1、1 初中数学常用公式定理 1、整数 ( 包括：正整数、0、负整数 ) 和分数 ( 包括：有限小数和无限环循小数 ) 都是 有理数 如： 3， 0.231，0.737373，无限不环循小数叫做 无理数 如： ， 0.1010010001( 两个 1之 间依次多 1个0) 有理数和无理数统称为实数 2、绝对值 ：a0丨a丨 a；a0丨a丨 a如：丨丨；丨 3.14丨 3.14 3、一个 近似数 ，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的 有 效数字 如： 0.05972精确到 0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0 4、把一个数写成a10 n的形式 (
2、 其中 1a10，n是整数 ) ，这种记数法叫做 科学记数法如： 40700 4.0710 5，0.0000434.3 105 5、乘法公式 ( 反过来就是因式分解的公式) ： ( ab)( ab) a 2 b 2 ( ab)2 a 2 2abb2 ( a b)( a 2abb2) a3 b 3 ( ab)( a2 abb2) a3 b 3 ； a 2 b 2 ( ab)2 2ab， ( ab)2( ab)24ab 6、幂的运算性质： a m a n a mn am a n a mn ( am)n a mn ( ab)n a nbn ( ) nn a n1 n a ，特别： () n () n
3、a01( a0) 如：a3 a 2 a 5 ，a 6 a 2 a 4 ，( a 3)2 a 6，( 3a3)3 27a9， ( 3) 1 ，5 2 ，() 2( ) 2 ， ( 3.14) o 1，() 0 1 7、二次根式 ： () 2a( a0) ， 丨 a丨，( a0，b0) 如： ( 3) 245 6 a 0时， a的平方根 4的平方根2（平方 根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax 2bxc0： 求根公式 是x 2 4 2 bbac a ，其中 b24ac叫做根的判别式 当0时，方程有两个不相等的实数根； 当 0时，方程有两个相等的实数根； 当 0时，方程没
4、有实数根注意：当0时，方程有实数根 若方程有两个实数根x1 和x 2，并且二次三项式 ax2bxc可分解为 a( xx1)( x x2) 以 a和b为根的一元二次方程是x 2( ab)xab0 9、一次函数 y kxb( k0) 的图象是一条直线( b是直线与 y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截 距) 当 k0时， y随x的增大而增大 ( 直线从左向右上升) ；当 k 0时， y随x的增大而减小 ( 直线从左向右下 降) 特别：当 b0时， ykx( k0) 又叫做正比例函数( y与x成正比例 ) ，图象必过原点 10、反比例函数 y( k0)的图象叫做双曲线当 k0时，双曲线在一、三象
5、限( 在每一象限内，从左向 右降 ) ；当 k0时，双曲线在二、四象限( 在每一象限内，从左向右上升) 因此，它的增减性与一次函数 相反 11、统计初步 ：（1）概念 ：所要考察的对象的全体叫做总体 ，其中每一个考察对象叫做个体 从总体 2 中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本 ，样本中个体的数目叫做样本容量 在一组数据中，出现次数 最多的数 ( 有时不止一个) ，叫做这组数据的众数 将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数 ( 或两个数的平均数) 叫做这组数据的中位数 （ 2）公式： 设有 n 个数 x1，x2， xn，那么： 平均数为： 12 n xxx x n + =； 极差： 用
6、一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即： 极差 =最大值 - 最小值； 方差： 数据 1 x、 2 x , n x的方差为 2 s，则 2 s= ()()() 222 12 1 . n xxxxxx n 轾 -+-+-犏 臌 标准差：方差的算术平方根. 数据 1x、2x , nx 的标准差s，则s= ()()() 222 12 1 . n xxxxxx n 轾 -+-+-犏 臌 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。 12、频率与概率： （1）频率 = 总数 频数 ，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图
7、中各个小长 方形的面积为各组频率。 （2）概率 如果用 P 表示一个事件A 发生的概率，则0P （A）1 ； P（必然事件）=1； P（不可能事件）=0； 在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。 大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 13、锐角三角函数： 设 A是RtABC 的任一锐角，则A的正弦： sinA， A的余弦： cosA， A的 正切： tanA并且 sin2Acos2A1 0sinA 1，0cosA1，tanA0 A越大， A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小 余角公式 ：sin( 90o A) cosA，cos( 90o
8、 A) sinA 特殊角的三角函数值：sin30ocos60o ， sin45o cos45o ， sin60ocos30o ， tan30o， tan45o 1， tan60o 斜坡的坡度：i 铅垂高度 水平宽度 设坡角为 ，则 i tan 14、平面直角坐标系中的有关知识： （1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b） ，则 P 关于 x 轴对称的点为P1（a，b） ，P 关于 y 轴对称的 点为 P2（a，b） ，关于原点对称的点为P3（a，b）. h l 3 （2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（ a，b）向左平移h 个单位，坐标变为P（ah，b） ，向右平移h 个单位，坐标变为P（a
9、h，b） ；向上平移h 个单位，坐标变为P（a，bh） ，向下平移h 个单位，坐标 变为 P（a，bh）.如：点 A（2， 1）向上平移2 个单位，再向右平移5 个单位，则坐标变为A（7，1）. 15、二次函数的有关知识： 1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,( 2 是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x. 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向对称轴顶
10、点坐标 2 axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0x（y轴） （ 0,0） kaxy 2 0x（y轴） (0, k) 2 hxay hx(h,0) khxay 2 hx(h,k) cbxaxy 2 a b x 2( a bac a b 4 4 2 2 ，) 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法： a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 ，顶点是），（ a bac a b 4 4 2 2 ，对称轴是直 线 a b x 2 . （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay 2 的形式，得到顶点为(h,k)， 对称轴是直线hx. （3）运用
11、抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点 12 (, ) (, )、xyxy（及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为： 12 2 xx x 9.抛物线cbxaxy 2 中，cba,的作用 （1）a决定开口方向及开口大小，这与 2 axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线 a b x 2 ，故：0b时，对称轴为y轴；0 a b （即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； 0 a b （即a、b异号）时，对称轴在 y轴右侧 . （3）c的大小决定抛物线cbxaxy 2 与
12、y轴交点的位置. 4 当0x时，cy，抛物线cbxaxy 2 与y轴有且只有一个交点（0，c） ： 0c，抛物线经过原点; 0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0 a b . 11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：cbxaxy 2 .已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay 2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标 1 x、 2 x，通常选用交点式： 21 xxxxay. 12.直线与抛物线的交点 （1）y轴与抛物线c
13、bxaxy 2 得交点为 (0, c). （2）抛物线与x轴的交点 二次函数cbxaxy 2 的图像与x轴的两个交点的横坐标 1 x、 2 x，是对应一元二次方程 0 2 cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点(0)抛物线与x轴相交； 有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切； 没有交点(0)抛物线与x轴相离 . （3）平行于x轴的直线与抛物线的交点 同（ 2）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐 标为k，则横坐标是kcbxax 2 的两个实数根 . （4）一次函
14、数0knkxy的图像l与二次函数0 2 acbxaxy的图像G的交点，由方程 组 cbxaxy nkxy 2 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方 程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . （5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy 2 与x轴两交点为00 21 ，xBxA， 则 12 ABxx 1、多边形内角和公式：n边形的内角和等于( n2) 180o （n3，n是正整数），外角和等于360o 2、平行线分线段成比例定理： （1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图： ab c，直线
15、l1与 l2分别与直线a、b、c 相交与点A、B、C D、E、F，则有, ABDEABDEBCEF BCEFACDFACDF （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 如图：ABC 中，DEBC， DE 与 AB、AC 相交与点D、E， 则有：, ADAEADAEDEDBEC DBECABACBCABAC a c A B C D E F l1 b l2 A B C DE C E A B D 5 3、直角三角形中的射影定理：如图： RtABC 中， ACB90o，CDAB 于 D，则有： （1） 2 CDAD BD（2） 2 ACAD AB（3） 2
16、 BCBDAB 4、圆的有关性质： （1） 垂径定理 ：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：经过圆心；垂直弦；平分弦； 平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质注：具备，时，弦 不能是直径（2）两条 平行弦 所夹的弧相等（3）圆心角 的度数等于它所对的弧的度数（4）一条弧 所对的 圆周角 等于它所对的圆心角的一半（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半（6）同弧或等弧 所对的圆周角相等（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等（8）90o的圆周角所对的弦是直 径，反之，直径所对的圆周角是90o ，直径是最长的弦（9）圆内接四边形的对角互补 5、三角形的内心
17、与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心 三角形的内心就是三内角角平分线 的交点三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心 三角形的外心就是三边中垂线的交点 常见结论：（1）RtABC 的三条边分别为：a、b、c（c 为斜边），则它的内切圆的半径 2 abc r； （2） ABC 的周长为l，面积为S ，其内切圆的半径为r ，则 1 2 Slr 6、弦切角定理及其推论： （1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：PAC 为弦切 角。 （2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。 如果 AC 是 O 的弦， PA 是 O 的切线， A 为切点，则
18、11 22 PACACAOC 推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等） 如果 AC 是 O 的弦， PA 是 O 的切线， A 为切点，则PACABC 7、相交弦定理、割线定理、切割线定理： 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。如图，即： PA PB = PC PD 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 如图，即：PA PB = PC PD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如 图，即： PC2 = PA PB C A BD P O C A B D P O C B A D P O C A B O P B C A 6 8、面积公式 ： S 正(边长) 2 S平行四边形底高 S菱形底高( 对角线的积 ) ， 1 () 2 S梯形 上底下底高中位线高 S圆R 2 l圆周长2R 弧长L 2 1 3602 n r Slr 扇形 S圆柱侧底面周长高 2rh，S全面积S侧S底2rh2r 2 S圆锥侧 底面周长母线 rb， S全面积S侧S底rbr 2
