钟，则，即，即两边同时取对数：解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟故选：C8C【解析】由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以将代入得：联立 解得： ，等价于，即：，令，则在单增当时，函数的对称轴为
10、，所以在单增当时，函数的对称轴为，若在单增，则，得： 当时，单增，满足题意综上可得：故选：C9BD【解析】解：对于A：对任意的，总有，又，则有成立，故A错误； 对于B：若，满足对任意的x0，+），总有f（x）0；）若x0，y0，则有f（x+y）f（x）+f（y）成立，所以是函数，但不是增函数，故B正确；对于C：因为满足条件（1），如果、，则，；如果、，设、，则，不满足条件（2），不是函数，故C错误；对于D：因为函数g（x）=x2+x在0，+）上有，满足条件（1），满足条件（2），是函数，故D正确故选：BD10AC【解析】解：令，则为奇函数，且在上单调递增，对A：因为，所以，所以选项A正确；对B
11、：因为函数满足，则的图象关于点对称，所以选项B错误；对C：因为，所以，又函数为奇函数且在上单调递增，所以，即，所以选项C正确；对D：若函数与图象的交点为，,因为为奇函数，所以函数图象关于点对称，所以函数图象关于点对称，又的图象关于点对称，所以函数f（x）与g（x）图象的交点关于点对称，所以，所以选项D错误；故选：AC.11ABD【解析】对A，若为的跟随区间，因为在区间为增函数，故其值域为，根据题意有，解得或，因为故故A正确；对B，因为函数在区间与上均为减函数，故若存在跟随区间则有，解得：故存在，B正确对C，若函数存在跟随区间，因为为减函数，故由跟随区间的定义可知，即，因为，所以易得所以，令代入
12、化简可得，同理也满足，即在区间上有两根不相等的实数根故，解得，故C不正确对D，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为当时，易得在区间上单调递增，此时易得为方程的两根，求解得或故存在定义域，使得值域为故D正确故选：ABD12AD【解析】任取，由于，结合可知，即，所以在上递增.所以.由可得，即对任意恒成立.构造函数，则，即，解得或.故选：AD13【解析】解：不等式对一切恒成立将看成自变量，将看成参数，将不等式化为：对一切恒成立令即对一切恒成立等价于即解得：或所以实数x的取值范围是：14【解析】因为，令，则所以，故所以，令，都有等价于，有当，即时 与在上单调递减，故，所以，解得：结合得：当，
13、即时在上单调递减，在单调递增；在上单调递减，所以，化简：，解得结合得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，所以，解得结合得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，所以，解得结合求得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，所以，解得结合得：当时 与在上单调递增，故，所以，解得结合得：综上所述：故答案为：15【解析】因为，时，都有成立，所以，当，则，所以，此时，当时，最大值必为与中较大者，当时，最大值为因为，所以，而当时，所以所以只需，解得，而，故当时，所以，此时，当或时，所以只需，解得，由，故当时，所以，此时，函数在上递减，当时，所
14、以只需，解得，又，故无解.综上，故答案为：16【解析】由题设知，当时，故，同理：在上，当时，.函数的图象，如下图示.在上，得或.由图象知：当时，.故答案为：.17（1）不是P函数，理由见解析（2）存在，a=118（1）的值域为；（2）实数a的取值范围为.19（1）（2）（3）20（1）（2）存在，解：时，若存在对称中心，则为奇函数，因为奇函数，则，所以存在点为21（1）不是一对“太极函救”（2）（3）时，时，22（1）（2）存在使得的最小值为0（3）存在，解：是幂函数，得，解得：或，当时，不满足，当时，满足，故得，函数的解析式为；（2）解：由函数，即，令，记，其对称轴在，当，即时，则，解得：；当时，即，则，解得：，不满足，舍去；当时，即时，则，解得：，不满足，舍去；综上所述，存在使得的最小值为0；（3）解：由函数在定义域内为单调递减函数，若存在实数，（），使函数在上的值域为，则，-可得：，将代入得，令，即，即，得：.故得实数的取值范围.
