1、第二章第二章 网络方程的矩阵形式网络方程的矩阵形式 本章介绍网络方程的本章介绍网络方程的矩阵形式矩阵形式和和矩阵分析法矩阵分析法。这。这是机辅网络分析的基础，也是网络分析与综合的重要是机辅网络分析的基础，也是网络分析与综合的重要工具。工具。主要内容：主要内容：用用A、B、Q表示的基尔霍夫定律的矩阵形式，用支路阻表示的基尔霍夫定律的矩阵形式，用支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵表示的支路方程的矩阵形式，节点分抗矩阵和支路导纳矩阵表示的支路方程的矩阵形式，节点分析法，割集分析法，回路分析法。析法，割集分析法，回路分析法。重点：重点：用用A、B、Q表示的基尔霍夫定律的矩阵形式，用支路阻抗表示的基尔霍夫定律的
2、矩阵形式，用支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵表示的支路方程的矩阵形式，节点分析法。矩阵和支路导纳矩阵表示的支路方程的矩阵形式，节点分析法。110100001110010011A654321 bbbbbb2-1 用关联矩阵用关联矩阵A表示的基尔霍夫表示的基尔霍夫定律的矩阵形式定律的矩阵形式 支路电流向量支路电流向量(branch current vector)Tiiiiii654321 bi 653432521654321110100001110010011iiiiiiiiiiiiiiibAi0 bAi(KCL)上式右端向量元素分别表示与各节点相关联的各支路上式右端向量元素分别表示与各节点相关联的各支
3、路电流的代数和。电流的代数和。653432521654321110100001110010011iiiiiiiiiiiiiiibAi支路电压向量支路电压向量(branch voltage vector)ub=u1 u2 u3 u4 u5 u6T节点电压向量节点电压向量(node voltage vector)Tnnnuuu321 nu 331232211321100101010110011001nnnnnnnnnnnnuuuuuuuuuuuunTuA注意二者注意二者参考方向参考方向确定的规则确定的规则123456uuuuuu=ub 每一行的非零元素表示对应支路所关联的节点和每一行的非零元素表示
4、对应支路所关联的节点和关联形式。关联形式。TAnTbuAu (KVL)左乘左乘 的结果是一个向量，它的每一元素必然是的结果是一个向量，它的每一元素必然是对应支路所关联的两节点电压之差，即为该支路的支对应支路所关联的两节点电压之差，即为该支路的支路电压。路电压。TAnu矩阵形式的矩阵形式的KVL方程是将网络的每一个支路电压用方程是将网络的每一个支路电压用其关联的两个节点电压之差来表示的一组方程。其关联的两个节点电压之差来表示的一组方程。注意：注意：1.向量向量ib中各支路电流的排列次序和中各支路电流的排列次序和ub中各支路中各支路电压的排列次序必须与矩阵电压的排列次序必须与矩阵A的支路排列次序的
5、支路排列次序一致。一致。2.向量向量un中各节点电压的排列次序必须与矩阵中各节点电压的排列次序必须与矩阵A的相应节点的排列次序一致。的相应节点的排列次序一致。2-2 用基本割矩阵用基本割矩阵Q表示的表示的 基尔霍夫定律的矩阵形式基尔霍夫定律的矩阵形式 110100111010101001654321321bbbbbbCCCQ 6536542641654321110100111010101001iiiiiiiiiiiiiiiibQi仍用仍用ib表示对应网络的支路电流向量，并使表示对应网络的支路电流向量，并使ib中各支中各支路电流的排列次序与矩阵路电流的排列次序与矩阵Q中各列所对应的支路排中各列所
6、对应的支路排列次序相同。列次序相同。支路电流向量支路电流向量Tbiiiiii654321i 6536542641654321110100111010101001iiiiiiiiiiiiiiiibQi0 bQi(KCL)Q左乘左乘 ib所得向量的每一元素是相应基本割集所属支所得向量的每一元素是相应基本割集所属支路电流的代数和。路电流的代数和。上式即为将上式即为将KCL应用于被该基本割集分离出来的广应用于被该基本割集分离出来的广义节点所得到的电流方程。义节点所得到的电流方程。3213221321321111110011100010001ccccccccccccccTuuuuuuuuuuuuuuQ支
7、路电压支路电压向量向量ub=u1 u2 u3 u4 u5 u6T基本割集电压向量基本割集电压向量(树支电压向量树支电压向量)uC=uc1 uc2 uc3T=u1 u2 u3TcTbuQu (KVL)将一个连支电压表示为各有关树支电压（即基本割将一个连支电压表示为各有关树支电压（即基本割集电压）的代数和所构成的方程。正是将集电压）的代数和所构成的方程。正是将KVL应用应用与该连支所对应的基本回路时得到的电压方程。与该连支所对应的基本回路时得到的电压方程。3213221321321111110011100010001ccccccccccccccTuuuuuuuuuuuuuuQ2-3 用基本回路矩阵
8、用基本回路矩阵B表示的表示的 基尔霍夫定律的矩阵形式基尔霍夫定律的矩阵形式 100111010110001011321654321Bbbbbbb 6321532421654321100111010110001011uuuuuuuuuuuuuuuubBu仍用仍用ub表示对应网络的支路电压向量，且表示对应网络的支路电压向量，且ub中各中各支路电压的排列次序与矩阵支路电压的排列次序与矩阵B中各列所对应的支中各列所对应的支路排列次序相同。路排列次序相同。支路电压向量支路电压向量123456Tbuuuuuuu0 bBu(KVL)B左乘左乘 ub所得向量的每一元素是相应基本回路所属支所得向量的每一元素是相
9、应基本回路所属支路电压的代数和。路电压的代数和。6321532421654321100111010110001011uuuuuuuuuuuuuuuubBuTllliii 321 li基本回路电流向量基本回路电流向量(vector of fundamental loop currents)或或连支电流向量连支电流向量(link current vector)3213232131321100010001110111101llllllllllllllTiiiiiiiiiiiiiiB 3213232131321100010001110111101llllllllllllllTiiiiiiiiiiiii
10、iBlTbiBi (KCL)将一个树支电流表示为各有关连支电流（即基本回将一个树支电流表示为各有关连支电流（即基本回路电流）的代数和所构成的方程。正是将路电流）的代数和所构成的方程。正是将KCL应用应用与该树支所对应的基本割集时得到的电流方程。与该树支所对应的基本割集时得到的电流方程。小结：小结：0 bAi(KCL)nTbuAu (KVL)0 bQi(KCL)cTbuQu (KVL)0 bBu(KVL)lTbiBi (KCL)课堂练习课堂练习100111101001100010011BTt2531u已知某网络的基本回路矩阵已知某网络的基本回路矩阵 1.1.写出同一树的基本割集矩阵写出同一树的基
11、本割集矩阵Q Q，并绘出网络的有向图。，并绘出网络的有向图。2.2.若已知树支电压向量若已知树支电压向量，求连支电压向量求连支电压向量lu2-4 用支路阻抗矩阵表示的支路方程用支路阻抗矩阵表示的支路方程的矩阵形式的矩阵形式)()()()()(sUsZsIsIsUskkskbkbk )()()()()()(ssssssskkskbkkbkIZUIZU 式中式中 Ub(s)、Ib(s)分别为分别为b维支路电压向量和支路电流向维支路电压向量和支路电流向量量;Us(s)为为b维电压源向量维电压源向量(voltage source vector);Is(s)为为b维电流源向量维电流源向量(current
12、 source vector);Zb(s)为支路阻抗矩阵为支路阻抗矩阵(branch impedance matrix)。b阶方阵，不含耦合电感元件和受控源的网阶方阵，不含耦合电感元件和受控源的网络，则为对角线方阵。络，则为对角线方阵。UZIUZIbbbsbsssssss()()()()()()例例1设各储能元件都是非设各储能元件都是非零状态的，各支路电零状态的，各支路电压和电流均采用一致压和电流均采用一致的参考方向。的参考方向。列写用列写用支路阻抗矩阵表示的支路阻抗矩阵表示的支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式 解：解：作出作出复频域模型复频域模型)(1)0()(1)(333333sIsCs
13、usIsCsUs _)0()()()(444444iLsUsIsLsUs )(_)0()()(5555555sIsLiLsIsLsUsL )()()(1111sUsIRsUs )()()(22222sIRsIRsUs )()()()()()()()()()()()()(ssIsIsIsIsIssLsLsCRRssUsUsUsUsUbbbIZU 543215432154321000000000010000000000)(_)(_)()(_)()(siLiLsUsusUsLssU 00005544431 )()()()()(ssIsIsIssLsLsCRRssssbIZ 5325432100000
14、000000010000000000注意注意 掌握各向量和矩阵掌握各向量和矩阵Zb(s)的规律性，可直接根据给的规律性，可直接根据给定网络写出支路方程的矩阵形式。定网络写出支路方程的矩阵形式。向量向量Us(s)中元素的符号与支路电压的参考方向相中元素的符号与支路电压的参考方向相关：若支路关：若支路电压源电压源电压的参考方向与电压的参考方向与支路电压支路电压的的参考方向相同，则参考方向相同，则Us(s)中相应元素前面取正号；中相应元素前面取正号；反之则取负号。反之则取负号。向量向量Is(s)中元素的符号与支路电流的参考方向相中元素的符号与支路电流的参考方向相关：若支路关：若支路电流源电流源电流的
15、参考方向与电流的参考方向与支路电流支路电流的的参考方向相同，则参考方向相同，则Is(s)中相应元素前面取正号；中相应元素前面取正号；反之则取负号。反之则取负号。例例2R1=1,R3=2,C2=0.2F,L4=1H,L5=2H,M45=0.1H,i4(0_)=1A,i5(0_)=0.5A,uc2(0_)=1V。解：解：作出复频域模型作出复频域模型 5454543210000000000000100000sLsMsMsLRsCRsb)(Z sssss2100001000000200000201000001.注意：网络含有耦合电感元件时，支路阻抗矩阵为注意：网络含有耦合电感元件时，支路阻抗矩阵为对称
16、对称方阵方阵，非主对角线上的的元素，非主对角线上的的元素Zmn(s)为为互阻抗互阻抗sMmn _)(_)(_)(_)(_)()()(0000000445555454422iMiLiMiLsusUscssU 909500102.)(ssUs 00001)()(sIsIss )()()()()()()(.)()()()()()(ssIsIsIsIsIssssssssUsUsUsUsUbbbIZU 54321543212100001000000200000201000001 )()()(.)(.)(ssIssssssssUsssbssIZU 00002100001000000200000201000
17、0019095001012 对于直流网络对于直流网络 sbsbbbIRUIRU 对于正弦交流网络对于正弦交流网络 sbsbbbjjIZUIZU)()(下图表示一激励角频率为下图表示一激励角频率为 的正弦交流网络。写出该的正弦交流网络。写出该网络用支路阻抗矩阵表示的支路方程的矩阵形式。网络用支路阻抗矩阵表示的支路方程的矩阵形式。课堂练习课堂练习sbsbbbSjSSjICjCjLjLjRCjRUUIIIIIIICjCjLjLjRCjRUUUUUUUIZUIZU0000001000000010000000000000000000000000000100000000000010000000100000
18、00000000000000000000000100000001)(7654321327654321)(765432176543212-5 用支路导纳矩阵表示的支路方程用支路导纳矩阵表示的支路方程的矩阵形式的矩阵形式)()()()()()(sssssssbsbbbIZUUIZ )()()()()()(sssssssbsbbbIZUIZU )()()()()()(ssssssssbbbbIUYUYI 称为网络的支路称为网络的支路导纳导纳矩阵矩阵(branch admittance matrix)()(defssbb1 ZY式中式中 对于不含耦合电感元件和受控源的网络，支路导纳对于不含耦合电感元件
19、和受控源的网络，支路导纳矩阵仍是一个矩阵仍是一个对角线方阵对角线方阵，其主对角线上的元素是网络，其主对角线上的元素是网络各支路的复频域导纳。各支路的复频域导纳。对于含有耦合电感元件的网络，支路导纳矩阵是一个对于含有耦合电感元件的网络，支路导纳矩阵是一个对称方阵对称方阵。例例111122233344455510000()()10000()()()()00001()()0000()()10000RI sU sIsUsRI sUssCIsUssLIsUssL2350()()0()sssIsIsIs1123344 4455510000()100000(0_)00001()(0_)0000(0_)100
20、00ssLRUsRusCsUsL isLL isL例例210000100000.2()002000000.10000.12sssssbZs1000000.2000000.500()210001.9919.91100019.91.99sYssssbs12220.10.10.10.1220.01ssssssssss)()()()()(99.1199.11.000099.11.099.12000005.0000002.0000001)()()()()(5432154321sUsUsUsUsUssssssIsIsIsIsI100000200.200011000.500020.1000001.991.9
21、90.9500.110.900001.991.99sssssss 对于直流网络对于直流网络 ssbbbbIUGUGI 对于正弦交流网络对于正弦交流网络 ssbbbbjjIUYUYI )()(小结：小结：)()()()()()(sssssssbsbbbIZUIZU )()()()()()(ssssssssbbbbIUYUYI 1.以上两种形式的支路方程的矩阵形式是互为对偶的。以上两种形式的支路方程的矩阵形式是互为对偶的。2.支路方程矩阵形式中各向量元素的支路排列次序应支路方程矩阵形式中各向量元素的支路排列次序应与与Zb(s)（或者（或者Yb(s)）中支路阻抗（或导纳）的排列）中支路阻抗（或导纳）
22、的排列次序一致。次序一致。3.电压源向量电压源向量Us(s)（或电流源向量（或电流源向量Is(s)）中各支路）中各支路电电压源压源电压（或支路电压（或支路电流源电流源电流）的正负号，取决于电流）的正负号，取决于此此电压源电压源电压（或电压（或电流源电流源电流）的参考方向与电流）的参考方向与支路支路电压电压（或（或支路电流支路电流）的参考方向是否一致，一致则）的参考方向是否一致，一致则取正号；反之则取负号。取正号；反之则取负号。小结：小结：4.对于不含耦合电感元件的网络，对于不含耦合电感元件的网络，Zb(s)与与Yb(s)都都是是b阶阶对角线方阵对角线方阵，可按电路直接写出。，可按电路直接写出。
23、5.对于含有耦合电感元件的网络，对于含有耦合电感元件的网络，Zb(s)为为b阶阶对称方对称方阵阵，非主对角线上的的元素，非主对角线上的的元素Zmn(s)为为互阻抗互阻抗sMmn。Yb(s)可根据可根据Zb(s)求逆得到。求逆得到。下图表示一激励角频率为下图表示一激励角频率为 的正弦交流网络。写出该的正弦交流网络。写出该网络用支路导纳矩阵表示的支路方程的矩阵形式。网络用支路导纳矩阵表示的支路方程的矩阵形式。课堂练习课堂练习SSbbbbSSSjjIUUCjCjLjLjRCjRUUUUUUUCjCjLjLjRCjRIIIIIIIIUYUYI0000000000000000000000000100000001000000010000000000000010000000000000010000000100000001000000000000001132)(76543217654321)(76543217654321
