1、专题七二次函数综合专题专题概述专题概述专题突破专题突破专题训练专题训练总纲目录总纲目录二次函数是初中阶段的重要函数,在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用,是近几年河南中考的热点之一.观察近几年河南中考试卷,二次函数题常作为中考压轴题,综合性较强,难度较大.主要考查数学思想、方法以及数学素养等,对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要的意义.专题概述专题概述二次函数的综合题常涉及线段的长度、图形的面积、特殊图形的判定等.专题突破专题突破类型一与线段长度有关的二次函数综合题类型一与线段长度有关的二次函数综合题例例1(2018河南安阳林州一模)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x
2、轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线y=2x-8经过B,C两点.(1)求抛物线的表达式;(2)点D是线段BC上一动点,过点D作x轴的垂线交抛物线于点M,求线段DM长度的最大值;(3)线段DE=,当线段DE(点E在点D的下方)在线段BC上滑动时,是否存在以D,M,E为顶点的三角形和BOC相似?若存在,写出所有符合条件的点M的横坐标;若不存在,请说明理由.5思路导引思路导引(1)确定C(0,-8),B(4,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;(2)设D(t,2t-8),则M(t,t2-2t-8),则DM=2t-8-(t2-2t-8),然后利用二次函数的性质解决问题;(3)先利用勾股定理计算出
3、CB=4,设D(t,2t-8),则M(t,t2-2t-8),DM=-t2+4t,根据MDE=OCB,可分两种情况讨论,分别解关于t的方程即可.5解析解析(1)当x=0时,y=2x-8=-8,则C(0,-8),当y=0时,2x-8=0,解得x=4,则B(4,0),把C(0,-8),B(4,0)代入y=x2+bx+c得解得8,1640,cbc 2,8.bc 抛物线解析式为y=x2-2x-8.(2)设D(t,2t-8),则M(t,t2-2t-8),DM=2t-8-(t2-2t-8)=-t2+4t=-(t-2)2+4,当t=2时,线段DM长度有最大值,最大值为4.(3)存在.在RtOCB中,OB=4,
4、OC=8,CB=4,22485设D(t,2t-8)(1t4),则M(t,t2-2t-8),DM=-t2+4t.DMOC,MDE=OCB.当=时,DMECOB,即=,解得t1=2+,t2=2-(舍去);当=时,DMECBO,即=,解得t1=2+,t2=2-(舍去).综上所述,当M点的横坐标为2+或2+时,以D,M,E为顶点的三角形和BOC相似.DMCODECB248tt54 522DMCBDECO244 5tt586262262变式训练变式训练1-1(2018河南中考押题最后三卷)如图,抛物线y=-x2+bx+c经过点B(5,0),C,直线y=x+交y轴于点E,交抛物线于A,D两点,点P为抛物线
5、上一动点(不与点A,D重合).(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在直线AD上方的抛物线上时,过点P作PMx轴,交直线AD于点M,作PNy轴,交直线AD于点N,求PM+MN的最大值;(3)若点F为直线AD上一点,以E,C,P,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,请直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.23100,3434345解析解析(1)将B(5,0),C分别代入y=-x2+bx+c,得解得故抛物线的解析式为y=-x2+x+.(2)对于y=x+,100,3235050,310,3bcc8,310,3bc23831034343当x=0时,y=,当y=0时,x=-1,E,A(-1,0),O
6、E=,OA=1,AE=.令x+=-x2+x+,解得x1=-1,x2=3,故点D的横坐标为3.4340,34322OEOA5343432383103PNy轴,PMx轴,PNM=CEM=OEA,PMN=EAO,PMNOAE,PM PN MN=OA OE AE=1,PM=PN,PN=MN,PM+MN=PN+PN=PN,设P,则N,4353344545347422810,333mmm44,33mmPN=-=-m2+m+2=-(m-1)2+.点P在直线AD上方的抛物线上,-1m3,当m=1时,PN有最大值,最大值为,故PM+MN的最大值为=.(3)能.点F的坐标为,或(2,4).解法提示:设F.2281
7、0333mm4433m234323838345837414342,384 717,384 717,344,33aa当CE为平行四边形的一边时,PF=CE=-=2,且PFCE,则P,PF=|-a2+a+-a-|=2,当-a2+a+-a-=2时,解得a1=0(不合题意,舍去),a2=2,当-a2+a+-a-=-2时,解得a3=1+,a4=1-,故点F的坐标为(2,4),或,1034322810,333aaa2383103434323831034343238310343437784 717,384 717,3当CP为平行四边形的一边时,EFCP,EF=CP,易求得直线CP的解析式为y=x+,令x+=
8、-x2+x+x,解得x1=0,x2=2,故点P的坐标为(2,6).由平行四边形的性质可得xP-xC=|xE-xF|,43103431032383103即2-0=|0-a|,解得a=2,故点F的坐标为或(2,4).当CF为平行四边形的一边时,a.若点P,F在CE的同侧,则PF=CE,由可知,点F的坐标为或,b.若点P,F在CE的异侧,则CPEF,由可知,点F的坐标为.42,384 717,384 717,342,3综上可知,点F的坐标为,或(2,4).一题多解设P,F.当CE为平行四边形的对角线时,由线段的中点公式可得xC+xE=xP+xF,yC+yE=yP+yF,即0=a+d,+=-a2+a+
9、d+,将a=-d代入+=-a2+a+d+,42,384 717,384 717,322810,333aaa44,33dd10343238310343431034323831034343解得d1=0(不合题意,舍去),d2=-2,故点F的坐标为,当CP为平行四边形的对角线时,由线段的中点公式可得xC+xP=xE+xF,yC+yP=yE+yF,即0+a=0+d,-a2+a+=+d+,将a=d代入-a2+a+=+d+,解得d3=1+,d4=1-,故点F的坐标为或.42,3103238310343434310323831034343437784 717,384 717,3当CF为平行四边形的对角线时,
10、由线段的中点公式可得xC+xF=xE+xP,yC+yF=yE+yP,即0+d=0+a,+d+=-a2+a+,将a=d代入+d+=-a2+a+,解得d5=0(不合题意,舍去),d6=2,故点F的坐标为(2,4).综上可知,点F的坐标为,)或(2,4).1034343432383103103434343238310342,384 717,384 717,3类型二与图形面积有关的二次函数综合题类型二与图形面积有关的二次函数综合题例例2(2017河南商丘九年级名校统一联考)将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x轴、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点
11、A,C及点B(-3,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当APE的面积最大时,求点P的坐标;(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使AGC的面积与(2)中APE的最大面积相等?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.思路导引思路导引(1)先设出抛物线的解析式,然后直接运用待定系数法,求解即可.(2)首先设出点P(m,0),然后由PEAB易知CPECBA,再根据相似三角形的性质,可求出APE的面积的函数表达式,从而将面积问题转化为二次函数的最值问题.最后,根据二次函数的图象和性质,即可求得APE的最大面积及
12、对应的P点坐标.(3)首先设出G点坐标,过G作GHx轴于H,求出AGC的面积表达式,再根据“AGC的面积与APE的最大面积相等”,列方程计算,即可确定G点的坐标.解析解析(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0).抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点A(0,6),c=6,抛物线的图象经过点B(-3,0)和C(6,0),解得该抛物线的解析式为y=-x2+x+6.(2)如图.0936,03666,abab1,31.ab 13设点P的坐标为(m,0)(-3m6),则PC=6-m,SABC=BCAO=96=27,PEAB,CEPCAB.=,即=,1212CEPCABSS2PCBC2
13、7CEPS269mSCEP=(6-m)2.SAPC=PCAO=(6-m)6=3(6-m),SAPE=SAPC-SCEP=3(6-m)-(6-m)2=-+,当m=时,SAPE有最大值,此时,点P的坐标为.(3)存在.点G的坐标为或.详解:如图所示,连接AG、GC,过G作GHBC于点H.1312121313232m274322743,023 27,249 15,24设点G的坐标为(a,b).S梯形AOHG=a(b+6),SGHC=(6-a)b,S四边形AOCG=a(b+6)+(6-a)b=3(a+b),SAGC=S四边形AOCG-SAOC=3(a+b)-66=3(a+b)-18,121212121
14、2又由(2)知SAPE的最大值为,=3(a+b)-18,点G(a,b)在抛物线y=-x2+x+6的图象上,b=-a2+a+6,=3-18,27427413132742163aaa化简,得4a2-24a+27=0,解得a1=,a2=.点G的坐标为或.32923 27,249 15,2 4变式训练变式训练2-1(2017河南濮阳二模)如图,已知抛物线y=ax2+bx-3的对称轴为直线x=1,与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于点C,一次函数y=x+1经过点A,且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式;(2)如图,点P为抛物线上B,C两点之间的任意一点(不包含B、C两点),设点P的横坐标为t,四边
15、形DCPB的面积为S,求出S与t之间的函数关系式,并确定t为何值时,S取得最大值,最大值为多少?(3)如图,将ODB沿直线y=x+1平移得到ODB,设OB与抛物线交于点E,连接ED,若ED恰好将ODB的面积分为1 2两部分,请直接写出此时的平移距离.解析解析(1)由题意可得A(-1,0),抛物线y=ax2+bx-3的对称轴为直线x=1,B(3,0).将A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3可得a=1,b=-2,该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)由题意可得P(t,t2-2t-3),D(0,1),连接BC,作PMy轴,交BC于直线点M,如图所示,由B(3,0),C(0,-3
16、)可得BC的解析式为yBC=x-3,则M(t,t-3).S四边形DCPB=SBCD+SBCP=CDOB+MP|xB-xC|=43+(t-3)-(t2-2t-3)3=6+(-t2+3t)=-+.当t=时,S取得最大值,最大值为.(3),.121212123232232t75832758226212342类型三特殊图形的判定类型三特殊图形的判定1.不确定的特殊图形的存在性判定例例3-1(2018湖南怀化)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;(2)请在y轴上找一
17、点M,使BDM的周长最小,求出点M的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.解析解析(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,-2a=2,解得a=-1,抛物线解析式为y=-x2+2x+3;当x=0时,y=-x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q(p0),把A(-1,0),C(0,3)代入得解得直线AC的解析式为y=3x+3.(2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点D的坐标为(1,4),0,3,pqq
18、3,3,pq作B点关于y轴的对称点B,连接DB交y轴于M,如图1,则B(-3,0),MB=MB,MB+MD=MB+MD=DB,此时MB+MD的值最小,而BD的值不变,此时BDM的周长最小,易得直线DB的解析式为y=x+3,当x=0时,y=x+3=3,点M的坐标为(0,3).(3)存在.过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,直线AC的解析式为y=3x+3,直线PC的解析式可设为y=-x+b,把C(0,3)代入,得b=3,直线PC的解析式为y=-x+3,1313解方程组解得或则此时P点坐标为;过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=-x+b,把A(-1,0)代入得+
19、b=0,解得b=-,直线PA的解析式为y=-x-,223,13,3yxxyx 0,3xy7,320,9xy7 20,391313131313解方程组解得则此时P点坐标为,综上所述,符合条件的点P的坐标为或.223,11,33yxxyx 1,0,xy 1013,397 20,391013,39变式训练变式训练3-1(2018辽宁盘锦)如图,已知A(-2,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx-1过A、B两点,并与过A点的直线y=-x-1交于点C.(1)求抛物线的解析式及对称轴;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPO的周长最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;(
20、3)点M为y轴右侧抛物线上一点,过点M作直线AC的垂线,垂足为N.是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与AOC相似,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.12解析解析(1)把A(-2,0),B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx-1,得解得抛物线的解析式为y=x2-x-1,抛物线的对称轴为直线x=-=-=1.(2)存在.0421,01641,abab1,81,4ab 18142ba14128使四边形ACPO的周长最小,只需PC+PO最小,易得点C的坐标为(0,-1),取点C(0,-1)关于直线x=1的对称点C(2,-1),连接CO,CO与直线x=1的交点即为P点.设过点C
21、、O的直线解析式为y=kx,易得k=-,y=-x,则P点坐标为.(3)存在,当AOCMNC时,121211,2如图,延长MN交y轴于点D,过点N作NEy轴于点E,ACO=NCD,AOC=CND=90,CDN=CAO,由相似可得CAO=CMN,CDN=CMN.MNAC,M、D关于AN对称,则N为DM的中点.设点N的坐标为,由EDNOAC可知,ED=2a,点D的坐标为,N为DM的中点,点M的坐标为,把M代入y=x2-x-1,解得a=4,1,12aa50,12a32,12aa1814则N点坐标为(4,-3),当AOCCNM时,CAO=NCM,CMAB,则点C关于直线x=1的对称点C即为点N,点N的坐
22、标为(2,-1).N点坐标为(4,-3)或(2,-1).2.不确定的特殊图形的探究判定例例3-2(2018河南,23,11)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.解析解析(1)直线y=x-5交x轴于点B,交y轴于点C,B(5,0),C(0,-5),抛物
23、线y=ax2+6x+c过点B,C,抛物线的解析式为y=-x2+6x-5.(2)OB=OC=5,BOC=90,ABC=45.抛物线y=-x2+6x-5交x轴于A,B两点,A(1,0).AB=4.02530,5.acc 1,5.ac AMBC,AM=2.PQAM,PQBC.若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,则PQ=AM=2.过点P作PDx轴交直线BC于点D,则PDQ=45.PD=PQ=4.设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5).分两种情况讨论如下:(i)当点P在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4.m1=1(舍去),m2=4.222(ii)当
24、点P在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4.m3=,m4=.综上,点P的横坐标为4或或.M或.54125412541254121317,66237,66变式训练变式训练3-2(2018河南省实验中学模拟)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-3,0),B(0,-3),C(1,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点
25、Q的坐标.解析解析(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1),把B(0,-3)代入得a3(-1)=-3,解得a=1,抛物线解析式为y=(x+3)(x-1),即y=x2+2x-3.(2)作MNy轴交AB于N,如图1,易得直线AB的解析式为y=-x-3,设M(m,m2+2m-3)(-3m0),则N(m,-m-3),MN=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m,S=3MN=-m2-m=-+,当m=-时,S有最大值,最大值为.(3)有4个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形.设P(t,t2+2t-3),当OB为平行四边形的边时,如图2,PQ=OB,PQOB,12329232
26、232m27832278Q(t,-t),|t2+2t-3-(-t)|=3,即|t2+3t-3|=3,当t2+3t-3=3时,解得t1=,t2=,此时Q点坐标为或,;当t2+3t-3=-3时,解得t3=0(舍去),t4=-3,此时Q点坐标为(-3,3);当OB为对角线时,如图3,则OQBP,POBQ,PO=BQ,而ABOQ,此时P点与A点重合,BQ=OA=3,BQx轴,此时Q点的坐标为(3,-3),3332 3332 333 333,22 3332 3332综上所述,Q点坐标为,或,或(-3,3)或(3,-3).3332 33323332 3332解答题解答题专题训练专题训练1.(2018河南中
27、原名校中考一模)如图,已知抛物线y=ax2+2x+8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且B(4,0).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)如果点P(p,0)是x轴上的一个动点,则当|PC-PD|取得最大值时,求p的值;(3)能否在第一象限的抛物线上找到一点Q,使QBC的面积最大,若能,请求出点Q的坐标;若不能,请说明理由.解析解析(1)抛物线y=ax2+2x+8经过点B(4,0),16a+8+8=0,a=-1,抛物线的解析式为y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,D(1,9).(2)当x=0时,y=8,C(0,8).设直线CD的解析式为y=kx+b.将点C、D的坐标代入,得解得
28、直线CD的解析式为y=x+8.当y=0时,x+8=0,解得x=-8,直线CD与x轴的交点坐标为(-8,0).当P在直线CD上时,|PC-PD|取得最大值,点P在x轴上,8,9,bkb1,8,kbp=-8.(3)能.如图,由(2)知,C(0,8),B(4,0),直线BC的解析式为y=-2x+8,过点Q作QEy轴交BC于E,设Q(m,-m2+2m+8)(0m4),E(m,-2m+8),EQ=-m2+2m+8-(-2m+8)=-m2+4m,SQBC=(-m2+4m)4=-2(m-2)2+8,m=2时,SQBC最大,Q(2,8).122.(2018河南洛阳一模)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-
29、x+2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=对称,且经过A,C两点,与x轴交于另一点为B.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,过点P作PQx轴于M,交AC于Q,求PQ的最大值,并求此时APC的面积;(3)在抛物线的对称轴上找出使ADC为直角三角形的点D,直接写出点D的坐标.1232解析解析(1)令y=-x+2=0,解得x=4,即点A的坐标为(4,0).A、B关于直线x=对称,点B的坐标为(-1,0).令x=0,则y=2,点C的坐标为(0,2),抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C,12321640,0,2,abcabc
30、c解得故抛物线解析式为y=-x2+x+2.(2)AC的解析式为y=-x+2,即x+y-2=0,设点Q的坐标为,则P点坐标为,PQ=-,1,23,22,abc 123212121,22mm213,222mmm213222mm122m=-m2+2m=-(m-2)2+2.当m=2时,PQ取得最大值,PQ最大=2,1212此时点P(2,3),SAPC=S梯形OCPM+SPMA-SAOC=5+3-4=4.(3)D点的坐标为,.详解:设D点的坐标为,ADC为直角三角形分三种情况:3,523,52319,122319,1223,2m当点C为直角顶点时作D1My轴于M,由CD1MACO可得=,=,CM=3,O
31、M=5,即D1;同理,当点A为直角顶点时可求得D2;当点D为直角顶点时过D3作MNy轴,NAx轴,1MCMDOAOC32CM423,523,52由CD3MD3NA可得=,3MCMD3NDNA=,可得m2-2m=,解得m=1.D3,D4,故D点的坐标为,.232m342m154192319,122319,1223,523,52319,122319,1223.(2018濮阳一模)如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=3OB.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D在y轴上,且BDO=BAC,求点D的坐标;(3)点M在抛物线上,点N在抛物线的
32、对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.解析解析(1)由y=ax2+bx-3得C(0,-3),OC=3.OC=3OB,OB=1,B(-1,0),把A(2,-3),B(-1,0)代入y=ax2+bx-3,得4233,30,abab 1,2.ab 抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)连接AC,作BFAC交AC的延长线于F,如图1,A(2,-3),C(0,-3),AFx轴,F(-1,-3),BF=3,AF=3,BAC=45.设D(0,m),则OD=|m|,BDO=BAC,BDO=45,OD=OB=1,|m|=1,m=1
33、,即点D的坐标为(0,1)或(0,-1).(3)设M(a,a2-2a-3),N(1,n),若AB为平行四边形的一边,则ABMN,AB=MN,如图2,过M作ME对称轴于E,AFx轴于F,易得ABF NME,NE=AF=3,ME=BF=3.|a-1|=3,a=4或a=-2.M(4,5)或(-2,5);若AB为平行四边形的一条对角线,则BN=AM,BNAM,如图3,则N在x轴上,M与C重合,M(0,-3),综上所述,存在以点A,B,M,N为顶点的平行四边形,M的坐标为(4,5)或(-2,5)或(0,-3).4.(2018河南新乡一模)如图,一次函数y=-x+2的图象分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物
34、线y=-x2+bx+c过A、B两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)作垂直于x轴的直线x=t,在第一象限内交直线AB于M,交抛物线于N.当t取何值时,MN有最大值,最大值是多少?(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.12解析解析(1)y=-x+2的图象分别交y轴、x轴于A、B两点,A(0,2),B(4,0),将A(0,2),B(4,0)代入抛物线y=-x2+bx+c中,得解得该抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)如图1,设MN交x轴于点E,122,1640,cbc7,22,bc72图1则E(t,0),BE=4-t.tanABO=,ME=BEta
35、nABO=(4-t)=2-t.OAOB24121212又N点在抛物线上,且xN=t,yN=-t2+t+2,NE=yN,MN=NE-ME=-t2+t+2-=-t2+4t=-(t-2)2+4,当t=2时,MN有最大值,最大值为4.(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的位置分三种情况,如图2所示.(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a),由AD=MN,得|a-2|=4,解得a1=6,a2=-2,所以D1(0,6),D2(0,-2),7272122t(ii)当D不在y轴上时,由图可知D3为D1N延长线与D2M延长线的交点,易得D1N
36、的方程为y=-x+6,D2M的方程为y=x-2,由两方程联立解得D3(4,4),故所求的D点坐标为(0,6),(0,-2)或(4,4).1232图25.(2018河南郑州一模)如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BHx轴,交x轴于点H.(1)求抛物线的解析式;(2)写出点C的坐标,并求出ABC的面积;(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当ABP的面积为6时,求点P的坐标;(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时称这样的N点为“美丽点”,求共有多少个“美丽点”.请
37、直接写出当N为“美丽点”时,CMN的面积.解析解析(1)将点A(4,0),B(1,3)代入抛物线y=ax2+bx中,得解得抛物线的解析式为y=-x2+4x.(2)y=-x2+4x=-(x-2)2+4,抛物线对称轴为x=2,点C和点B关于对称轴对称,点B的坐标为(1,3),C(3,3),BC=2,SABC=23=3.(3)如图1,过P点作PDBH交直线BH于点D,连接AP,1640,3,abab1,4,ab 12图1设点P(m,-m2+4m),根据题意,得BH=AH=3,HD=m2-4m,PD=m-1,SABP=SABH+S梯形HAPD-SBPD,6=33+(3+m-1)(m2-4m)-(m-1
38、)(3+m2-4m),1212123m2-15m=0,解得m1=0(舍去),m2=5,点P坐标为(5,-5).(4)以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,可以分三类情况讨论:以点M为直角顶点且M在x轴上方时,如图2,CM=MN,CMN=90,图2则CBM MHN,BC=MH=2,BM=HN=3-2=1,N(2,0),C(3,3),SCMN=CN2=(1+9)=2.5;以点M为直角顶点且M在x轴下方时,如图3,12121212图3作辅助线,构造如图所示的两直角三角形:RtNEM和RtMDC,易得RtNEM RtMDC,EM=CD=5,OH=1,ON=NH-OH=5-1=4,N(-4,0
39、),C(3,3),SCMN=(49+9)=14.5;以点N为直角顶点且N在y轴左侧时,如图4,CN=MN,MNC=90,作辅助线,14图4易得RtNEM RtCDN,ME=NH=DN=3,ON=3-1=2,N(-2,0),C(3,3),SCMN=CN2=(25+9)=17;以点N为直角顶点且N在y轴右侧时,作辅助线,如图5,1212图5同理得ME=DN=NH=3,ON=1+3=4,N(4,0),C(3,3),SCMN=CN2=(1+9)=5;以C为直角顶点时,不能构成满足条件的等腰直角三角形.综上可知共有4个“美丽点”,当N为“美丽点”时,CMN的面积为2.5或5或14.5或17.12126.
40、(2018河南焦作二模)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点B(3,0),C(0,-2),直线l:y=-x-交y轴于点E,且与抛物线交于A,D两点,P为抛物线上一动点(不与A,D重合).(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在直线l下方时,过点P作PMx轴交直线l于点M,PNy轴交直线l于点N,求PM+PN的最大值.(3)设F为直线l上的点,以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,求出点F的坐标;若不能,请说明理由.232323解析解析(1)将B(3,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c得抛物线的解析式为y=x2-x-2.(2)设P,PMx轴,PNy轴,M,N在直线l上,N
41、,2322330,32,bcc 4,32,bc 2343224,233mmm22,33mmM,PM+PN=-m2+2m+2-m-m-m2+m+2=-m2+m+=-+,当m=时,PM+PN的最大值是.(3)能.y=-x-交y轴于点E,E,CE=,222422,233mmmm23232343535310353212m15412154232320,343设P,若以E,C,P,F为顶点的四边形能构成平行四边形,以CE为边,CEPF,CE=PF,F,-m-m2+m+2=,或m2-m-2+m+=,m=1或m=0(舍去)m=或m=,点F的坐标为F或F,或F,-224,233mmm22,33mm232323434323432323431172117241,31172173311723173以CE为对角线,连接PF交CE于G,CG=GE,PG=FG,G,设P,则F,40,3224,233mmm22,33mm=-,m=1或m=0(舍去),点F的坐标为F(-1,0),综上所述,点F的坐标为或或或(-1,0).122242223333mmm4341,3117317,23117173,23
