1、二次函数与一元二二次函数与一元二次方程、不等式次方程、不等式二次函数与一元二二次函数与一元二次方程、不等式次方程、不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法三个三个“二次二次”的关系的关系一元二次不等式一元二次不等式恒成立问题恒成立问题高次（或分式）不等式的解法高次（或分式）不等式的解法知识精讲知识精讲题型题型1 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法B4302xxcbxax的解集为不等式acab4343acab12解得：015203222aaxaxbcaxbx可化简为0a且01522xx53x解得：53xx 时，当解：01a,01 x原式化简为1xx解集为 时，当02a,011xax原
2、式化简为axxax11011或的两根为方程时，即当10,11aaaxx11解集为时，即当1,11aa，不等式化简为012x解集为时，或即当10,11aaa111xaxa时，解集为其中，时，不等式化简为0110 xaxa11xaxx或解集为二次项系数与根的大小不确定的情况02axax解：原不等式化简为时，或即当10,2aaaa2axaxx 或解集为时，或即当10,2aaaaaxRxx 且解集为时，即当10,2aaaaxaxx或解集为2(1)(1)二次项系数二次项系数a a不确定时，不确定时，先讨论先讨论a0,a=0,a0,a=0,a00，=0=0，0;0;(3)(3)两根的大小两根的大小不确定时
3、，不确定时，再讨论根的大小再讨论根的大小.注意：特殊情况优先讨论注意：特殊情况优先讨论根的大小不确定的情况 时，当解：01a,02 x原式化简为0 xx解集为 时，当02aaaxaaxaxax2221211,1102的两根为方程244a时，即当100442aaaaxaax221111解集为时，即当10442aa原不等式的解集为时，即当10442aa原不等式的解集为 时，当03a时，即当010442aaaaxaaxaxax2221211,1102的两根为方程21xx 且aaxaaxx221111或解集为时，即当10442aa012x原不等式化简为1xx原不等式的解集为时，即当10442aaR原不
4、等式的解集为二次项系数与根的个数不确定的情况题型题型2 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题 恒成立时，当解：0301a 恒成立，对一切实数时，满足不等式当xa00203402aaaa则0a解得0aaa的取值范围为综上所述，0aa 时，即当解：1,0112aa恒成立时，011a不恒成立时，0121xa 恒成立，对一切实数时，满足不等式当xa00122014101222aaa则153a解得153aaa的取值范围为综上所述，153aa.0,0,0002cbaaxcbxax或应满足条件恒成立对任意的实数不等式 2axxf的对称轴为解：时即当4,22aa axfx372有最小值为时，如图所
5、示，解得35,237aa无解即354aa时即当44,222aa aaxfax3422有最小值为时，如图所示，解得222222,2342aaa2224a时即当4,22aa axfx72有最小值为时，如图所示，解得5,27aa45a2225aaa的取值范围为综上所述轴动区间定问题1522xaxx解：原不等式可化简为41 x01x Rax恒成立，此时时，当0411,01412xx时，当axxx1522不等式化简为axx141axx14124)14(12141xxxx时取等号即当且仅当3,141xxx4a4aaa的取值范围为综上所述，实数分离参数法解分离参数法解恒成立问题恒成立问题axaaxxy的对称
6、轴为解：222时当0a20ayx有最小值为时，如图所示，2,02aa解得02a时当20 a22aayax有最小值为时，如图所示，21,022aaa解得20a时当2aayx362有最小值为时，如图所示，2,036aa解得无解此时a22aaa的取值范围为综上所述，22aa题型题型3 高次（或分式）不等式的解法高次（或分式）不等式的解法022xx移项通分得：001xxx01x0312xxx030312xxxx213xxx或不等式的解集为044322xxx两边同时平方得：011622xx4114xxxx或或不等式的解集为02522xx22x解得：012xx移项通分得：01012xxx21x解得0292
7、xx移项通分得：020233xxxx323xx或解得01153xxx两边同时平方得：0342 xx131xxx或解得3111xxxx或或不等式的解集为时，当0 x0322 xx不等式化简为31xx或解得3x时，当0 x0322 xx不等式化简为13xx或解得3x33xxx或集为综上所述：不等式的解010112xxxax 时当11a11xaxx或不等式的解集为 时当112a11xaxx或不等式的解集为 时当13aaxxx11或不等式的解集为易错点易错点1.忽略二次项系数的讨论忽略二次项系数的讨论 Aa时，01 040022aaaa时，40 a解得40a综上40 aa易错点易错点2.解分式方程忽略分母不为解分式方程忽略分母不为0的情况的情况02023xxx32x解得：易错点易错点3.分式方程右边不为分式方程右边不为0时不能等价代换时不能等价代换025xx02025xxx52x解得：注意：不等式右边不为0 时要先移项通分
