1、初等数学研究初等数学研究第一讲自然数第一讲自然数自然数的基数理论自然数的基数理论与序数理论与序数理论第一节第一节 人类认识和表达自然数的历史人类认识和表达自然数的历史第二节第二节 自然数的基数理论和序数理论自然数的基数理论和序数理论第三节第三节 数学归纳法数学归纳法 人类认识和表达自然数的历史人类认识和表达自然数的历史 自然数的基数理论和序数理论自然数的基数理论和序数理论怎样定义自然数怎样定义自然数怎样定义自然数的大小关系怎样定义自然数的大小关系怎样定义自然数的加法和乘法怎样定义自然数的加法和乘法自然数运算的性质自然数运算的性质数、十进制、数、十进制、位值制位值制 中国数字中国数字春秋时期创造
2、了算筹计数法，表示数目一到九的算筹有纵横两种形式：春秋时期创造了算筹计数法，表示数目一到九的算筹有纵横两种形式：纵式纵式 横式横式 在表示多位数时，顺序是从右向左，一纵一横，遇有零数则空着不放筹在表示多位数时，顺序是从右向左，一纵一横，遇有零数则空着不放筹 325107应摆成应摆成算盘算盘 罗马数字罗马数字 每个符号与它所在的位置无关每个符号与它所在的位置无关 X L C D M XXIII 十十 五十五十 一百一百 五百五百 一千一千 二十三二十三 两个罗马数字相加，须先合两个罗马数字相加，须先合并再化简并再化简 希腊数字希腊数字 数字数字单词单词 J K L M N P S T X Z&X
3、PE 10 20 30 40 50 70 100 200 600 800 900 675代数学代数学 在代数学的早期历史上，中国有不少成在代数学的早期历史上，中国有不少成果果 九章算术九章算术有正负数加减法则，正系数有正负数加减法则，正系数的二次方程的数值解法的二次方程的数值解法 唐初有正系数的三次方程的数值解法唐初有正系数的三次方程的数值解法 宋有高次多项式方程的一般数值解法宋有高次多项式方程的一般数值解法 金、元提出了根据应用问题条件列方程解金、元提出了根据应用问题条件列方程解方程的天元术方程的天元术 元给出了高阶等差级数论和多元联立方程元给出了高阶等差级数论和多元联立方程组解法组解法中小
4、学数的中小学数的教学安排教学安排 第一学段（第一学段（1-3年级）年级）：认识万以：认识万以 内的数、小数、内的数、小数、简单的简单的 分数和常见的量分数和常见的量 第二学段（第二学段（4-6年级）年级）：认识亿以内的数，了解：认识亿以内的数，了解分数、百分分数、百分 数、负数的意义、字母表示数数、负数的意义、字母表示数 第三学段（第三学段（7-9年级）年级）：认识有理数、实数：认识有理数、实数 高中文、理选修高中文、理选修：数系扩充与复数：数系扩充与复数数系的扩展数系的扩展 数的历史发展（添加法）数的历史发展（添加法）自然数自然数 添正分数添正分数正有理数正有理数 添零添零非负有非负有理数理
5、数 添负数添负数有理数有理数 添无理数添无理数实数实数 添虚添虚数数复数复数 实际上是交错发展的实际上是交错发展的 数的理论架构（逻辑构造法）数的理论架构（逻辑构造法）有了自然数集，可以构造整数集（自然有了自然数集，可以构造整数集（自然数对）数对）可以构造有理数集可以构造有理数集 可以构可以构造实数集造实数集 可以构造复数集可以构造复数集 自然数的两种作用自然数的两种作用 计数（有几个）计数（有几个）自然数的康托尔基数理论自然数的康托尔基数理论 排序（第几个）排序（第几个）自然数的皮亚诺序数理论自然数的皮亚诺序数理论自然数的基数定义自然数的基数定义 怎样定义自然数？怎样定义自然数？“表示物体个
6、数的一种数表示物体个数的一种数”？物体：集合（具有某种属性的一些对象组成的一物体：集合（具有某种属性的一些对象组成的一个整体）个整体）个数：基数（等价集合在数量上所具有的共同特个数：基数（等价集合在数量上所具有的共同特征）征）定义自然数的大小关系定义自然数的大小关系 集合间的包含关系集合间的包含关系两个自然数：两个自然数：a b 非空有限集的基数非空有限集的基数大小关系的定义大小关系的定义 如果非空有限集如果非空有限集A、B的基数分的基数分别是别是a、b，A、B分别是分别是A、B的真子集，那么的真子集，那么当当AB时，就说时，就说 ab当当AB B时，就说时，就说 ab自然数大小关系的性质自然
7、数大小关系的性质 定理：自然数的相等关系具有反身定理：自然数的相等关系具有反身性、对称性、传递性；性、对称性、传递性；自然数的顺序关系具有全序性、对自然数的顺序关系具有全序性、对逆性、传递性逆性、传递性 证明证明 2)对任何对任何a，b，c N，若，若ab，bc，则则ac定义自然数的加法和乘法定义自然数的加法和乘法 不交的不交的集合的并集合的并 并集的基数并集的基数a +b=c非空有限集的基数非空有限集的基数 b个个两两不交的两两不交的等价等价集合的并集合的并 并集的基数并集的基数a b=c自然数的加法和乘法定义自然数的加法和乘法定义 如果非空有限集如果非空有限集A、B的基数分别是的基数分别是
8、a、b，且，且 那么那么a+b=c 设设Ai（i1，2，b）是）是b个个两两两两不交不交的等价集合，它们的基数都是的等价集合，它们的基数都是a，且，且 那么，那么，ab=c 因为因为b1,所以所以补充规定补充规定a1=a ,ABABc IU1,biiAc11个运算定律（个运算定律（1）加法有五个基本定律：加法有五个基本定律：1a+b 仍然为一个数，即正数加正数总是仍然为一个数，即正数加正数总是可能的可能的2a+b是单值的是单值的3结合律成立：结合律成立：(a+b)+ca+(b+c)因此完全可以脱去括号因此完全可以脱去括号4.交换律成立交换律成立:a+bb+a5.单调律成立单调律成立:若若aba
9、 cb c 证明证明70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+48411个运算定律（个运算定律（2）乘法有乘法有六六个个基本定律基本定律：1ab仍然为一个数仍然为一个数2ab是单值的是单值的3结合律：结合律：a(bc)(ab)c=abc4交换律：交换律：abba5.单调性定律：若单调性定律：若ac，则，则abbc6分配律分配律:a(b+c)ab+ac证明紧扣定义证明紧扣定义借用借用集合的运算律集合的运算律712=7(10+2)70+14证明自然数加法有单调律自然数加法有单调律 设设a、b、c分别是非空有限集分别是非空有限集A、B、C的的基数，且基数，且 由已知，由已知，AB，或
10、者，或者存在非空有限集存在非空有限集B，使使ABB.当当AB时，时，当当ABB时，显然时，显然abacbc,ACBC II,BCACBCBCacbc IUUUACBCacbc排序：自然数的序数理论排序：自然数的序数理论 该理论是从自然数列构成的特点中抽象该理论是从自然数列构成的特点中抽象出来的出来的 只有一个数不跟随任何其他的数，它就是只有一个数不跟随任何其他的数，它就是1 在每一个数的后面都紧跟着唯一的一个数在每一个数的后面都紧跟着唯一的一个数 除了除了1以外，每一个数都有唯一的一个先行以外，每一个数都有唯一的一个先行的数的数 没有两个相等的数没有两个相等的数自然数的序数定义（皮亚诺定义）自
11、然数的序数定义（皮亚诺定义）如果有一个集合如果有一个集合N，在它的元素间有一个，在它的元素间有一个基本关基本关系系“后继后继”（用符号（用符号或或表示），并满足下列表示），并满足下列公理，那么这个集合公理，那么这个集合N的元素叫做自然数：的元素叫做自然数：定义自然数的加法和乘法定义自然数的加法和乘法 加数是加数是1还是某一个自然数还是某一个自然数b的后继的后继 自然数自然数1还是自然数还是自然数某一个自然数某一个自然数b的后继的后继1()aaabab 1aaa ba ba 222+1后继2221为什么为什么 235？2123,2221(21)342322(22)45 Q为什么为什么236？2
12、12,222 12 122242322222426 Q证明自然数的乘法交换律证明自然数的乘法交换律 用基数理论证明用基数理论证明 用序数理论证明用序数理论证明 设使设使abba成立的所有成立的所有a组成的集合为组成的集合为M，1M 假定假定a M，则，则a M，即，即a bb a 所以所以MN左右是等价的集合左右是等价的集合a b=b ab个两两不交的基数为个两两不交的基数为a的集合的并集的集合的并集a个两两不交的基数为个两两不交的基数为b的集合的并集的集合的并集定义自然数的大小关系定义自然数的大小关系“相等相等”在自然数定义中已经说明在自然数定义中已经说明 若若a与与b相同，则相同，则ab“
13、大于大于”借助加法定义借助加法定义 若若a，bN，且存在，且存在k N，使得，使得abk，则称，则称ab，也说，也说ba证明自然数的全序性证明自然数的全序性 对任何对任何a，b N，在，在ab中中有有且且只有一个只有一个成立成立 有：有：取定取定a，设使它们总有一个成立的一切，设使它们总有一个成立的一切b组组成的集合为成的集合为M，说明，说明 1M 假定假定b M，则，则b M （分三种情况都有（分三种情况都有b M）只有一个只有一个转化为转化为至多有一个：至多有一个：反证：若反证：若ab,a=b同时成立，推出矛盾。同同时成立，推出矛盾。同理拿其他两个也不行。理拿其他两个也不行。紧扣归纳公理紧
14、扣归纳公理用序数理论证用序数理论证11个运算定律个运算定律练一练练一练 证明：加法结合律证明：加法结合律 a+(b+c)=(a+b)+c自然数集的其他几个性质自然数集的其他几个性质 自然数集的离散性：在任意两个相继的自然自然数集的离散性：在任意两个相继的自然数数a与与a之间不存在自然数之间不存在自然数b，使，使aba+反反证证 ab 任何一个任何一个 确定的数确定的数b，使用任何一个单位使用任何一个单位a去度量它，总是可以在经过去度量它，总是可以在经过n次度量之次度量之后，得到的后，得到的na大于大于b 最小数原理最小数原理:自然数集的任一非空子集中必存自然数集的任一非空子集中必存在一个最小数
15、在一个最小数 最小数原理与归纳公理等价最小数原理与归纳公理等价归纳公理归纳公理最小数原理最小数原理（反证）（反证）假设自然数集假设自然数集N有一个非空有一个非空子集子集A，A中没有最小数，所以中没有最小数，所以1肯定肯定不属于不属于A；令所有小于令所有小于A中任何一个数的自然数中任何一个数的自然数组成的集合为组成的集合为M，设法证，设法证MN；1 M，若，若m M，要证，要证m M（反证）（反证）假设假设m不属于不属于M，设法证，设法证m也不属也不属于于M，即在，即在A中找到比中找到比m小的数小的数因为因为A非空，有一个元素非空，有一个元素t，tt 矛盾。矛盾。最小数原理最小数原理归纳公理归纳
16、公理设设（反证）（反证）若若M不是不是N，令，令B是是NM，所以所以B是是N的非空子集，有最小数的非空子集，有最小数b，b不能属于不能属于M，所以，所以b不是不是1，是某一，是某一个自然数个自然数c的后继，所以的后继，所以cb，c不能不能属于属于B，属于，属于M，根据归纳公理条件，根据归纳公理条件，所以所以c的后继（的后继（b）属于）属于M，这与，这与b不不属于属于M矛盾矛盾,1,MNMaM aM且若扩大的自然数集：含扩大的自然数集：含0在基数理论中，把空集的基数定义为在基数理论中，把空集的基数定义为“零零”，在，在序数理论中把序数理论中把“零零”作为作为1的先行数，这样便构成的先行数，这样便构成了扩大的自然数集。了扩大的自然数集。赞成：赞成：0并不难接受；加进去不难，也说得通；并不难接受；加进去不难，也说得通；联系正负数的桥梁，序关系；联系正负数的桥梁，序关系；不赞成：以前自然数不含不赞成：以前自然数不含0，现在会感觉行文不，现在会感觉行文不便，要经常添加约定；没有实质性影响便，要经常添加约定；没有实质性影响作业作业 设设a，b，c均为自然数，用基数理论均为自然数，用基数理论证明证明 (a+b)+c=a+(b+c)设设a，b，c是自然数，用序数理论证是自然数，用序数理论证明明a(bc)(ab)c和和(a+b)c=ac+bc
