1、变化率问题 牛顿是牛顿是17世纪的物理世纪的物理巨匠。巨匠。有一天，他观察有一天，他观察到了一个现象：到了一个现象：一辆汽车按照路程与一辆汽车按照路程与时间的关系：时间的关系：s=t2向前行驶。向前行驶。问题引入问题引入牛顿牛顿 小车小车1s时走了时走了1m；2s时走了时走了4m；3s时走了时走了9m；4s时走了时走了16m；小车速度越来越快，显然小车速度越来越快，显然做了一个变速运动。做了一个变速运动。问题引入问题引入 牛顿能很简单地计算出牛顿能很简单地计算出平均速度。比如：第平均速度。比如：第5s到第到第6s，路程是，路程是25m到到36m，它，它的平均速度是多少呢？的平均速度是多少呢？问
2、题引入问题引入 牛顿能很简单地计算出牛顿能很简单地计算出平均速度。比如：第平均速度。比如：第5s到第到第6s，路程是，路程是25m到到36m，它，它的平均速度是多少呢？的平均速度是多少呢？问题引入问题引入 若函数关系用若函数关系用y=f(x)表示，则变化率可用式子表示，则变化率可用式子 表示。这个式子称为函数表示。这个式子称为函数 y=f(x)从从 x1 到到 x2 的的平均变化率平均变化率。习惯用习惯用x=x1-x2，y=y1-y2，故平均变化率表示为：，故平均变化率表示为：牛顿能很简单地计算出牛顿能很简单地计算出平均速度。比如：第平均速度。比如：第5s到第到第6s，路程是，路程是25m到到
3、36m，它，它的平均速度是多少呢？的平均速度是多少呢？1212()()f xf xxx1212()()=f xf xyxxx问题引入问题引入 但天才的牛大但天才的牛大爷并不满足于算出爷并不满足于算出平均速度，他更想平均速度，他更想知道，在变速运动知道，在变速运动中，瞬时速度怎么中，瞬时速度怎么算呢？算呢？问题引入问题引入 从从5s到到6s，小，小车的速度变化了不车的速度变化了不少，用其平均速度少，用其平均速度来刻画来刻画5s时的瞬时时的瞬时速度，不够准确。速度，不够准确。那如果缩短时间，那如果缩短时间，你能求出由你能求出由5s到到5.1s的平均速度吗？的平均速度吗？由由5s到到5.01s呢呢?
4、问题引入问题引入问题引入问题引入（1 1）求）求5s5s到到5.1s5.1s的平均速度的平均速度（2 2）求）求5s5s到到5.01s5.01s的平均速度的平均速度 由由5s到到5+t s的平均速度又如何计算呢？的平均速度又如何计算呢？问题引入问题引入 由由5s到到5+t s的平均速度又如何计算呢？的平均速度又如何计算呢？问题引入问题引入当时间为当时间为 t 到到 t+t的平均速度的计算式子：的平均速度的计算式子：问题分析问题分析ttttttts 2-)(22当时间为当时间为 t 到到 t+t的平均速度的计算式子：的平均速度的计算式子：问题分析问题分析ttttttts 2-)(22当时间为当时
5、间为 t 的瞬时速度的计算式子：的瞬时速度的计算式子：ttttttttsttt2)2(lim-)(limlim02200 知识归纳知识归纳 一般地，函数一般地，函数 在在 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 我们称它为函数我们称它为函数 在在 处的处的导数导数，记作，记作 或或 ，即，即0000()()limlim xxf xxf xyxx()yf x0 xx()yf x0 xx0()fx0 x xy00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 思考：思考：表表示示什什么么？平平均均变变化化率率的的图图象象观观察察函函数数1212-)()(,)(xxxfxfxyxfy-思考：思
6、考：表表示示什什么么？瞬瞬时时变变化化率率的的图图象象观观察察函函数数121200-)()(limlim,)(xxxfxfxyxfyxx-【例例1】已知质点已知质点M做直线运动，且位移随时间变化的做直线运动，且位移随时间变化的函数为函数为s=2t23(位移单位位移单位:cm，时间单位，时间单位:s).2)3(,001.0,2)2(,01.0,2)1(时时的的瞬瞬时时速速度度在在求求质质点点；求求时时当当；求求时时当当 tMtstttstt已知函数已知函数f(x)=2x2+3x5.(1)当当x1=4且且x=1时时,求函数增量求函数增量y和平均变和平均变化率化率 ;(2)当当x1=4且且x=0.1
7、时时,求函数增量求函数增量y和平均和平均变化率变化率 ;(3)分析分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义中的平均变化率的几何意义.【例例2】xyxy.21,2,32)()2(29.0 D.893 C.1.1 B.11.0 A.)(,1.02-3)1(000202时时该该函函数数的的平平均均变变化化率率并并求求当当化化率率之之间间的的平平均均变变到到在在求求函函数数则则处处的的增增量量为为在在已已知知函函数数 xxxxxxxfxyxxxxy【例例3】求函数求函数f(x)=3x22x在在x=1处的导数处的导数.【例例4】【课堂训练课堂训练】2 D.2 C.2 B.4 A.)(,21-)(2)()2(1 D.2 C.2 B.2 A.)(1)()1(2 的的值值为为则则且且已已知知函函数数处处的的导导数数为为在在函函数数mmfxxfxxxxxf_)5.0(12-)()4(3)D.(1)3 C.(1)B.(1)31 A.)(3)1(-)1(lim,1)()3(0 fxxfffffxfxfxxfx，则则已已知知则则处处存存在在导导数数在在函函数数
