1、 4.1数列的概念1.王芳从1岁到17岁,每年生日那天测量身高,将这些身高数据(单位：cm)依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.记王芳第i岁时的身高为hi问题：（1）h2代表什么？h2=？（2）hi之间的位置能不能交换？解：（1）h2=87 （2）它们之间不能交换位置，所以，是具有确定顺序的一列数。引入引入2.在两河流域发掘的一块泥版（编号K90,约产生于公元前7世纪)上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:5,10,20,40,80,96,112,128,1
2、44,160,176,192,208,224,240.记第i天月亮可见部分的数为si,那么s1=5,s2=10 s15=240反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，它们之间不能交换位置，所以，也是具有确定顺序的一列数.引入引入注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示。3.的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂.依次排成一列数 也是具有确定顺序的一列数.归纳：上述3个例子的共同特征是什么？21161814121，引入引入新知新知数列的定义:(1)按一定次序排列的一列数叫做数列.(2)数列中的每一个数都叫做数列的项,(3)各项依次
3、叫做这个数列的第1项(或首项)常用符号a1表示,第2项,用符号a2表示,第n项,用符号an表示(4)数列的一般形式可以写成a1,a2,.,an,.有时简记为an(5)项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列举例5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.a1=5,a2=10,a13=208新知新知数列的每一项与这一项的序号对应关系 项 a1 a2 a3 a4 .an .序号 1 2 3 4 .n .数列an是从正整数集（或它的有限子集）到实数R的函数数列可以用表格和图像来表示n123456789101112131415
4、1617an758796103 110116120 128 138 145 153 158 160 162 163 165 168通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。孤立的点新知新知与函数类似，我们可以定义数列的单调性从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫递增数列比如：1，2，3，4，.从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫递减数列比如：4，3，2，1，.各项都相等的数列叫做常数列比如：1，1，1，1，.例1：根据下列数列an的通项公式，写出前5项,并画出它们的图象：（1）2(1);(2)cos22nnnnnaa解:(1)
5、当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，数列an的前5项依次1,3,6,10,15.图象如图所示.例题例题例1：根据下列数列an的通项公式，写出前5项,并画出它们的图象：（1）2(1);(2)cos22nnnnnaa(2)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，数列an的前5项依次为1,0,-1,0,1.图象如图所示.例题例题例题例题例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式(1)(2)2，0，2，0，.4131211，nann1)1(1an=(-1)n+1+1根据下列数列的前4项，写出数列的第6项和数列的一个通项公式(1)1，2，3，4，.(2)2，4，6，8，.(3)1，3，5，7
6、，.(4)1，-1，1，-1，.(5)1，10，100，1000，.(6)1，0.1，0.01，0.001，.(7)9，99，999，9999，.(1)a6=6，an=n(2)a6=12，an=2n(3)a6=11，an=2n-1(4)a6=1，an=(-1)n+1(5)a6=100000，an=10n-1(6)(7)a6=999999，an=10n-11610100001.0nnaa，课本P5 练习4练习练习归纳归纳(1)根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局
7、部多角度观察、归纳、联想(2)对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整例3.如果数列an的通项公式为an=n2+2n,那么120是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：令n2+2n=120 解得 n=-12（舍）或n=10所以 120是数列的项，是第10项练习练习课本P5 练习2例4.下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式是 .13nna例题例题解：换个角
8、度观察图中的4个图形，可以发现，a1=1,每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍。这样，例4中的数列的前4项满足 a1=1,a2=3 a1,a3=3a2,a4=3a3,由此猜测这个数列满足公式11,13,2.nnnaan例题例题新知新知递推公式:如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.如果已知数列的第1项(或前几项)和和递推公式，就能求出数列的每一项。例题例题例5：已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个
9、数列的前5项。111 nnaa5853111353211123211112111111453423121aaaaaaaaa解：在数列an中，（1）求数列an的前5项（2）求a2021),2(11,21*11Nnnaaann解：(1)，a2=-1，a3=2，a5=-1（2）周期为3，2021=3673+2所以a2021=a3673+2=a2=-1211a214a练习练习 我们把数列an从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn,即Sn=a1+a2+.+an.如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.练习
10、：(1)数列an的通项公式为an=n,则S3=，S5=，S1=。（2）数列an的前n项和为Sn，S7=30，S8=40，则a8=。思考：an与Sn的关系？615110新知新知 我们把数列an从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn,即Sn=a1+a2+.+an.如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+an-1(n2),于是我们有11,1,2nnnS naSSn新知新知已知数列an的前几项和公式为Sn=n2+n,（1）求S3，S5，Sn-1（2）求出an的通项
11、公式解：(1)S3=32+3=12,S5=52+5=30,Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n.(2)当n=1时，a1=S1=2，当n1时，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)+(n-1)=2n(n2),将n=1代入式得，21=2=a1所以当n=1时，式依然成立.故an的通项公式是an=2n.例题例题1、已知数列an的前几项和公式为Sn=-2n2,求an的通项公式2、已知数列an的前几项和公式为Sn=n2+4，求an的通项公式解：(1)当n=1时，a1=S1=-2，当n1时，an=Sn-Sn-1=-2n2-2(n-1)=2-4n(n2),将n=1代入式得，2-4=-2=a1所以当
12、n=1时，式依然成立.故an的通项公式是an=2-4n.练习练习解:当n=1时，a1=S1=1+5=6;当n2时，an=Sn-Sn-1=(n2+5)-(n-1)2+5=2n-1.将n=1代入式得，2-1=16=a1所以当n=1时，式不成立.1、已知数列an的前几项和公式为Sn=-2n2,求an的通项公式2、已知数列an的前几项和公式为Sn=n2+5，求an的通项公式练习练习1,121,6nnnan小结小结1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.2.数列an是从正整数集（或它的有限子集）到实数R的函数数列可以用表格和图像来表示3.如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。4.如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.5.数列前n项和：Sn=a1+a2+.+an.且6.有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列11,1,2nnnS naSSn作业作业课本P8 习题4.1 2、3、5
