1、问问 题题某人看到树上有几只乌鸦，某人看到树上有几只乌鸦，深有感触深有感触“天下乌鸦一般黑天下乌鸦一般黑”。你认为这样的说法可靠吗？为什么？归纳法归纳法分为分为 不不完全归纳法完全归纳法 和和 完全归纳法完全归纳法考察部分对象，得到一般结论的推理方法结论结论不一定不一定可靠可靠由一系列特殊情况得出一由一系列特殊情况得出一般结论的推理方法般结论的推理方法考察全体对象，得到一般结论的推理方法结论结论一定一定可靠可靠已知数列 na满足 ，11a)(21*1Nnaann11-212a11213a)(1*Nnan计算 ，猜想其通项公式并证明。猜想猜想如何验证这个猜想呢？如何验证这个猜想呢？11a1121
2、4a432,aaa问问 题题通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立。你相信一指之力就能推倒你相信一指之力就能推倒一座摩天大厦吗一座摩天大厦吗?探探 究究能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？多米诺骨牌全部倒下的条件是：多米诺骨牌全部倒下的条件是：第一块骨牌必须倒下；第一块骨牌必须倒下；任意相邻的两块骨牌，前一块倒下任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下一定导致后一块倒下。实验一实验一实验二实验二小结：第一块骨牌倒下是所有骨牌倒下的基础和前提。实验三实验三思思 考考你认为条件（你认为条件（2 2）的作用是什么？）的作用是什么？如何用数学语
3、言描述？如何用数学语言描述？思思 考考你认为前面的猜想你认为前面的猜想“数列的通项公式是数列的通项公式是与上述多米诺骨牌游戏与上述多米诺骨牌游戏有相似性有相似性吗？吗？)(1*Nnan11a12a13a回顾：及递推公式11a14a一般结构：1ka 及递推公式1ka11ka 及递推公式12a 及递推公式13a递推关系：递推关系：是否只要有了上述的递推关系，就能保证是否只要有了上述的递推关系，就能保证？)(1*Nnan问题：问题：1ka 及递推公式1ka11ka保证“对于每一个正整数n,”的条件是：递推关系：1na11a1ka 及递推公式1ka11ka骨牌原理骨牌原理证明证明猜想的证明步骤猜想的证
4、明步骤)(1*Nnan11a第一块骨牌倒下第一块骨牌倒下 成立成立证明当证明当n=1时，时，猜想正确。猜想正确。证明证明“如果前一如果前一块倒下，则后一块倒下，则后一块也跟着倒下块也跟着倒下”。证明证明“如果如果，那么，那么 ”。,1ka11ka证明证明“如果如果n=k时猜想正确，那时猜想正确，那么么n=k+1时，猜想时，猜想也正确也正确”。根据根据，所有所有的骨牌都能倒下。的骨牌都能倒下。根据根据，。)(1*Nnan根据根据，猜想对于，猜想对于一切正整数一切正整数n都成立都成立。【探究】已知数列 满足 ，na11a证明：)(21*1Nnaann)(1*Nnan证：（1）当n=1时，由已知，式
5、成立。11a （2）假设当 时，式成立，即)(*Nkkn,1ka 根据递推公式 ，有)(21*1Nnaann1121211kkaa 即当 时，式也成立。1 kn 由（1）（2）可知，式对任何 都成立。*Nn由此，我们发现了一个证明与正整数由此，我们发现了一个证明与正整数n n有关的命题有关的命题方法，它可按如下两个步骤进行：方法，它可按如下两个步骤进行：（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值)(*00Nnn时命题成立；时命题成立；（2 2）假设）假设时命题成立，证明当时命题成立，证明当时命题也成立。时命题也成立。),(*0Nknkkn1kn根据（根据（1 1）和（）和（2 2），可
6、知命题对），可知命题对*Nn都都成立。成立。一般地，证明一个与正整数一般地，证明一个与正整数n n有关的命题，可按如下步骤有关的命题，可按如下步骤进行：进行：（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值)(*00Nnn时命题成立；时命题成立；（2 2）“以以 时命题成立时命题成立”为条件，推出为条件，推出“当当时命题也成立时命题也成立”。),(*0Nknkkn1kn根据（根据（1 1）和（）和（2 2），可知命题对从），可知命题对从 开始的所有正整开始的所有正整数都成立。数都成立。这种证明方法叫做这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。)(*00Nnn思思 考考数学归纳法中的两个步骤之间
7、有什么关系？数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？dnaan)1(1N证：（1）当n=1时，左边=，右边=，式成立。（2）假设当 时，式成立，即 根据等差数列的定义，有 即当 时，式也成立。由（1）（2）可知，式对任何 都成立。1a110ada)(*Nkkndkaak)1(1daakk1 于是，1 kn*Nndaakk1ddka)1(1kda 1dka 1)1(1【练习练习1 1】试判断试判断 与与 的大小。的大小。解：当n=1时，当n=2时，当n=3时，当n=4时，.24136037615141331231131左边.241384053381716151441341241141左边猜测：猜测
8、：),2(24131312111*Nnnnnnnn【练习练习1 1】证明猜想证明猜想 证明：（1）当n=2时，猜想成立。（2）假设当n=k时，猜想成立，即那么，24131312111kkkkk，）（1)1(1)1k(11-113)1(12)1(11)1(1kkkkkkkk112211212413kkk2413221-1212413kk 即当 时，猜想也成立。由（1）（2）可知，猜想对任何 都成立。)(2*Nnn1 kn【注】【注】数学归纳法中的起始值不一定是数学归纳法中的起始值不一定是1.1.211113121kkkkkkkk2111112413kkkkk),2(24131312111*Nnn
9、nnnnn证明一个与正整数 有关的命题（1）证明当 时命题成立对所有正整数 命题都成立。数学归纳法的结构),(*0Nnnnn)(*00Nnnn),(*0Nknkkn1 kn(2)假设当 时命题成立,证明当 时命题也成立。),(*0Nnnnn两个步骤 缺一不可 归纳思想，递推思想，类比思想归纳思想，递推思想，类比思想“秃子悖论”情境：一个女孩有茂密的长发。（1）当n=1,即拔掉第1根头发时，不秃。（2）若n=k时命题成立，即当拔掉第k根头发时不秃，那么当n=k+1时，也不秃。由（1）（2）可知，对拔掉任意n根头发，这个女孩都不会变成秃发。上面的说法正确吗？你能给出一个合理的解释吗？上面的说法正确吗？你能给出一个合理的解释吗？
