1、第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答与评分标准第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答一、答案 1. 2. (答也给) 3. T二、参考解答：1. 椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）与的算术平均值，即有 (1) 代入数据得 km (2) 椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有 (3) 代入数据得 (4) 椭圆的偏心率 (5)代入数据即得 (6)2. 当卫星在16小时轨道上运行时，以和分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有 (7)式中是地球质量，是万有引力常量
2、. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有 (8) 注意到 (9) 由(7)、(8)、(9)式可得 (10) (11)当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有 由(11)式并代入有关数据得km/s (12)依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度km，但新轨道近地点高度km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 km/s (13)卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时
3、间为Dt，有 (14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 Dt= (约2.5分) (15)这比运行周期小得多.3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小 (16 ) 其中 （17）是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故是恒量.利用远地点处的角动量，得 (18)又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 (19) 所以卫星沿轨道运动的周期 (20)由(18)、(19)、(20) 式得 (21)代入有关数据得 s (约15小时46分) (22)注：本小题有多种解法.例如，由开
4、普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T与T0之比的平方等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方，即 若是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有 得 从而得 代入有关数据便可求得(22)式. 4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有 (23)这里是卫星绕月轨道半径，是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得 (24)代入有关数据得 (25) 三、参考解答：足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）.图中B表示横梁的横截面，O1为横梁的轴线；为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，O2为其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直线O1OO2与水平线
5、的夹角q 表示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角j表示(如图).以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与O2OO1重合.以a0表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以a表示碰后速度的方向与y轴(负方向)的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角a的大小.以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，Fy表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，Dt表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有 (1) (2)式中、和分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩擦定律
6、有 (3)由（1）、（2）、（3）式得 (4)根据恢复系数的定义有 （5）因 （6） （7）由（4）、（5）、（6）、（7）各式得 （8）由图可知 （9） 若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有 (10)在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时.由（9）式得 (11)因足球是沿水平方向射到横梁上的，故，有 (12)这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置所满足的方程.解（12）式得 (13)代入有关数据得 (14)即 (15)现要求球落在球门线内，故要求 (16)四、参考解答： 1. 当阀门F关闭时，设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1，当B处的温度为T 时，压力表显示的压强为
7、p，由理想气体状态方程，可知B和M中氢气的摩尔数分别为 (1) (2)式中R为普适气体恒量.因 (3)解（1）、（2）、（3）式得 (4)或 (5)(4)式表明，与成线性关系，式中的系数与仪器结构有关.在理论上至少要测得两个已知温度下的压强，作对的图线，就可求出系数. 由于题中己给出室温T0时的压强p0，故至少还要测定另一己知温度下的压强，才能定量确定T与p之间的关系式.2. 若蒸气压温度计测量上限温度时有氢气液化，则当B处的温度时，B、M 和E中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数 （6）假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则B中气态氢的摩尔数
8、为 （7）在（7）式中，已忽略了B中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中，其中氢气的摩尔数为 （8）根据要求有 （9）解（6）、（7）、（8）、（9）各式得 (10)代入有关数据得 (11)五、答案与评分标准：1(3分) 2 (2分) 2如图(15分.代表电流的每一线段3分，其中线段端点的横坐标占1分，线段的长度占1分，线段的纵坐标占1分) 1234x/sI/nevO1234-1-2-3-40.831.172.002.834.00六、参考解答：如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R，则在一年时间内电流通过线圈因发热而损失的能量为 （1）以r 表示铅的电阻率，S表
9、示铅丝的横截面积，l 表示铅丝的长度，则有 （2）电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为v，根据电流的定义有 （3）所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不会超过电流检测仪器的精度DI，即电流变化的上限为.由于导电电子的数密度是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由v变为 v-Dv，对应的电流变化 （4）导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能为 （5）由于DII，所以Dvv，式中Dv的平方项已被略去.由（3）式解出 v，（4）式解出 Dv，代入（5）式得 (6) 铅丝中
10、所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损失的能量，即 （7）由(1)、(2)、(6)、(7)式解得 （8）式中 （9）在（8）式中代入有关数据得 (10) 所以电阻率为0的结论在这一实验中只能认定到 (11)七、参考解答： 按照斯特藩-玻尔兹曼定律，在单位时间内太阳表面单位面积向外发射的能量为 (1)其中为斯特藩-玻尔兹曼常量，Ts为太阳表面的绝对温度.若太阳的半径为Rs，则单位时间内整个太阳表面向外辐射的能量为 (2)单位时间内通过以太阳为中心的任意一个球面的能量都是.设太阳到地球的距离为rse，考虑到地球周围大气的吸收，地面附近半径为的透镜接收到的太阳辐射的能量为 (3)薄凸透镜将把
11、这些能量会聚到置于其后焦面上的薄圆盘上，并被薄圆盘全部吸收. 另一方面，因为薄圆盘也向外辐射能量.设圆盘的半径为，温度为，注意到簿圆盘有两亇表面，故圆盘在单位时间内辐射的能量为 (4)显然，当 (5)即圆盘单位时间内接收到的能量与单位时间内辐射的能量相等时，圆盘达到稳定状态，其温度达到最高.由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式得 (6)依题意，薄圆盘半径为太阳的像的半径的2倍，即.由透镜成像公式知 (7)于是有 (8)把(8)式代入(6)式得 (9)代入已知数据，注意到K， TD=1.4103K (10)即有 (11)八、参考解答： 1根据爱因斯坦质能关系，3H和3He的结合能差为 (1)代入数据，可得 MeV (2) 23He的两个质子之间有库仑排斥能，而3H没有.所以3H与3He的结合能差主要来自它们的库仑能差.依题意，质子的半径为，则3He核中两个质子间的库仑排斥能为 (3)若这个库仑能等于上述结合能差，则有 (4)代入数据，可得 fm (5)3粗略地说，原子核中每个核子占据的空间体积是 .根据这个简单的模型，核子数为A的原子核的体积近似为 (6) 另一方面，当较大时，有 （7）由（6）式和（7）式可得R和A的关系为 (8) 其中系数 (9) 把(5)式代入(9)式得 fm (10) 由(8)式和(10)式可以算出的半径 (11)10
