1、 1 微 积 分章学诚 刘西垣 编著普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”家级规划教材家级规划教材(经济管理类)第四章 2 第四章 微分中值定理和导数的应用4.34.54.2微分中值定理微分中值定理洛必达法则洛必达法则函数的单调性函数的单调性曲线的上、曲线的上、下凸性和拐点下凸性和拐点函数的极值与最值函数的极值与最值渐近线和函数作图渐近线和函数作图4.44.64.1 3 第四章 微分中值定理和导数的应用4.14.24.34.44.54.6 数学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙.培根培根（R.Bacon，12141294）数学是科学和技术的基础；没有强有力的数学就不数学是科学和技术的基
2、础；没有强有力的数学就不可能有强有力的科学可能有强有力的科学美国国家研究委员会美国国家研究委员会 4 R.培根，英国方济各会修士，哲学家、科学家和教育改革家，号称“万能博士”他深知获取可靠知识的方法在数学、力学、光学、天文学、地理学、化学、音乐、医学、文法、哲学、伦理学和神学等方面都有不平凡的著作，他强调数学和实验，在他的著作大作中曾企图证明所有科学都需要数学.但他也充分认识到实验对科学发现和验证理论的作用和重要性,并预见科学造福于人类的伟大前景.4.14.34.24.44.54.6 5 导数概念刻画了函数的一种局部特性联系导数和函数的纽带是微分中值定理,它是用导数来研究函数性态的理论基础,从
3、而也成为导数应用的理论基础 本章首先介绍微分中值定理,随后以之为基础介绍了导数的几个重要应用：求未定式的值（洛必达法则）,函数的单调性和曲线的上、下凸性（函数的凹凸性）及拐点的判定,函数的极值和最值的求法,以及绘制函数图形的基本方法4.14.34.24.44.54.6 6 4.1 微分中值定理 4.1.14.1.24.1.34.1.4罗尔定理罗尔定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式4.14.34.24.44.54.6 7 4.1.1 4.1.1 罗尔定理罗尔定理 首先介绍发现于微积分产生之初的一个著名定理费马引理,它具有重要的应用 费马(Fermat)
4、引理 设函数 y=f(x)在点 x0 的一个邻域 U(x0)上有定义,并在 x0 点可导如果f(x)f(x0)(或 f(x)f(x0)(xU(x0)，则 f(x0)=0 这个引理的几何含义是：在引理的假设下,点 P0(x0,f(x0)位于曲线 C：y=f(x)(xU(x0)的“谷底”（或“峰顶”）（如图 4-1）,这时 C 在点P0 的切线必是水平的图 4-14.14.34.24.44.54.6 8 费马(Fermat)引理 设函数 y=f(x)在点 x0 的一个邻域 U(x0)上有定义,并在 x0 点可导如果f(x)f(x0)(或 f(x)f(x0)(xU(x0)，则 f(x0)=0 证 设
5、自变量 x 在点 x0 处有改变量x,且 x0 x U(x0),由假设,f(x0 x)f(x0),从而函数 f(x)相应的增量y=f(x0 x)f(x0)0,故当x 0 时 当x 0,所以函数 f(x)=ln sin x 在 上有意义,这是一个初等函数,从而是连续函数,它在 上可导,其导数为 又 故 f(x)满足罗尔定理的条件,从方程 可解得 ,它就是函数 f(x)的驻点5,66x5,665,665,661()(lnsin)coscot.sinfxxxxx55lnsinlnsinlnsin,66666ff5()cot066f24.14.34.24.44.54.6 14 例例 2 设函数 f(x
6、)在 0,1 上连续,在(0,1)上可导,且 f(1)=0.证明：存在(0,1)使得 证 需证结果可改写为f()f()=(x f(x)|x=0故可考虑函数F(x)=x f(x)它在0,1上满足罗尔定理的条件,从而存在(0,1)使得F()=f()f()=0 1()()0.ff4.14.34.24.44.54.6 15 例例 3 设 f(x)在 a,b 上连续,在(a,b)上可导,且 f(a)=f(b)=0.证明：存在(a,b)使得f()f()=0 证 若拟用罗尔定理证明上述结果,就需将它化成某一函数之导数等于零的形式为此引进函数F(x)=ex f(x)显然,F(x)在 a,b 上满足罗尔定理的条
7、件,故必存在(a,b)使得F()=(ex f(x)|x=ef()ef()=e(f()f()=0由于 e 0,故得 f()f()=04.14.34.24.44.54.6 16 4.1.2 4.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 罗尔定理中的条件 f(a)=f(b)很特殊,一般的函数不满足这个条件,因此在大多数场合罗尔定理不能直接应用由此自然会想到要去掉这一条件,从而导致拉格朗日中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则 (a,b),使得(4.1)或f(b)f(a)=f()(ba)(a b)(4.2)()()(),f bf afba
8、4.14.34.24.44.54.6 17 拉格朗日(Lagrange)中值定理 设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则 (a,b),使得(4.1)这个定理的几何意义是：对于曲线：y=f(x)(xa,b),其端点为 A(a,f(a)和 B(b,f(b),公式(4.1)的左边表示弦 AB 的斜率,右边表示在点C(,f()的切线的斜率(如图 4-3),(4.1)式表明这切线与直线 AB 平行由于 是光滑的连续曲线,这样的点 C 一定存在()()().f bf afba图图 4-34.14.34.24.44.54.6 18 拉格朗日(Lagrange)中值定理 设函数 f(x)在a,
9、b上连续,在(a,b)上可导,则 (a,b),使得(4.1)容易看到,罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情形 证 可用罗尔定理来证明这个定理由于线段 AB 与曲线 有共同的端点,表示 和 AB 的两个函数之差定能满足罗尔定理的条件.()()().f bf afba图图 4-34.14.34.24.44.54.6 19 拉格朗日(Lagrange)中值定理 设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则 (a,b),使得(4.1)续证 从直线 AB 的方程或作新的函数()()().f bf afba图图 4-3()()()(),f bf ayf axaba()()()(),f bf ayf a
10、xaba()()()()()().f bf axf xf axaba4.14.34.24.44.54.6 20 拉格朗日(Lagrange)中值定理 设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则 (a,b),使得(4.1)续证 作新的函数 显然 (x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,其导数为且(a)=0,(b)=0.(x)(xa,b)符合罗尔定理的条件,所以(a,b)使得 这就得到(4.1)式.()()().f bf afba()()()()()().f bf axf xf axaba()()()(),f bf axfxba()()()()0.f bf afba 21 拉格朗日(
11、J.L.Lagrange,17361813),法国数学家,力学家,天文学家.出生于意大利,在中学时代就对数学和天文学深感兴趣,进入他的故乡都灵的皇家炮兵学校学习后,读了天文学家哈雷介绍牛顿的微积分的一篇短文,开始钻研数学.19岁任该校数学教授,23岁被选为柏林科学院院士,30岁任柏林科学院主席兼物理数学所所长.德皇腓特烈大帝认为在“欧洲最大的王”的宫廷里应当有“欧洲最大的数学家”,于是1766年拉格朗日应邀赴德皇宫任职,长达20年,1786年德皇去世后应法王路易十六的邀请定居巴黎,直至去世.22 拉格朗日的工作涉及许多数学分支（包括数论，代数方程论，微积分，微分方程，变分法等）和物理分支，他的
12、主要兴趣是将引力定律应用于行星运动他的著作分析力学是一部科学经典，但在当时却难以找到一个出版商，他是分析力学的创始人他在为微积分奠定基础方面作了独特的尝试，在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一4.14.34.24.44.54.6 23 (4.1)f(b)f(a)=f()(b a)(a b)(4.2)把(4.1)或(4.2)式中的 a,b 互换,公式不变,故当 b a 时,(4.1)和(4.2)式仍然成立 ()()().f bf afba4.14.34.24.44.54.6 24 (4.1)f(b)f(a)=f()(b a)(a b)(4.2)公式(4.1)或(4.2)称为
13、拉格朗日中值公式它也可写成f(x2)f(x1)=f()(x2 x1)(介于 x1,x2 之间).(4.3)拉格朗日定理的条件一般函数都能满足,所以应用比较广泛,在微分学中占有重要地位,故有时也称为微分中值定理 与罗尔定理一样拉格朗日定理只是断定了适合(4.1)式的中值的存在性,并没有给出确定的方法或说明这种有多少个,但它仍然具有重要的理论意义 ()()().f bf afba4.14.34.24.44.54.6 25 例例 4 试就函数 f(x)=ln x (x1,e)验证拉格朗日定理 解 f(x)=ln x 是基本初等函数,在1,e上连续,在(1,e)上可导,其导数为拉格朗日中值公式(4.1
14、)此时为而 f(e)=ln e=1,f(1)=ln 1=0,故上式即为 或=e1易知 1 e,所以拉格朗日定理的结论成立1().fxx(e)(1)().e1fff1(),f11,e1 拉格朗日中值定理 设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则 (a,b),使得(4.1)()()().f bf afba4.14.34.24.44.54.6 26 从拉格朗日定理可以得到两个重要推论 推论 1 如果函数 f(x)在区间 I 上的导数恒等于零,则 f(x)在 I 上是一个常数.证 由假设,f(x)在 I 上满足拉格朗日定理的条件.任取 x1,x2 I,x1 x2,由拉格朗日中值公式(4.
15、3),有 f(x2)f(x1)=f()(x2 x1)(x1 0,函数 y=ln(1+x)在0,t上满足拉格朗日定理的条件,由此 (0,t)使得由于 0 t,故 所以因为 t 是任意正数,不等式得证ln(1)(0).1xxxxx1 ln(1)ln1ln(1)()(0).1ttftt111,11tln(1).1tttt4.14.34.24.44.54.6 31 4.1.3 4.1.3 柯西中值定理柯西中值定理 拉格朗日中值定理还可以推广到两个函数的情形,即有 柯西(Cauchy)中值定理 设函数 f(x)和 g(x)都在a,b上连续,在(a,b)上可导,且g(x)0(x(a,b),则(a,b)使得
16、(4.4)证 由拉格朗日定理,在条件 g(x)0 下,g(b)g(a)=g()(b a)0 (a a 0,函数 f(x)在 a,b 上连续,在(a,b)上可导,证明：存在(a,b)使得 证 上式可改写为 故若设 则 F(x)和 G(x)在 a,b 上满足柯西中值定理的条件,所以必(a,b)使得而 从而又 问题得证.()()()().bf aaf bffba()()()(),11fbfabaffba()1(),()(),f xF xG xaxbxx()()().()()()F bF aFG bG aG22()()1(),(),xfxf xF xG xxx()()(),()FffG()()()()
17、,()()F bF abf aaf bG bG aba4.14.34.24.44.54.6 34 4.1.4 4.1.4 泰勒公式泰勒公式 应用柯西中值定理可以证明下述定理,该定理对于更精细地研究函数具有重要意义.泰勒(Taylor)定理 设 f(x)在区间(a,b)上有连续的 n+1 阶导数,x0(a,b),则有(4.5)其中是介于 x0 和 x 之间的某个值.()20000000(1)10()()()()()()()()2!()()(,),(1)!nnnnfxfxf xf xfxxxxxxxnfxxxa bnL4.14.34.24.44.54.6 35 泰勒定理 设 f(x)在区间(a,b
18、)上有连续的 n+1 阶导数,x0(a,b),则有(x(a,b),其中是介于 x0 和 x 之间的某个值.证 不妨设 x0 x 的情况与之完全类似),考虑函数 和 G(t)=(xt)n+1,显然,F(t)和G(t)在x0,x上连续,在(x0,x)上可导,且 F(x)=G(x)=0,G(x0)=(xx0)n+1,G(t)=(n+1)(x t)n.并在(x0,x)上 G(t)0.()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!(1)!nnnnfxfxff xf xf xxxxxxxxxnnL()2()()()()()()()()()2!nnf tftFtf xf tf t
19、 x tx tx tn L()200000000()()()()()()()()()2!nnfxfxF xf xf xf xx xx xx xnL(1)()()(),!nnftF txtn(4.5)所以 F(t)和 G(t)在 x0,x 上满足柯西中值定理条件,从而存在(x0,x),使得 即00()()(),()()()F xF xFG xG xG()(1)20000000(1)10()()()()()()()()()()2!()!.(1)!()(1)()nnnnnnnf xfxff xf xf xx xx xx xxnfnnx xnx L4.14.34.24.44.54.6 36 泰勒定理
20、设 f(x)在区间(a,b)上有连续的 n+1 阶导数,x0(a,b),则有(x(a,b),其中是介于 x0 和 x 之间的某个值.因此此即公式(4.5).()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!(1)!nnnnfxfxff xf xf xxxxxxxxxnnL(4.5)()20000000(1)10()()()()()()()()2!()().(1)!nnnnfxfxf xf xfxxxxxxxnfxxnL所以 F(t)和 G(t)在 x0,x 上满足柯西中值定理条件,从而存在(x0,x),使得 即00()()(),()()()F xF xFG xG xG(
21、)(1)20000000(1)10()()()()()()()()()()2!()!.(1)!()(1)()nnnnnnnf xfxff xf xf xx xx xx xxnfnnx xnx L (4.5)常称为 f(x)在点 x0 的 n 阶泰勒公式.当 n=0 时,(4.5)就是拉格朗日中值公式,故泰勒定理是拉格朗日中值定理的推广.4.14.34.24.44.54.6 37 泰勒定理 设 f(x)在区间(a,b)上有连续的 n+1 阶导数,x0(a,b),则有(x(a,b),其中是介于 x0 和 x 之间的某个值.当 x x0 时,它表明,当用 n 次多项式作为 f(x)的近似时,其误差将
22、随着 n 的增加而很快减小.当 n=1 时,(4.5)就是用微分 d f|x=x0 逼近增量y=f(x)f(x0)的近似计算公式,所以公式(4.5)在函数值的近似计算中有用.()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!(1)!nnnnfxfxff xf xf xxxxxxxxxnnL(4.5)(1)100()()().(1)!nnnfxxo xxn()20000000()()()()()()()2!nnfxfxf xfxxxxxxxnL 并且在进一步的附加条件下,可以得到函数的另一种表示形式(即用无穷级数表示).38 泰勒(B.Taylor,16851731),英
23、国数学家,18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一,17141718年任皇家学会秘书,是有限差分理论的奠基人.在1715年出版的著作正的和反的增量方法中陈述了他在1712年得到的,后又以其名命名的定理.书中还讨论微积分在一系列物理问题中的应用.这个定理在1670年最早为J.格雷戈里(J.Gregory,16381675)和1673年莱布尼茨独立发现,但他们都未发表.J.伯努利(John Bernoulli)于1694年在一杂志上首先公开发表了这个结果.泰勒知道，但没有引证，两者的“证明”也不同.4.14.34.24.44.54.6 39 例例 8 求下列函数在 x=0 点的 n 阶泰勒公式
24、：1)ex;2)ln(1+x).解 1)由于(ex)(k)=ex(kN),函数 ex 适合泰勒定理的条件,在 x=0 点 ex=1,故由(4.5)得 (介于 0 和 x 之间)(4.5)22ee12!(1)!e1(01).2!(1)!nxnxxxxnnxxxnn LL()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!(1)!nnnnfxfxff xf xfxxxxxxxxxnnL4.14.34.24.44.54.6 40 例例 8 求下列函数在 x=0 点的 n 阶泰勒公式：1)ex;2)ln(1+x).解 2)设 f(x)=ln(1+x),则 用数学归纳法可以证明f(
25、k)(x)=(1)k 1(k 1)!(1+x)k (kN).所以 f(k)(0)=(1)k1(k1)!(kN).代入(4.5)即得其中介于 0 和 x 之间,或=x(00,同样可以证明lnlim(0).xxx11ln1limlimlim0.xxxxxxxxlimenxxx1!limlimlim0.eeennxxxxxxxnxnLlim0.exxx 例 6 和例 7 说明,当 x+时,ln x,x(0)和 ex 都是无穷大量,但它们增长的速度却有很大的差别：x(0 不论多么小)比 ln x 快,而 ex 又比x(0 不论多么大)更快,所以在描述一个量增长得非常快时,常常说它是“指数型”增长4.1
26、4.34.24.44.54.6 58 4.2.2 4.2.2 其他类型的未定式其他类型的未定式 除前面讲述的 型和 型未定式外,还有 5 种其他类型的未定式：0,00,1,0.0 和 型未定式可通过代数恒等式变形转化成 型或 型未定式 00,1,0 型未定式可通过取对数转化成 0 型未定式 下面用几个例子来说明这些类型未定式的计算00004.14.34.24.44.54.6 59 例例 8 求 解 当 x 时 所以这是 0 型未定式.设1lim(e1).xxx1e10,x 11000e101lim(e1)lim()()10e1limlimee1.xxxxttttxtxxt型4.14.34.24
27、.44.54.6 60 例例 9 设 a 0,求 解 当 x 0+时 x a 0,ln x ,这是 0 型未定式.这个例子说明,当 x 0+时,尽管 ln x 是无穷大量,它与无穷小量 xa(a 0)的乘积仍是一个无穷小量0limln.axxx001000lnlimlnlim()11limlim1lim0.aaxxaaxxaxxxxxxaxaxxa 型4.14.34.24.44.54.6 61 例例 10 求 解 这是 型未定式.2lim(sectan).xxx2221sin0lim(sectan)lim()cos0coslim0.sinxxxxxxxxx型4.14.34.24.44.54.6
28、 62 例例 11 求 (00 型).解 设 y=x x,则 ln y=x ln x,所以 (由例 9,p.137).从而0limxxx00lim lnlimln0 xxyxx000limlime1.xxxyx例例 9 设 a 0,求 (答案:0)0limln.axxx4.14.34.24.44.54.6 63 例例 12 求 解 这是 1 型未定式设 ,则从而2limarctan.xxx22limlimarctan=e.xxxyx22222lim lnlimlnarctan(0)112lnlnarctanarctan1lim()lim11012lim.arctan(1)xxxxxyxxxxx
29、xxxxx 型型2arctanxyx4.14.34.24.44.54.6 64 4.3 函数的单调性 1.3 节讲述了函数在区间上的单调性概念,对于给定的函数或曲线,常常首先关注的是函数的增减性或曲线的升降走向,这是函数或曲线的一种基本的性质.如果按定义来判别函数在给定区间上的单调性,一般比较麻烦,但如果用导数和微分中值定理来处理就会容易得多.4.14.34.24.44.54.6 65 设函数 y=f(x)是a,b上单调增加（或减少）的连续函数,并且在(a,b)上可导,则如图 4-4(a)(或图 4-4(b)所示,曲线 C:y=f(x)(x(a,b)在每一点的切线的倾角都是锐角(或钝角),从而
30、f(x)0 (或 0)图 4-44.14.34.24.44.54.6 66 设函数 y=f(x)是a,b上单调增加（或减少）的连续函数,并且在(a,b)上可导,则如图 4-4(a)(或图 4-4(b)所示,曲线 C:y=f(x)(x(a,b)在每一点的切线的倾角都是锐角(或钝角),从而f(x)0 (或 0)事实上,由函数 f(x)单调增加的定义,对任意一点 x(a,b)和自变量在 x 的增量x(x+x(a,b),对应的函数的增量为y=f(x+x)f(x),当x 0 时y 0,当x 0 时y 0(x(a,b),则由拉格朗日中值定理,对任意的 x1,x2a,b,x1 x2,有f(x2)f(x1)=
31、f()(x2 x1)(x1 0,故 f(x2)f(x1)0,即 f(x2)f(x1),所以 f(x)是单调增加的.同理,如果 f(x)0(x(a,b)时 f(x)在a,b上单调增加;当 f(x)0(0,在(,0)上 y 0;在(1,2)上 f(x)0,且为证 f(x)在(0,+)内单调增加,只要证 f(x)0,即证由于 因此,在(0,+)上 g(x)0,问题得证.1()1xf xx111()1ln 1.1xfxxxx11()ln 10.1g xxx22111(),(1)(1)(1)g xxxxxx 4.14.34.24.44.54.6 74 例例 5 证明：当 x 0 时,证 设 则 f(0)
32、=0,其导数所以 f(x)在0,+)上单调增加,从而 f(x)f(0)=0.这就证明了左边的不等式成立 用同样的方法,引进函数 g(x)=x arctan x,可以证明右边不等式3arctan.3xxxx3()arctan,3xf xxx42221()10(0).11xfxxxxx 4.14.34.24.44.54.6 75 4.4 曲线的上、下凸性和拐点4.4.14.4.2曲线的上、下凸性和拐点曲线的上、下凸性和拐点函数的凸性函数的凸性4.14.34.24.44.54.6 76 4.4.1 4.4.1 曲线的上、下凸性和拐点曲线的上、下凸性和拐点 曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向 设 f(
33、x)是定义在区间 I 上的函数,P1,P2 是曲线 C:y=f(x)(xI)上的任意两点,线段 P1P2 称为曲线 C 的弦,C 上介于 P1,P2 之间的曲线段 称为 C 的弧 定义 如果曲线 C:y=f(x)(x I)上任意两点 P1,P2 的弦P1P2 总在弧 之上（下）,则称曲线 C 是下凸（上凸）的 下（上）凸有时也称为上凹或凹（下凹或凸）.1 2PP1 2PP4.14.34.24.44.54.6 77 4.4.1 4.4.1 曲线的上、下凸性和拐点曲线的上、下凸性和拐点 曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向 设 f(x)是定义在区间 I 上的函数,P1,P2 是曲线 C:y=f(x)
34、(xI)上的任意两点,线段 P1P2 称为曲线 C 的弦,C 上介于 P1,P2 之间的曲线段 称为 C 的弧 定义 如果曲线 C:y=f(x)(x I)上任意两点 P1,P2 的弦P1P2 总在弧 之上（下）,则称曲线 C 是下凸（上凸）的 图 4-5(a)中的曲线是下凸(凹)的;图 4-5(b)中的曲线是上凸(凸)的1 2PP图 4-54.14.34.24.44.54.6 78 注意,曲线的上、下凸性与区间有关 如图 4-6,对于曲线:y=(x)(xa,b),弧 是上凸（或凸）的,弧 是下凸（或凹）的 上、下凸弧的分界点称为曲线的拐点（或反曲点）.所以图 4-6 中的点 D 是曲线 的拐点
35、.注意,曲线在拐点必是连续的.曲线的上、下凸性可用解析的方法加以描述.为此,先给出线段的一种解析表示.ADDB图 4-64.14.34.24.44.54.6 79 如图 4-7,设 x1x2,x 介于x1,x2 之间,记 则0 l 1,从而 x x1=l(x2 x1)(0 l 1),或x=x1+l(x2 x1)=(1 l)x1+l x2 (0 l 1).由此,对于曲线 C:y=f(x)(xI),设 x1,x2 是区间 I 中任意两点,x1x2,则点 P1(x1,f(x1),P2(x2,f(x2)C.直线P1P2有方程以 x=(1l)x1+l x2(0 l 1)代入上式,得121,xxxxl图
36、4-7212221()()()().f xf xyf xxxxx21212221()()()(1)f xf xyf xxxxxxll即 y=f(x2)+(l1)(f(x2)f(x1)=(1l)f(x1)+l f(x2).4.14.34.24.44.54.6 80 因此,如图 4-8,弦 上的点 P 有坐标(1 l)x1+l x2,(1l)f(x1)+l f(x2)(0 l 1);对于同一 x,弧 上的点 P 有坐标(1l)x1+l x2,f(1l)x1+l x2).若曲线 C 是下凸的,则 P 应在 P 的下方(图 4-8(a),从而有 f(1l)x1+lx2)(1l)f(x1)+l f(x2
37、)(0 l 1);(4.6)1 2PP图 4-81 2PP4.14.34.24.44.54.6 81 因此,如图 4-8,弦 上的点 P 有坐标(1 l)x1+l x2,(1l)f(x1)+l f(x2)(0 l (1l)f(x1)+l f(x2)(0 l 1).(4.7)1 2PP图 4-81 2PP4.14.34.24.44.54.6 82 如果函数 f(x)在区间 I 内可导,即曲线 C 处处有切线,则 C 的上、下凸性可以用另一种方式来描述,并给出用导数 f(x)进行判别的方法.如图 4-9(a),如果曲线 C 是下凸的,则 C 的切线的斜率亦即导数 f(x)是单调增加的;同样,如图
38、4-9(b),如果曲线 C 是上凸的,则 C 的导数 f(x)是单调减少的.图 4-94.14.34.24.44.54.6 83 定理 4.2 设 f(x)(xI)在 I 上可导,且 f(x)在 I 上单调增加(单调减少),则曲线 C:y=f(x)(xI)在 I 上是下(上)凸的.证 设 f(x)在 I 上单调增加,x1,x2I,x1x2.为方便计,不妨设 x1 x2,以及 l(0,1).记 x0=(1 l)x1+l x2,则 x1 x0 x2.由拉格朗日中值公式,有f(x1)=f(x0)+f(1)(x1 x0)(x1 1 x0),f(x2)=f(x0)+f(2)(x2 x0)(x0 2 x2
39、).所以(1 l)f(x1)+l f(x2)=(1l)f(x0)+f(1)(x1 x0)+l f(x0)+f(2)(x2 x0)=f(x0)+f(1)(1 l)(x1 x0)+l f(2)(x2 x0).(*)而 x1 x0=l(x2 x1),x2 x0=(1l)(x2 x1),代入(*)式,即得(1l)f(x1)+l f(x2)=f(x0)+l(1l)(x2 x1)(f(2)f(1).4.14.34.24.44.54.6 84 定理 4.2 设 f(x)(xI)在 I 上可导,且 f(x)在 I 上单调增加(单调减少),则曲线 C:y=f(x)(xI)在 I 上是下(上)凸的.续证 由于1
40、x0 f(1).而 l(1l)0,x2 x1 0,所以(1l)f(x1)+l f(x2)f(x0)=f(1l)x1+l x2).此即(4.6)式.从而曲线 C 是下凸的.同样可证,若 f(x)在 I 上单调减少,则 C 是上凸的.若曲线 C 是下凸的,则有 f(1l)x1+l x2)(1l)f(x1)+l f(x2)(0 l 0(xI)时,f(x)在 I 上单调增加;当 f(x)0 (xI),则曲线 C 是下凸的;若 f(x)0,故曲线是下凸的.同样,对于抛物线可以判定它是上凸的.(0),yxx4.14.34.24.44.54.6 86 例例 2 讨论立方抛物线 y=x3 的凸性.解 y =3
41、x2,y =6x.所以,在(0,+)上 y 0,曲线是下凸的;在(,0)上 y 0,曲线是上凸的(如图 1-21).求出了曲线的上、下凸区间,也就可以知道曲线的拐点.例如:在例 2 中坐标原点 O 是立方抛物线上凸和下凸两部分的分界点,故是曲线的拐点.图 1-214.14.34.24.44.54.6 87 一般地说,对于曲线 C:y=f(x)(x I),假设 x0 I,则点 P0(x0,f(x0)C.如果在 x0 的两侧 f(x)异号,则 P0 是 C 的拐点.(在这里要注意,不能说 x=x0 是 C 的拐点,因为拐点必须是曲线上的点.)反之,如果点 P0(x0,f(x0)是曲线 C 的拐点,
42、二阶导数 f(x)在 x=x0 有什么特点呢？假若 f(x)在 I 内连续,则因为曲线 C 在点 P0 的两侧凸性相反,f(x)在 x=x0 的两侧异号,所以必有 f(x0)=0.若 f(x)在 I 内不连续,则 f(x)的二阶导数不存在的点也可能是 f(x)的符号在其两侧发生变化的点,即 f(x0)可能不存在.由此得到4.14.34.24.44.54.6 88 曲线 C:y=f(x)(xI)的拐点的求法 计算 f(x),并求出方程 f(x)=0 的根和 f(x)不存在的点,对于每一个这样的点 x0,若f(x)在 x0 的两侧异号,则 P0(x0,f(x0)是 C 的拐点;否则 P0 不是 C
43、 的拐点.例例 3 求曲线 y=ln(x2+1)的上、下凸区间和拐点.解 让 y =0,得 1 x2=0,x=1.函数无二阶导数不存在的点.点 x=1 和 x=1 把(,+)分成三部分,在(,1)和(1,)上 y 0,曲线是下凸的.当 x=1 时 y=ln 2.故(1,ln 2)和(1,ln 2)是曲线的拐点.222222 22(1)2222(1),.1(1)(1)xxxxxyyxxx4.14.34.24.44.54.6 89 4.4.2 4.4.2 函数的凸性函数的凸性 前面讨论了曲线的上、下凸性,曲线的凸性是函数的凸性的几何表现.定义 如果曲线 C:y=f(x)(xI)是下（上）凸的,则称
44、函数 f(x)(xI)是凸（凹）函数.所以,关于函数 f(x)(xI)和任意的 x1,x2I,x1x2 及 0 l 1,如果总有f(1l)x1+l x2)(1l)f(x1)+l f(x2),(4.7)则 f(x)在 I 上是凹的.4.14.34.24.44.54.6 90 若设 1l=q1,l=q2,则 0 l 1 等价于 q1+q2=1,0 q1,q2 1.(4.6)和(4.7)依次可以写成下列形式：f(q1 x1+q2 x2)q1 f(x1)+q2 f(x2).(4.7)f(1l)x1+l x2)(1l)f(x1)+l f(x2),(4.7)4.14.34.24.44.54.6 91 若设
45、 1l=q1,l=q2,则 0 l 1 等价于 q1+q2=1,0 q1,q2 1.(4.6)和(4.7)依次可以写成下列形式：f(q1 x1+q2 x2)q1 f(x1)+q2 f(x2).(4.7)从前面曲线上、下凸性的判别法,立即可以得到函数凹、凸性的下列判别法：设函数 f(x)在区间 I 中有二阶导数 f(x),若 f(x)0(xI),则 f(x)在 I 上是凸的;若 f(x)0(xI),则 f(x)在 I 上是凹的.4.14.34.24.44.54.6 92 若 f(x)在区间 I 上是凸（凹）函数,则 f(x)是 I 上是凹(凸)函数,故通常只讨论函数 f(x)是否凸函数.函数的凸
46、性在凸分析和最优化理论中是一个基本的概念,有重要的应用.4.14.34.24.44.54.6 93 例例 4 求函数 的凹凸区间.解 f(x)=0 时 x=1,x=0 时 f(x)不存在.点 x=1,0,1 将 f(x)的定义域(,+)分成 4 个区间：(,1),(1,0),(0,1),(1,+).在(,1)(1,+)上 f(x)0,f(x)是凸的.利用函数的凸性可以证明一些不等式.232()33f xxx123233324444()4,()(1).3333fxxxfxxxx4.14.34.24.44.54.6 94 例例 5 证明函数 f(x)=ln x 是凸函数,由此证明不等式a1lbl
47、(1l)a+lb (a,b 0,0 l 0,故f(x)是凸函数.由此,对 a,b 0,ab,0 l 1,由凸函数的定义,即(4.6),有 ln(1l)a+lb)(1l)ln a+l ln b.当 a=b 时上式两边相等,故 a,b 0,l(0,1),有ln(1l)a+lb)(1l)ln a+l ln b.从而(1l)a+lb e(1l)ln a+lb=a1lbl,且“=”当且仅当 a=b 时成立.211(),(),fxfxxx f(1l)x1+l x2)(1l)f(x1)l f(x2),(4.6)4.14.34.24.44.54.6 95 4.5 函数的极值与最值4.5.14.5.2函数的极值
48、函数的极值函数的最值函数的最值4.14.34.24.44.54.6 96 引发导数概念的另一类重要的实际问题就是寻求函数的极值和最值.例如:在一定的发射速度下,对于怎样的射角,大炮的射程达到最大?在 17 世纪初期,伽利略断定在真空中达到最大射程的射角是 45,他还求出了在不同发射角下炮弹所能达到的不同的最大高度.天文学中研究行星运动也遇到计算函数最大、最小值的问题,例如行星到太阳的最近距离和最远距离.4.14.34.24.44.54.6 97 4.5.1 4.5.1 函数的极值函数的极值 定义 给定函数 f(x)(xD),设点 x0D,如果 x0 有一个邻域 U(x0)D,使得 f(x)f(
49、x0)(x ),则称 x0 是函数 f(x)的极大(小)值点,f(x0)称为 f(x)的极大(小)值.函数的极大值和极小值统称为函数的极值,极大值点和极小值点统称为极值点 0()U xo4.14.34.24.44.54.6 98 从定义可知,函数的极值是函数的一种局部性质,即它仅与函数在自变量的某一邻域中变化情况有关,如图 4-10,x1,x3 是函数 y=f(x)的极大值点,x2,x4 是极小值点,f(x1),f(x3)是 f(x)的极大值,f(x2),f(x4)是 f(x)的极小值在图中 f(x1)f(x4),这说明极大值可以小于极小值.图 4-104.14.34.24.44.54.6 9
50、9 由 4.1 节中的费马引理,可得 定理 4.3（极值的必要条件）设函数 f(x)在点 x0 可导,且 x0 是 f(x)的极值点,则必有 f(x0)=0.所以,可导函数的极值点必定是驻点但反之不然,驻点不一定是极值点例如:函数 f(x)=x3 在(,+)上是单调增加的,其图形如图 1-21,f(0)=0,即 x=0 是它的驻点,但不是极值点.图 1-214.14.34.24.44.54.6 100 此外,函数在不可导点也可能取得极值,例如函数 g(x)=|x|,在 x=0 点都取得极小值 0（后者参见 4.3 节例 2,p.139,如图 1-28(c),但它们在点 x=0 均不可导 然而函
