1、 第第4 4章章 被控过程的数学模型被控过程的数学模型第1页，共56页。1 1）掌握被控过程机理建模的方法与步骤；掌握被控过程机理建模的方法与步骤；2 2）熟悉被控过程的自衡和非自衡特性；熟悉被控过程的自衡和非自衡特性；3 3）熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表达式；达式；4 4）重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作图重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作图方法和数据处理；方法和数据处理；5 5）熟悉被控过程的一次完成最小二乘建模方法，学会熟悉被控过程的一次完成最小二乘建模方法，学会用用MATLAB语言编写算法程序。语言编写算法程
2、序。6 6）熟悉被控过程的递推最小二乘建模方法，学会用熟悉被控过程的递推最小二乘建模方法，学会用MATLAB语言编写算法程序。语言编写算法程序。第2页，共56页。第一节第一节过程建模的基本概念过程建模的基本概念一、被控过程的数学模型及其作用 被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输出变量之间定量关系的描述其中：过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道控制作用至输出变量的信号联系称为控制通道干扰作用至输出变量的信号联系称为干扰通道过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和 第3页，共56页。过程的数学模型静态数学模型动态数学模型 过程输出实际上是多个输入的函数，每个输入对被控量的影响都是不一样的
3、，通常选用一个可控性良好的输入作为控制量，而其他输入被统称为外部扰动。第4页，共56页。二、被控过程的特性二、被控过程的特性依据过程特性的不同分为自衡特性与无自衡特性、单容特性与多容特性、振荡与非振荡特性等 1有自衡特性和无自衡特性 当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量在无人或无控制装置的干预下，能够自动恢复到原来或新的平衡状态，则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则被认为无自衡特性。第5页，共56页。无自衡过程及其阶跃响应曲线 自平衡特性其传递函数的典型形式有：()(1)KG sTs一阶惯性环节 二阶惯性环节 12()(1)(1)KGsTsTs()(1)sKeG sTs12()(1)
4、(1)sKeG sTsTs二阶惯性+纯滞后环节 一阶惯性+纯滞后环节 具有自衡特性的过程及其响应曲线 无平衡特性其传递函数的典型形式有：1()GsT s121()(1)G sTs T s1()sG seTs121()(1)sG seTs Ts一阶环节 二阶环节 二阶+纯滞后环节 一阶+纯滞后环节 第6页，共56页。3振荡与非振荡过程的特性在阶跃输入作用下，输出会出现多种形式。图中，a)、b)和c)为振荡过程，d)和e)为非振荡过程。4具有反向特性的过程 对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间内，过程的输出先降后升或先升后降，即出现相反的变化方向，则称其为具有反向特性的被控过程。第7页，共5
5、6页。4具有反向特性的过程锅炉汽包水位的变化过程即为典型的具有反向特性的过程。冷水量 蒸发率水位进水量大 汽泡溃灭 水位第8页，共56页。三、过程建模方法1机理演绎法（解析法）根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系，用数学解析的方法求取被控过程的数学模型。2试验辨识法 先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的输出变化量，得到一系列试验数据或曲线，最后再根据输入输出试验数据确定其模型的结构（包括模型形式、阶次与纯滞后时间等）与模型的参数。3.混合法 机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用的一种方法第9页，共56页。第二节 解析法建立过程的数学模型一、解析法建模的一般步骤1）
6、明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量；2）以物料或能量平衡方程为基本依据,列写基本平衡方程；3）以基本平衡方程减去起始平衡点的平衡方程（初始 条件），得到增量方程；4）整理得到以增量为变量的微分方程标准形式。二、单容过程的解析法建模例1：某单容液位过程，如右图。贮罐中液位高度h为被控参数,流入贮罐的体积流量q1为过程的输入量并可通过阀门1的开度来改变；流出贮罐的体积流量q2为过程的干扰，其大小可以通过阀门2的开度来改变。试确定q1与h之间的数学关系?第10页，共56页。解 根据动态物料平衡关系，即在单位时间内贮罐的液体流入量与单位时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存量的变化率1
7、2dhqqAdt则有：写为增量形式为12d hqqAdt 1q2q其中h分别为偏离某平衡状态的增量。A为贮罐的截面积2R假定近似成正比而与阀门2的液阻成反比2q与h则有 22hqR,带入增量式中可得单容液位过程的微分方程增量式 进行拉普拉斯变换，并写成传递函数形式 221d hR AhR qdt 212()()()11H sRKGsQ sRCsTs其中：CRT2为被控过程的时间常数 2RK 为被控过程的放大系数 为被控过程的容量系数，或称 AC C过程容量，这里第11页，共56页。一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义：KG(s)Ts 1ttx0y()yxv放大倍数K的物理意义K表明了稳态时，
8、输出对输入的放大倍数。求法：K=y()/x0vK 越大，表示对象的输入对输出的影响越大。/0()(1)t Th tKxe阶跃响应函数：第12页，共56页。v时间常数T的物理意义对象受到阶跃输入后，输出达到新的稳态值的63.2所需的时间，就是时间常数T。或对象受到阶跃输入后，输出若保持初始速度变化到新的稳态值所需时间就是时间常数。0y()x(1-)tTt TtKe-10y()x(1-)TKetT0.632y)00.632 xK求法：第13页，共56页。在相同的阶跃输入作用下，对象的时间常数不同时，被控变量的响应曲线如图所示。vT反映了对象输出对输入的响应速度T越大，响应越慢。如水槽对象中 T=A
9、R，说明水槽面积越大，水位变化越慢。第14页，共56页。vT也反映了过渡过程时间被控变量变化到新的稳态值所需要的时间理论上需要无限长。当t时，才有yKx0 ，但是当t=3T 时，便有：即：经过3T时间，输出已经变化了满幅值的95。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。300y(3)x(1-)0.95 x0.95y()-TKeK0y()x(1-)tTtKetTy)3T第15页，共56页。例2dthdAQ1dthdAQQ2102Q1()11()()IH sG sQ sAsT sIT积分时间常数恒量泵第16页，共56页。输入输出特性：我们把这种平衡被打破没有能力自动达到新平衡位置的系统称为：“无自衡
10、能力过程”。第17页，共56页。112d TQQCdt例3 求T1 和Q1的关系dtdTCQQ121212TTAKQrRTTQdtTdC)(21111,rrRK AKA保温材料热传递系数，容器散热面积R热阻；C热容RTTTTAKQr/21212第18页，共56页。2111TQRTdtTdRC02T假设环境温度恒定则：RTTQdtTdC)(2111111QRTdtTdRC 1111TsKRCsRsQsTsG会对系统形成干扰如果环境温度变化则,02T第19页，共56页。例421URiUidtCU12122UUdtdURC 111112TsRCssUsUsG)()()(122sUsUsRCsURUU
11、dtdUC212第20页，共56页。单容过程模型总结单容过程模型总结 总结以上几个例子可以发现每个被控过程中都有一个总结以上几个例子可以发现每个被控过程中都有一个储存储存“能量能量”的环节。的环节。液容 液位控制系统中水箱的储水量 系数为水箱截面积A热容 温度控制系统中热水所含的热量 系数为热水质量与比热的乘积Gcp电容 电压控制系统系统中的电容 系数为电容量C 所谓单容过程指的是只有一个储能环节的过程。有自衡特性的单容过程是一阶惯性环节，无自衡特性的是一个积分环节。第21页，共56页。三、多容过程的解析法建模以自衡特性的双容过程为例，如图设q1为过程输入量，第二个液位槽的液位h2为过程输出量
12、，若不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道所形成的时间延迟，试求q1与h2之间的数学关系。解根据动态平衡关系，列出以下增量方程 1112d hCqqdt 122hqR2223d hCqqdt233hqR进行拉普拉斯变换，整理得到传递函数、数学模型 2231212()()1()()()11Q sH sRGsQ sQ sTsTs12TR C232TRC为槽1的时间常数为槽2的时间常数 其中第22页，共56页。四、多容过程的解析法建模二阶自平衡能力过程 与自平衡单容过程的阶跃响应（如曲线1）相比，双容过程的阶跃响应（如曲线2）一开始变化较慢，其原因是槽与槽之间存在液体流通阻力而延缓了被控量的变化。
13、显然，若串接容器越多，则过程容量越大，时间延缓越长。第23页，共56页。sQsHsQsQsG2212sTsT21111 111231sTRsTsG二阶无自平衡能力过程第24页，共56页。2212RhhQ例62111QQdthdC3222QQdthdC323RhQ输入变量1Q输出变量2h ubububyayaynnn0)1(110)1(1第25页，共56页。思路：提高阶次并消除中间变量思路：提高阶次并消除中间变量dtQddtQddthdC32222dthdRdthdRdtQd2212211dthdRdtQd23313222QQdthdCdthdRhQdthdCdthdC13211122目的是消除
14、dthdRdthdRdthdRdthdC2322122222111公式一2111QQdthdC3222QQdthdC相加得：将第26页，共56页。dthdRRCRCCRRhQCRdthdC23212213221122222)11(1dthdRdthdRdthdRdthdC2322122222111公式一132CRR两边同乘112132223212222221)11(QCRCRRhdthdRRCRCdthdCdthdCCRChQCdthd2123121111公式二第27页，共56页。122122122221)(QKhdthdTTTdthdTT令：31312232121;RKCRTCRTCRT13
15、221213232222312)(QRhdthdCRCRCRdthdCRCR第28页，共56页。如果过程为多个容器依次连接则传递函数为：11121sTsTsTKsGn 1122122112sTTTsTTKsQsHsG 1112sTsTKsQsHsGBA1 221212121212121 221212121212122()()(22)2()()(22)ABTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT第29页，共56页。过程模型中的纯滞后过程模型中的纯滞后 seTsKsG1tQRhdthdAR122 1122TsKAsRRsG122QRhdthdAR第30页，共56页。第三节第三节 实验法建立
16、过程的数学模型实验法建立过程的数学模型试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法；在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最为常用。一、响应曲线法 响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应曲线或输出数据，再根据输入输出数据，求取过程的输入输出之间的数学关系。响应曲线法又分为阶跃响应曲线法和方波响应曲线法 第31页，共56页。1、阶跃响应曲线法1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态;一、注意事项2）在相同条件下应重复多做几次试验，减少随机干扰的影响;3）对正、反方向的阶跃输入信号
17、进行试验，以衡量过程的非线性程度;4）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段时间 再做第二次试验;5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利影响,但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影响试验结果。一般取阶跃变化在正常输入信号最大幅值的5%10%之间，多取10%。第32页，共56页。控制器被控过程测量变送+-ryuym调节阀信号发生器记录仪实验信号的测取框图第33页，共56页。二、模型结构的确定在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构 对于大多数过程，数学模型和传递函数分别为:-s00()e1KG sT s012()(1)(1)KG sT
18、sT s-s012()e(1)(1)KG sTsTs00()1KG sT s一阶惯性一阶惯性+纯滞后 二阶惯性+纯滞后 二阶惯性 对于某些无自衡特性过程，其对应的传递函数为：01()G sT s-s01()eG sT s121()(1)G sTs T s-s121()e(1)G sTs T s注意：对于更高阶或其它较复杂的系统，应在保证辨识精度的前提下，数学模型结构应尽可能简单 第34页，共56页。三、模型参数的确定（1）确定一阶环节的参数 该响应曲线可近似为无时延的一阶环节则其输入与输出的关系为：)e1()(0/00TtxKty0K0T为过程的放大系数，为时间常数。其中上式中，当00)(|)
19、(xKytyt00)(xyK0000/|ddTxKtyt000KxytT0Tt 000000|()tTK xtK xyT以上式为斜率在t=0处作切线，切线方程为当则有：和时第35页，共56页。由以上分析可知，图解法：0K0T根据再在阶跃响应曲线的起点t=0处作切线，该切线与的交点所对应的时间（上图中阶跃响应曲线上的OB段）即为()y 00)(|)(xKytyt先确定0T的确定还可以使用计算法：)e1()(0/00TtxKty00)(|)(xKytyt)e1)()(0/Ttyty02T0T02T)(39%/2)(0yTy)(%36)(0yTy)(%5.68)(20yTy令t分别为时，则有以及在阶
20、跃响应曲线上求得三个状态下的时间t1、t2、t3，不难计算出0T0210322()TttTtt或一般求多个值的平均第36页，共56页。Time(sec.)AmplitudeStep Response05101520253000.511.522.53 153s0 x)(HT第37页，共56页。（2）确定一阶时延环节的参数-s00()e1KG sT s一阶惯性+时延环节的传递函数 需要确定0T0K00()yKx0()y t转化为标幺值()y t0T和的确定步骤是：先将阶跃响应即：)()/()(0ytyty相应的阶跃响应表达式为 tttyTt0e10)(0选取两个不同时刻t1，t2（两点法），代入0
21、201e1)(e1)(2010TtTttyty两边取自然对数，求解化简可得：)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln20102011022010120tytytyttyttytyttT求出0T和第38页，共56页。补充例题163.01003.6)0()(ryyK5878.0)10*63.08.21ln()1ln(11KryM7568.2)10*63.09.51ln()1ln(22KryM利用两点法，取A(20,2.8)和B(50,5.9)两点进行计算：解：第39页，共56页。补充例题15878.0)10*63.08.21ln()1ln(11KryM7568.2)10*63.
22、09.51ln()1ln(22KryM8313.137568.25878.020502112MMttT8700.117568.25878.0)7568.2(*20)5878.0(*50212112MMMtMt87.11 ,83.13 ,63.0TK可知其参数为：第40页，共56页。（3）确定二阶环节的参数 012()(1)(1)KG sTsT s传递函数为：三个需要确定的参数1T0K2T的确定与一阶环节确定方法相同 0K1T2T的确定采用两点法。二阶无时延环节的输入、输出关系为)ee1()(2121221100TtTtTTTTTTxKty 含两个未知数的函数只要任意求两点就可以解出T1和T2，
23、经常取稳态值的40%和80%两点来计算。2.0ee6.0ee22122111212211212211TtTtTtTtTTTTTTTTTTTT求解可得)55.074.1()()(16.2121221212121ttTTTTttTT第41页，共56页。注意：用这种方法确定T1和T2时，应满足120.320.46tt的条件 因为，说明有一个时间常数远大于另一个，系统可以用一个一阶环节近似。00(1)KT s 其中1202.12ttT200)1(sTK其中12022.16ttT时，应为二阶以上环节。当120.46ttnsTKsG)1()(00)55.074.1()()(16.2121221212121
24、ttTTTTttTT32.021tt当时021TT46.021tt当时25.0)(22121 TTTT这时这个函数取得极大值的条件是：T1=T2，则用一个二阶环节近似：第42页，共56页。对于n阶环节传递函数nsTKsG)1()(00nttT16.22100T可以按近似计算的大小由下表确定12tt其中n可以根据n12345678101214t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.6850.710.7350.75高阶过程的n与12tt的关系h()Othn=1 n=2 n=3 n=4 n=5 容量个数越多（阶数n越多），阶跃响应曲线上升越慢。第43页，共56页。2 非
25、自衡对象高阶非自衡对象的近似高阶非自衡对象的近似作图法 sesTsG01 txTdttdytxdttdyT0010001,tan/xxTyt作图求解时tse去掉纯滞后部分第44页，共56页。Time(sec.)AmplitudeStep Response051015202530024681012141618 NoImageus53第45页，共56页。（4）确定二阶时延环节的参数 二阶时延环节阶跃响应曲线如右图：1)1)(e)(210sTsTKsGs传递函数为：需确定参数4个1T2T0K通过拐点F作切线 得纯滞后时间 OA0，容量滞后时间 ABC以及BDTAEDTC、而总的纯滞后时间 00()y
26、KxC0可以证明：21TT与ACTT的关系为xxACxxTT1)1(其中12,TxT12CTTT在CTTT21的约束条件下，可以解得1T2T和这个方程为超越方程，求解比较复杂，通常采用图解法 自学图解法第46页，共56页。有些工艺对象不允许长时间施加较大幅度的扰动，改为施加脉宽为t的方波脉冲，得到的响应曲线称为“方波响应”。2、方波响应曲线法方波响应曲线法是在正常输入的基础上，施加一方波输入，并测取相应输出的变化曲线，据此估计过程参数。第47页，共56页。一个是在t=0时加入的正阶跃信号x1（t）另 一个是在 t=t 时加入的负阶跃信号x2（t）x（t）=x1（t）+x2（t）其中，x2（t）
27、=-x1（t-t）原理：方波信号是两个阶跃信号的代数和。tttttxxxx0 x0 x0第48页，共56页。根据此式，方波响应可逐点拆分为阶跃飞升曲线y1（t）和 y2（t）。对应的响应也为两个阶跃响应之和：y（t）=y1（t）+y2（t）=y1（t）-y1（t-t）ty2(t)OtxOO tttx1(t)x2(t)=x1(t-t)txy1(t)y(t)y(t)第49页，共56页。如图输出响应由两个时间相差t0、极性相反、形状完全相同的阶跃响应叠加而成。12110()()()()()yt yt y t yt yt t110()()()y ty ty tt t=0t0 阶跃响应曲线与方波响应曲线
28、重合 t=2t0 时，10010(2)(2)()ytyty t依次类推，即可由方波响应曲线求出完整的阶跃响应曲线 10010(3)(3)(2)ytytyt第50页，共56页。补充例题2121111()()()()(),10()()(10)y th th th th th ty th t解：矩形脉冲可看成两个相反方向的阶跃作用的代数和，因此第51页，共56页。11111111111(1)(1)0.46(3)(3)1.7(4)(4)3.7(5)(5)8(8)(8)19(10)(10)(0)26.4(15)(15)(5)36844(20)(20)(10)33.526.459.9hyhyhyhyhyh
29、yhhyhhyh1111111111111(25)(25)(15)27.24471.2(30)(30)(20)21 59.980.9(40)(40)(30)10.480.991.3(50)(50)(40)5.1 91.396.4(60)(60)(50)2.896.499.2(70)(70)(60)1.1 99.2100.3hyhhyhhyhhyhhyhhyhh1(80)(80)(70)0.5 100.3100.8yh11()()(10)h ty th t第52页，共56页。第53页，共56页。4.50208.100)0()(ryyK5736.0)2*4.50441ln()1ln(11KryM6
30、224.1)2*4.509.801ln()1ln(22KryM3021.146224.15736.015302112MMttT7963.66224.15736.0)6224.1(*15)5736.0(*30212112MMMtMt利用两点法，取A(15,44)和B(30,80.9)两点进行计算：可知其参数为：80.6 ,30.14 ,4.50TK。第54页，共56页。80.6 ,30.14 ,4.50TK。第55页，共56页。小结机理法建模单容对象双容对象1 1 TsKesGs)()()(1 11 12 21 1 sTsTKesGs 测试法建模阶跃输入矩形波输入作图法计算法现代方法一次完成最小二乘算法递推最小二乘算法第56页，共56页。
