1、导数的概念及其意义2()()()4.94.811hmtsh ttt 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度单位：与起跳后的时间 单位：存在函数关系如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？124.9()4.8tt v运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述运动状态12ttt 一般地，在这段时间里9.9(/)m s 12t 在这段时间里2.35(/)m s00.5t 例如：在这段时间里一、变化率问题1.问题(0.5)(0)0.50hhv(2)(1)2 1
2、hhv2121()()h th tvtt48049t 计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？1ts瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗？度我们把物体在某一时刻速度称为瞬时速的思考探究为了精准刻画运动员的运动状态，需要考虑在某一瞬间的运动速度因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态480049t 我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0vt那么 将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度如果不断缩短这一时间段的长度0tv设运动员在时刻附近某一段时间
3、内的平均速度是，为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格01,1tt 当，在时间段内可作类似处理1,11tvvt计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度01,1tt 当，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，011011tttt 当时，在 之后，当时，在 之前0t 是时间改变量，可以是正值，可以是负值，但不为111ttt为了求运动员在时的瞬时速度，在之后或之前，任意取一个时刻0tv当无限趋近于时，平均速度 有什么变化趋势？观察01115ttv我们发现，当无限趋近于，即无论 从小于 的一边，还是从大于的一边无限趋近于 时，平均速度 都无限趋近于1(1
4、)5/tsvm s 因此，运动员在时的瞬时速度|01tvt当时间间隔无限趋近于时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度。0(1)(1)lim5ththt 记为(1)(1)50hthtvt我们把叫做“当无限趋近于时，的极限”这与前面得到的结论一致5v无限趋近于0,4.90tt当无限趋近于时也无限趋近于4.95t 24.9()5ttt(1)(1)(1)1hthvt事实上14.8 20()()()4.94.811(1)2(2)hmtsh ttttst 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度单位：与起跳后的时间 单位：存在函数关系求运动员在时的瞬时速度；求运动员从起跳到入水过程中
5、在某一时刻的瞬时速度？04.89.8t4.914.8t 224.9(2)4.8(2)11 4.9 24.8 2 11ttt (2)(2)(1)hthvt解：04.94.89.8tt 2200004.9()4.8()11 4.94.811ttttttt 00()()(2)h tth tvt00lim(4.94.89.8)tvtt 0lim(4.914.8)tvt 思考0limxyxyx 第一步：求平均变化率第二步：求平均变化率的极限0lim0 xx 20lim()0 xx 0lim1 1x 0lim()(,)xa xbb a bR 2()()0.9(1)12(2)10tsmh ttts 1.火箭
6、发射后，其高度 单位：为，求：在这段时间里，火箭爬过的平均速度发射后第时，火箭爬高的瞬时速度1018/sm s发射后第时，火箭爬高的瞬时速度是0lim(0.918)18/tvtm s 0.918t 122.7/tm s 在这段时间里，火箭爬过的平均速度是2.7/m s(10)(10)(2)hthvt220.9(10)0.9 10tt220.9 20.9 12 1(2)(1)(1)2 1hhv解：练习25()()()4.91mymtsy ttts 2.一个小球从的高处自由下落，其位移单位：与时间 单位：之间的关系为，求时小球的瞬时速度19.8/tsm s 时小球的瞬时速度为9.8/m s 0li
7、m(4.99.8)tvt 4.99.8t 224.9(1)4.9 1tt(1)(1)ytyvt解：20()(1,1)f xxP如何定义抛物线在点处的切线？020()(1,1)PTf xxP这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线探究2200(,)()(1,1)P x xf xxPP P当点沿着抛物线趋近于点时，割线有什么变化趋势？观察20(1,1)(,)PP x x在点的附近任取一点00PPP P当点 从左从右无限趋近于点时，割，一个线确趋定无限近于的位置.问题2抛物线的切线的斜率2000()(1,1)f xxPPTk如何求抛物线在点处的切线的斜率？000|PPkPTkx我们可以用割线的斜率
8、近似地表示切线的斜率，并且通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格探究2x 2(1)1(1)1xx0()(1)1PPf xfkx割线的斜率2(1,(1)Pxx则点 的坐标为1xx 记2000()(1,1)f xxPPTPP抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系00 xP Pk当无限趋近于时，割线的斜率 有什么变化趋势？观察001112xxP Pk我们发现，当无限趋近于，即无论 从小于 的一边，还是从大于的一边无限趋近于 时，割线的斜率 都无限趋近于002PTk 因此，切线的斜率000P PPPT割线无限趋近于点处的切线0|0 xPP当横坐标间隔无限趋近于时，点就无限趋
9、近于点0(1)(1)lim2xfxfkx 记为(1)(1)20fxfxkx我们把叫做“当无限趋近于时，的极限”0,22xx 当无限趋近于时无限趋近于(1)(1)2fxfktx 事实上0000PPkPPTk这时，割线的斜率 无限趋近于点处的切线的斜率2()4.94.811(1)(1)(1)1(1)h ttththvtv 观察函数的图像平均速度的几何意义是什么？瞬时速度呢？0(1)vPT 切线的斜率0vPP 割线的斜率00PPT解：过点作抛物线的切线思考2()(1,1)f xx1.试求抛物线在点处切线的斜率2 练习0(1)(1)limxfxfkx 2x 22(1)(1)(1)(1)fxfxxx 解
10、：0lim(2)xx 2()1(0,1)f xx2.求抛物线在点处的切线方程x 0(0)(0)limxfxfkx 0limxx 0(0,1)1y在点处的切线方程为22(0)1(01)xx(0)(0)fxfx解：二、导数的概念及其几何意义0000()()()f xxf xyyf xxxxxx我们把叫做函数从到的平均变化率00()()yyf xxf x 的变化量为xx这时，的变化量为00()()yf xf xx相应地，函数值就从变化到00 xxxx设自变量 从变化到()yf x对于函数0()yf xxx则称在可导yx即有极限0yxx 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，00000()()(
11、)limlimxxf xxf xyfxxx 即：00()|x xfxy记作或0()()yf xxx并把这个确定的值叫做在处的为瞬时导也称变化率数1()(1)f xfx例设，1.求01lim1xx 1 0111limxxx 0(1)(1)(1)limxfxffx 解：02()()715(08)26x hCyf xxxxhh将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第时，原油的温度 单位：为。计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义例2.023/hC h在第附近，原油温度大约以的速度下降3x 247xxxx 22(2)7(2)15(27 2 15)xx
12、x (2)(2)yfxfxx2(2)hf 在第时，原油温度的瞬时变化率是00(2)limlim(3)3xxyfxx 065/hC h在第附近，原油温度大约以的速度上升00(6)limlim(5)5xxyfxx 5x 22(6)7(6)15(67 6 15)xxx (6)()yfxfxx6(6)hf 在第时，原油温度的瞬时变化率是2127xxxx 2(/)()66026t sm syv tttss 一汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度为求汽车在第与第时的瞬时加速度，并说明它们的意义例3.22/hm s在第附近，汽车的速度每秒大约增加00(2)limlim(2)2xxyvtx 2t 22
13、ttt 22(2)6(2)60(26 260)ttt (2)(2)yvtvtt2(2)sv解：在第时，汽车的瞬时加速度是6/hm s在第6附近，汽车的速度每秒大约减少00(2)limlim(6)6xxyvtx 266tttt 22(6)6(6)60(66 660)ttt (6)(6)yvtftt6(6)sv在第时，汽车的瞬时加速度是()(1)f xxf 设，求1练习0(1)1limxxx 0(1)(1)(1)limxfxffx 解：0lim1x 2()()()212.7Aymtsy ttAts2.一质点沿直线运动，位移单位：与时间 单位：之间的关系，求质点在时的瞬时速度2.710.8/Atsm
14、 s质点 在时的瞬时速度为0limtvv 210.8t 222(2.7)1 2 2.71tt(2.7)(2.7)ytyvt解：10.80lim(210.8)tt 2()1(1)11.1(2)1f xxxx3.设函数，求当自变量 由 变到时，函数的平均变化率函数在处的导数20lim(2)xx 0(1)(1)(1)limxfxffx 2x 22(1)1(11)xx 2.122(1.1)1(11)0.1(1.1)(1)(1)1.1 1ff解：(1)(1)(2)fxfx0000000()()()()()()limlimxxyf xf xxf xyxxf xxf xyfxxx 函数的图像，思考平均变化率
15、表示什么？瞬时变化率表示什么？0PP表示割线的斜率00()()f xxf xyxx平均变化率观察00000()(,()(,()()(,()()oyf xP x f xP x f xyf xP xf xP PPTyf xP切线在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线从左从右无限趋近于点时，割线无限趋近于的位置，这个确定位置的直线称为确一个曲在点处的定线00000()()lim()xf xxf xkfxx 0000()()yf xxxfxPTk因此，函数在处的导数就是切线的斜率00()xkyf xxx 即当时，就无限趋近于函数在处的导数0()Pyf xP当点 沿着曲线曲线趋近于点时0 xxx 记000(
16、)()f xf xP Pkxx割线的斜率00000000()PPTPPPPyf xPPT继替续观察曲线，发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线利用信息技术工具，将点附近的曲线不断放大，可以发现点附近的曲线接曲线用越来越近于直线。，切因线此，在点附近可以处的近似代点以直代曲2012()4.94.811(),hth ttth ttttt 如图是高台跳水运动中，运动员的重心相对于水面的高度 随时间 变化的函数的图像，根据图像，请描述、比较曲线在附近的变化情况例4.12()h ttttt这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢22()tth ttt这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减11()t
17、th ttt这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减00()0h ttt，这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降000(1)()tth tttlt解：当时，曲线在处的切线平行于 轴1111(2)()()0tth tttlh t当时，曲线在处的切线 的斜率2222(3)()()0tth tttlh t当时，曲线在处的切线 的斜率12ll直线 的倾斜程度小于直线 的倾斜程度，2()()()4.94.8110,0.1,0.2,0.5,1h mt sh ttttsh 在高台跳水运动中，某一运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数为求运动员在时高度的瞬时变化率例5.0(0.1)lim3.82thh
18、t 0(0)lim4.8thht 4.94.8t 224.9(0)4.8(0)11(4.9 04.8 0 11)ttt (0)(0)hhthtt0t 解：当时4.93.82t (0.1)(0.1)hhthtt224.9(0.1)4.8(0.1)11(4.9 0.14.8 0.1 11)ttt 0.1t 当时0(0.2)lim2.84thht 0(0.5)lim0.1thht 224.9(0.2)4.8(0.2)11(4.9 0.24.8 0.2 11)ttt(0.2)(0.2)hhthtt0.2t 当时4.92.84t 4.90.1t 224.9(0.5)4.8(0.5)11(4.9 0.54
19、.8 0.5 11)ttt(0.5)(0.5)hhthtt0.5t 当时0(1)lim5thht 4.95t 224.9(1)4.8(1)11(4.9 14.8 1 11)ttt (1)(1)hhthtt1t 当时0()()()()limxf xxf xyf xyfxyx 的导函数也记作即()()xyfxxyf x数当 变化时，就是 的函数，我们称它的导函为00()xxfx当时，是一个唯一确定的数(0.2)2.84v()0.10.2h ttt并且函数在附近比在附近增加得快2()4.94.8110.1,0.2()()hth tttts 1.如图是在高台跳水运动中，某一运动员的重心相对于水面的高度
20、随时间 变化的函数的图像请描述运动员在附近增 减 以及增 减 快慢的情况00()()h tth thvtt解：2200004.9()4.8()11 4.94.811ttttttt 04.94.89.8tt 00lim(4.94.89.8)ttt 04.89.8t(0.1)3.82v0.2t 在附近单调递增()0.1h tt 函数在附近单调递增，练习0limtvv ().(1)(2)(3)0.(1)(2)(3)0.0(1)(2)(3).(1)(2)0(3)f xA fffB fffCfffD fff2.函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是A选221(1,1)yx 3.求曲线在点处的切线方程4
21、3yx 即：4x 0lim(24)xxx 0limxyyx 24xx 222()1 21xxxx ()()yf xxf xxx解：14(1)yx 所求切线方程为14xy 当时，(1)(2)(3)4.根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状汽车在笔直的公路上匀速行驶汽车在笔直的公路上不断加速行驶汽车在笔直的公路上不断减速行驶()()f xfx5.已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状2()()4.94.811t smh ttthtvvtvvvt 6.在高台跳水运动中，时运动员的重心相当于水面的高度 单位：是高度关于时间 的导数是速度，速度 关于时间的导数 的物理意义是什么？试求，关于时间 的函数解析式9.8 0lim(9.8)t 09.8()4.8(9.84.8)limttttt 00()()()limlimttvv ttv tv ttt ()9.84.8v tt vta解：速度 关于时间 的导数是运动员的加速度01(1)(1)27.()lim1(1)kfkff xfk已知函数满足，求的值2kx 解：令(1)2f 0(1)(1)lim12xfxfx 2kx 则0(1)(1)lim2xfxfx 谢谢谢谢观看观看
