1、 3.2.1 函数的基本性质-单调性与最大（小）值人教A版高中必修第一册引言 前面学习了函数的定义和表示方法，知道函数y=f(x)(XA)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系。这样我们就可以通过研究函数的变化规律来把握世界中事物的变化规律。因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图像有什么特征等，是认识客观规律的重要方法。变化中的变化中的不变性不变性，变化，变化中的中的规律性规律性就是性质就是性质函数的单调性 在初中，我们利用函数图像研究过函数值随自变量的增大增大（减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。先研究二次函数f(x)=x2的单调性，其
2、图像如下：f(x)=x2你能描述函数的单调性情况吗？函数的单调性f(x)=x2x1x2f(x1)f(x2)图像在y轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当x0时，y随x的增大而减小。你能用数学语言描述吗？任取x1,x2(-,0,当x1f(x2),就说函数f(x)=x2在区间(-,0上是单调递减的。任取x1,x20,+),当x1x2时，有f(x1)f(x2),就说函数f(x)=x2在区间0,+)上是单调递增的。当x0时呢？函数的单调性思思考考函数f(x)=x,f(x)=-x2各有怎样的单调性？函数图像如下：xy0f(x)=xxyf(x)=-x20函数的单调性函数单调性的定义一般地，设函数f(x)
3、的定义域为I，区间DI:如果x1,x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数（increasing function).xyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI:如果x1,x2D,当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数（decreasing function).类似的，你能给出单调递减和减函数的定义吗？xy0y=f(x)x1x2f(x1)f
4、(x2)函数的单调性如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格）的单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。思思考考教材P77问题函数单调性的证明例1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k0)的单调性.分析：根据函数单调性的定义，需要考察当x1x2时f(x1)f(x2).只需考察f(x1)-f(x2)与0的大小即可1212121212()(0),()()()()=().f xkxb kRx xRxxf xf xkxbkxbk xx解：函数的定义域是，且则1212,0 xxxx由得所以函数单调性的证明12121210()0.()()0 ()
5、().()kk xxf xf xf xf xf xkxb（）当时，于是即这时，是增函数.1212122 0()0.()()0,()().().kk xxf xf xf xf xf xkxb（）当时，于是即这时，是减函数函数单调性的证明例2 根据函数定义证明函数 在区间（1，+）上单调递增.1yxx 归纳：定义法证明函数单调性的步骤（1）取值 （2）作差变形 （3）定号 （4）结论证明:12121，xxx x 由得121211 0，x x x x所以-12120，x xxx 又由得-12121210，xxx xx x于是12，y f(5x-6),求实数x的取值范围.（3）已知函数 若f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围.2,1,()(4)1,1.2xxf xaxx分析：根据函数单调性求取值范围，通常要构造不等关系解出范围。但对于分段函数，要特别注意断点处函数值大小的比较。课堂小结1、增函数与减函数的定义2、判断函数单调性的方法（1）图象法:看图象从左向右是上升还是下降（2）用定义证明函数单调性的步骤:取值 作差变形定号结论
