1、数学选择性必修数学选择性必修第二册第二册第四章第四章 数列数列总总复习复习qaann1dnaan)1(111nnqaadmnaamn)(mnmnqaa2)(baAabG 22)1(2)(11dnnnaaanSnn1 1 11)1(111qnaqqqaaqqaSnnnqpmnaaaaqpmnaaaapmnaaa22pmnaaa一、知识回顾一、知识回顾daann1kkkkkSSSSS232,kkkkkSSSSS232,仍成等差仍成等差仍成等比仍成等比1 2 11nSnSSannn等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定定 义义通通 项项通项推广通项推广中中 项项性性 质质求和求和公式公式关系
2、式关系式nnSa、适用所有数列适用所有数列1.1.数列的概念：数列的概念：按照按照一定的顺序排列一定的顺序排列着的着的一列数一列数称为称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项项。2.2.数列的分类：数列的分类：有穷数列有穷数列;无穷数列无穷数列;递增数列递增数列;递递减数列；常数列；摆动数列减数列；常数列；摆动数列.3.3.数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。注意：注意：（1 1）若）若a an+1n+1aan n恒成立，则恒成立，则aan n 为递增数列；若为递增数列；若a an+1n+1aan n恒成
3、立，则恒成立，则 aan n 为递减数列为递减数列(2)在数列在数列 中，若中，若ann nn n 1 1n nn n 1 1a aa aa aa an nn n 1 1n nn n 1 1a aa aa aa a则则 最小最小.na则则 最大最大.na知识回顾知识回顾1、数列的通项公式、数列的通项公式(1)等差数列、等比数列，直接用公式等差数列、等比数列，直接用公式等差要先求出等差要先求出a1和和d,等比要先求出等比要先求出a1和和q（2）由）由Sn求求an（3）根据递推公式（）根据递推公式（an与与an+1的关系式）求通项公式的关系式）求通项公式1、定义法（例如：、定义法（例如：an+1-
4、an=2 an+1-an=2an ）2、迭加法、迭乘法、构造法等、迭加法、迭乘法、构造法等等差等差等比等比111n1nS1nSaSann时，当时，当检验检验式满不满足式，式满不满足式，满足的话写一个式子，满足的话写一个式子，不满足写分段的形式不满足写分段的形式答案：答案：B？补充：求na111111111111221222222)12()12(11121nnnnnnnnnnnnnnnaaaSSanSa所以满足时，当时，解：当111n1nS1nSaSann时，当时，当由由Sn求求an1)1(23)12(35)32()12(1n353212211223211nnnnnaaaaaanaanaannn
5、nn个式子相加得这解：因为2212111nnanan)(1nfaann迭加法迭加法222221222322111n1aaaaaaaaaannnnnnnn所以解：因为2)1n(121112)2(1221-n122222221-nnnnnnnnaa）（）（）（个式子相乘得将这2222)1(1222222nnnnnnnaa)(1nfaann迭乘法迭乘法12a2221a2131a21a21a1a)1(211x222)(211n11111nnnnnnnnnnnnnnnaaxaaxaxaxaxa所以故项为公比的等比数列，首为以所以故所以与原式相比较得即则解：设qpaann1构造法构造法一、已知一、已知Sn
6、求求an111n1nS1nSaSann时，当时，当检验检验第式满不满足第式，满足的话写一个式子，不满足第式满不满足第式，满足的话写一个式子，不满足写分段的形式写分段的形式二、根据递推公式求通项公式二、根据递推公式求通项公式1、定义法、定义法2、迭加法、迭加法:3、迭乘法、迭乘法:1()nnaf na1()nnaaf n求求an的方法总结：的方法总结：4、构造法求通项、构造法求通项:BAaann1)1(11ABaAABann步骤：步骤：1、先写出通项判断数列类型、先写出通项判断数列类型（等差？等比？其他？）（等差？等比？其他？）2、等差等比用公式解，其他把、等差等比用公式解，其他把Sn展开再找求
7、和方法：展开再找求和方法：一、公式法：适用于等差数列、等比数列一、公式法：适用于等差数列、等比数列二、分组求和法：适用于形如二、分组求和法：适用于形如an+bn的数列的数列三、错位相减法：适用于三、错位相减法：适用于“等差等差等比等比”型数列型数列四、裂项相消法：四、裂项相消法：分式形式且展开分式形式且展开Sn后分母有共同部分后分母有共同部分五、倒序相加法：能凑出定值五、倒序相加法：能凑出定值六、绝对值求和：先判断项的正负、去绝对值六、绝对值求和：先判断项的正负、去绝对值2、数列的和、数列的和项和的前求数列项和的前求数列项和的前求数列项和的前求数列的通项公式为数列，的通项公式为已知数列课堂例题
8、：n)4(n)3(nb)2(n)1(2bbnnnnnnnnnnnbabaanaa方法探究方法探究等差数列等差数列等比数列等比数列公式法公式法分组求和法分组求和法项和的前）求数列（n6nnba(5)求数列求数列 的前的前n项和项和错位相减法错位相减法项和的前）求数列（n171nnaa裂项相消法裂项相消法、等差、等比数列的设法及应用、等差、等比数列的设法及应用1.三个数成等差数列可设为三个数成等差数列可设为daadadadaa,;2,或者或者 ，yyxx,2,aqaqa,2.三个数成等比数列，则这三个数可设为三个数成等比数列，则这三个数可设为 ，也可以设为，也可以设为.,2aqaqa 例例1(1)
9、.已知三个数成等差数列，其和为已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为，其平方和为83，求此三个数求此三个数.析：设这三个数为析：设这三个数为dxxdx,则83)()(15)()(222dxxdxdxxdx所求三个数分别为3，5，7解得x5，d或7，5，3.2.二、知识应用二、知识应用根据具体问题的不同特点而选择不同设法。根据具体问题的不同特点而选择不同设法。例例1(2)：互不相等的三个数之积为：互不相等的三个数之积为 ，这三个数适当排列后可，这三个数适当排列后可成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列.8设这三个数为，则aq
10、aqa,8aqaqa即：2 83aa（1）若qq2,22 是 的等差中项，则422 qq即：0122 qq1 q与已知三数不等矛盾（2）若qq2,22为的等差中项，则qq211即：0122qq21 q三个数为三个数为2,1,44,1,2或或（3）若2,22qq为的等差中项，则qq21即：022qq2 q三个数为三个数为2,1,44,1,2或或综上：这三数排成的等差数列为这三数排成的等差数列为:4 ,1 ,2 2 ,1 ,4或 、运用等差、等比数列的性质、运用等差、等比数列的性质例例2（1）已知等差数列）已知等差数列 满足满足 ，则，则 ()na010121 aaa0 A.1011aa0 B.1
11、002aa51 D.51a0 C.993aa130 A.170 B.210 C.260 D.（3）已知在等差数列已知在等差数列an的前的前n项中，前四项之和为项中，前四项之和为21，后，后四项之和为四项之和为67，前，前n项之和为项之和为286，试求数列的项数，试求数列的项数n.214321aaaa析：析：67321nnnnaaaa2862)(1nnaanS22467211naaC （2）已知等差数列）已知等差数列 前前 项和为项和为30，前，前 项和为项和为100，则前则前 项和为项和为 ()namm2m3C例例3.等差数列等差数列an中中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小该数列
12、前多少项的和最小?分析分析:如果等差数列如果等差数列an由负数递增到正数，或者由由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前正数递减到负数，那么前n项和项和Sn有如下性质：有如下性质：100nnnaSa是最小值当当a10,d0时时,当当a10,d0时时,100nnnaSa是最大值思路思路1：寻求通项：寻求通项n取取10或或11时时Sn取最小值取最小值111199(91)1212(121)22adad 1110da 即：即：da30311011)10)(1(111naanaan010a易知011a012a由于01a、等差数列的最值问题、等差数列的最值问题例例.等差数列等差数列an中中,a10,
13、S9=S12,该数列前多少项的和最小该数列前多少项的和最小?分析分析:等差数列等差数列an的通项的通项an是关于是关于n的的一次式一次式,前项和前项和Sn是关于是关于n的的二次式二次式(缺常数项缺常数项).求等差数列的前求等差数列的前n项和项和 Sn的最大最小值可用解决的最大最小值可用解决二次函数的最值二次函数的最值问题的方法问题的方法.思路思路2：从：从函数函数的角度来分析的角度来分析数列数列问题问题.设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d,则由题意得则由题意得:111199(9 1)1212(12 1)22adad 110ad 111(1)10(1)22nSnan nddnn nd a
14、10,d0,Sn有最小值有最小值.又又nN*,n=10或或n=11时时,Sn取最小值取最小值即：即：da3031212122dndn222121()228dnd例例3.等差数列等差数列an中中,a10,S9=S12,该数列前多少项和最小该数列前多少项和最小?分析分析:数列的图象是一群孤立的点数列的图象是一群孤立的点,数列前数列前 n项和项和Sn 的图象也是一的图象也是一群孤立的点群孤立的点.此题等差数列前此题等差数列前n项和项和Sn的图象是在抛物线上一群孤的图象是在抛物线上一群孤立的点立的点.求求Sn的最大最小值即要求的最大最小值即要求距离距离对称轴对称轴最近最近的正整数的正整数n.因为因为S
15、9=S12,又又S1=a10,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那那 么么a3+a5的值等于的值等于 （）A.5 B.1 C.15 D.10A三、基础练习三、基础练习6.等差数列等差数列an中中,已知前已知前4项和是项和是1,前前8项和是项和是4,则则a17+a18+a19+a20的值等于的值等于 ()A.7 B.8 C.9 D.10C 7.首项为首项为-24的等差数列从第的等差数列从第10项开始为正数项开始为正数,求公差为求公差为d的取值范围的取值范围8.在数列在数列an中中,a1=3,an+1=an+3n(n1),求此数列的通求此数列的通项公式项公式9.数列数列bn中中,b1+b2+b
16、3=,b1b2b3=,若若an是等差数是等差数列列,且且bn=,求求an的通项公式的通项公式82181na)21(三、基础练习三、基础练习题型一、求数列的通项公式。题型一、求数列的通项公式。典例分析典例分析nnnnaaa，aa、求数列的通项中已知数列例,3,2111nnnnanaa，aa求数列的通项中已知数列变式,1,2.111nnnnaaa，aa求数列的通项中已知数列变式,3,2.211nnnnaaa，aa求数列的通项中已知数列变式,13,2.411nnnnaanna，aa求数列的通项中已知数列变式,)1(,2.311?,402876113aaaa，aa、n则中已知等差数列例变式变式、在等差
17、数列、在等差数列 a n 中，中，a 1 a 4 a 8 a 12+a 15=2，求求 a 3+a 13 的值。的值。解：由题解：由题 a 1+a 15 =a 4+a 12=2a 8 a 8=2故故 a 3+a 13=2a 8=4解：由题解：由题 a 32=a 2a 4，a 52=a 4a 6，a 32+2a 3a 5+a 52=25即即 (a 3+a 5)2=25故故 a 3+a 5 =5 a n 0题型二、等差数列与等比数列性质的灵活运用题型二、等差数列与等比数列性质的灵活运用典例分析典例分析?,93101657483aaaaaaa，aa、n则中已知在等比数列例变式、已知变式、已知 a n
18、 是等比数列，且是等比数列，且 a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，a n 0，求，求 a 3+a 5 的值。的值。利用等差（比）数列的性质解有关的题能够简化过利用等差（比）数列的性质解有关的题能够简化过程，优化计算，但一定用准确性质；同时，能够用程，优化计算，但一定用准确性质；同时，能够用性质解的题，用基本量法，一定也能够解决。基本性质解的题，用基本量法，一定也能够解决。基本量与定义是推出数列性质的基础。对于性质，不能量与定义是推出数列性质的基础。对于性质，不能死记，要会用，还要知其所以然。死记，要会用，还要知其所以然。规律方法总结规律方法总结qpmnaaaaqpmnaaaapmnaaa22pmnaaakkkkkSSSSS232,kkkkkSSSSS232,仍成等差仍成等差仍成等比仍成等比性性 质质an=amqn-m(n,mN*).an=am+(n-m)d(n,mN*).n2n-1n2n-1abBA
