1、第三节第三节 隐函数及参数方程确定的函数的隐函数及参数方程确定的函数的求导法则求导法则 隐函数的求导法则 参数方程确定的函数的求导法则 初等函数的导数第1页，共33页。31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数,由)(xfy 表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y第2页，共33页。例1解 将方程的两边同时对 x 求导，这里 y 是 x 的函
2、数，y2是 x 的复合函数，根据复合函数求导法则得 (x2)/+(y2)/=（R2）/220dyxydxdyxdxy 222xyR求由方程所确定的隐函数的导数第3页，共33页。例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐函数的导数解 将方程的两边同时对 x 求导，得 /2/1sincos0cos1sinxxxyxyxyyyxyyx整理得 /xy第4页，共33页。例例3.求由方程03275xxyy)(xyy 在 x=0 处的导数.0ddxxy解解:方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x=0 时 y=0,故210ddx
3、xy0确定的隐函数第5页，共33页。例例4.求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即03843 yx第6页，共33页。例例5.求)0(sinxxyx的导数.解解:两边取对数,化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx第7页，共33页。例6 函数求解 将等式两边取对数得/41lnlnln(1)ln(2)ln(3)411 1111()412311111()41231(1)1111()4(2)(
4、3)123xxyxxxxxyyxxxxyyxxxxx xxxxxxx 两边对 求导得 所以 4(1)(1)(3)x xyxx的导数第8页，共33页。2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb第9页，共33页。又如又如,)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x
5、第10页，共33页。1)对幂指函数vuy 可用对数求导法求导:uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:第11页，共33页。例7 指数函数解 把y=ax改写成logaxy /()(log)11lnlnln()ln()axxxxxxxxyyyayyaaaaaaaeee当时，(0,1)xy a aa且的 导 数第12页，共33页。例8 证明/22/2/2/221coscos1sin1()22111arccos)111(tan)(cot)11xxyyyyxyyxxxarvxarcxxx /x证明 设y=a
6、rcsinx，则x=siny，两边对x求导得1=cosyy 类似可证明（/21(arcsin)1xx第13页，共33页。例例6.求下列导数:(1)();(2)();xxx解解:(1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)第14页，共33页。反函数的求导法则设单调函数 x=()y在某区间内可导，并且/()0y，则它的反函数 y=f(x)在对应区间内也可导，并且 /1()()1fxydydxdxdy或即反函数的导数等于其原函数导数的倒数。第15页，共33页。二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程)
7、()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(,)(tt可导,且,0)()(22tt则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数)关系,第16页，共33页。若上述参数方程中)(,)(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)(t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数.利用新的参数方程,可得第17页，共33页。例10
8、求由参数方程 确定的函数的导数 解sin,cotcoscotsindxdyatbtdtdtdydybtbdttdxdxatadt 因为 cossinxatybt第18页，共33页。例11 求曲线 在点（2，1）处的切线方程和法线方程解 对应于点（2，1）的参数 t=0,所以/0/(1)1|2211(2)2ttxtttyekyxeyx 故切线方程为 即 x+2y-4=0法线方程为 y-1=2(x-2)即 2x-y-3=0 2ttxeye 第19页，共33页。例例12.抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.解解:先求速度大小:速度的水平分量为,dd1vt
9、x垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则yxo2212tgtvy第20页，共33页。抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在刚射出(即 t=0)时,倾角为12arctanvv达到最高点的时刻,2gvt 高度ygv2221落地时刻,22gvt 抛射最远距离xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g第21页，共33页。例例13.设由方程)10(1sin
10、222yytttx确定函数,)(xyy 求.ddxy解解:方程组两边对 t 求导,得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0)1(2ddttxtyddtxdd第22页，共33页。内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式第23页，共33页。三、初等函数的导数1、常用公式/1/2/2/102)(3).(s in)c o s(4).(c o s)s in(5).(ta n)s e c
11、(6).(c o t)c s c(7).(s e c)s e cta n8c s cc o t(9).()ln1 0)(1 1).axxxa xxxxxxxxxxxxxxaaae /a/x（）C （）(x （）.(c s c x)（）.(e/22/2211(lo g)(1 2).(ln)ln11(1 3).(a rc s in)1 41111(1 5).(a rc ta n)(1 6).(c o t)11axxxaxxxxxa r cxxx /（）.(a r c c o s x)第24页，共33页。2.函数的和、差、积、商的求导法则设 u=u(x),v=v(x),则/2(1).()(2).()
12、3(4).()(0)uvuvcucu cu vuvuu vuvvvv/（为常数）（）.(uv)第25页，共33页。3.复合函数的求导法则设 y=f(u),而 u=g(x),则复合函数 y=fg(x)的导数为 /uxdydy dudxdu dxyu/x 或 y 第26页，共33页。4、参数方程所确定的函数的求导法则若参数方程()()xtyf t确定了 y 关于 x 的函数，其中(),()tf t都可导，且/()0t，t 为参数，则 /()()dydyftdtdxdxtdt 第27页，共33页。5、反函数的求导法则设单调函数()xy在某区间内可导，并且/()0y，则它的反函数 y=f(x)在对应区
13、间内也可导，且 /1()()1fxyd yd xd xd y或 第28页，共33页。思考与练习思考与练习1.求螺线r在对应于的点处的切线方程.解解:化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222,),0(2M 切线方程为22xy2第29页，共33页。2.设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示:分别用对数微分法求.,21yy答案答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx第30页，共33页。3.设)(xyy
14、由方程eyxey确定,)0(y解解:方程两边对 x 求导,得0yxyyey再求导,得2yey yxey)(02 y当0 x时,1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求.)0(y 第31页，共33页。求其反函数的导数.,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxdd备用题备用题xe111.设第32页，共33页。,求01sin232ytettxy.dd0txy解解：txddyetydd0ddtxy2.设方程组两边同时对 t 求导,得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1(costyyttete2e0t第33页，共33页。
