1、第2课时函数的最值一、函数f(x)在区间a,b上的最值【问题思考】1.如图,观察函数y=f(x)在区间a,b上的图象,你能找出f(x)在区间a,b上的最大值与最小值吗?提示:能,函数y=f(x)在区间a,b上的最小值是f(x3),最大值是f(b).2.填空:一般地,如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值.连续不断二、求函数y=f(x)在闭区间a,b上最值的步骤【问题思考】1.函数y=f(x),xa,b的图象如图所示.(1)观察函数y=f(x)的图象,试找出它的极大值、极小值.提示:极大值为f(x1),f(x3),极小值为f(x2),f(x4).(2)结
2、合图象判断函数y=f(x)在区间a,b上是否存在最大值、最小值?若存在,分别是多少?提示:存在,函数y=f(x)在区间a,b上的最小值是f(a),最大值是f(x3).(3)函数y=f(x)在区间a,b上的最大值或最小值一定是某极值吗?提示:不一定,也可能是区间端点的函数值.(4)怎样确定函数f(x)在区间a,b上的最小值和最大值?提示:比较极值与区间端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值.2.填空:求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是,
3、最小的一个是.3.想一想:如果函数y=f(x)在开区间(a,b)上只有一个极值,且为极小值,那么函数在开区间(a,b)上有最值吗?提示:有最小值,无最大值.设x0是函数的极小值点,则函数f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,故函数f(x)在x0处取得最小值.极值最大值最小值4.做一做:函数y=2x3-3x2-12x+5在区间-2,1上的最大值、最小值分别是()A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16解析:y=6x2-6x-12,令y=0,解得x=-1或x=2(舍去).当x=-2时,y=1;当x=-1时,y=12;当x=1时,y=-8,所以ymax=
4、12,ymin=-8.故选A.答案:A【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)闭区间上的函数一定有最值.()(2)函数的极值只能在区间内取得,而函数的最值可以在区间端点处取得.()(3)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值.()探究一求函数在闭区间上的最值【例1】求函数f(x)=-x4+2x2+3在区间-3,2上的最大值与最小值.解:因为f(x)=-x4+2x2+3,所以f(x)=-4x3+4x.令f(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=0或x=1.在区间-3,2上,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示
5、.x-3(-3,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)+0-0+0-f(x)-60单调递增极大值4单调递减极小值3单调递增极大值4单调递减-5所以,函数f(x)在区间-3,2上的最大值是4,最小值是-60.把本例中“区间-3,2”改为“区间0,2”求相应问题.解:令f(x)=0,解得x=-1(舍去)或x=0或x=1.在区间0,2上,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示.x0(0,1)1(1,2)2f(x)+0-f(x)3单调递增极大值4单调递减-5所以函数f(x)在区间0,2上的最大值是4,最小值是-5.反思感悟 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点:(1
6、)对函数进行准确求导,并检验f(x)=0的根是否在给定区间内;(2)研究函数的单调性,正确确定函数的极值和端点函数值;(3)比较函数的极值与端点函数值大小,确定最值.【变式训练1】求函数f(x)=e-x-ex在区间0,a上的最大值与最小值,其中a0,且为常数.当x0,a时,f(x)0恒成立,则函数f(x)在区间0,a上单调递减.故当x=a时,f(x)有最小值f(a)=e-a-ea.当x=0时,f(x)有最大值f(0)=0.探究二含参数的函数的求最值问题【例2】已知函数f(x)=(x-k)ex,k为常数.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.解:(1)函数f(x)的
7、定义域为R.由f(x)=(x-k)ex,得f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,解得x=k-1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:所以函数f(x)的单调递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k-1,+).x(-,k-1)k-1(k-1,+)f(x)-0+f(x)单调递减-ek-1单调递增(2)当k-10,即k1时,函数f(x)在区间0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k;当0k-11,即1k2时,由(1)知f(x)在区间0,k-1)上单调递减,在区间(k-1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1;当k
8、-11,即k2时,函数f(x)在区间0,1上单调递减,所以函数f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上可知,当k1时,f(x)min=f(0)=-k;当1k0,在区间-1,2上当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=0时,函数f(x)取得最大值3,即f(0)=b=3.又因为f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,所以f(-1)f(2),所以当x=2时,函数f(x)取得最小值-29,即f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.若af(-1).所以当x=2时,函数f(x)取得最大值3,即f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.综上所述,a=2,b
9、=3或a=-2,b=-29.反思感悟 已知函数的最值求参数值(取值范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.【变式训练3】已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解:(1)f(x)=-3x2+6x+9.令f(x)0,解得x3.函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),(3,+).(2)f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a
10、,f(2)f(-2).由(1)知f(x)=-3x2+6x+9,令f(x)=0,解得x=-1或x=3(舍去).当x-2,-1)时,f(x)0,函数f(x)在区间(-1,2上单调递增.f(2)和f(-1)分别是函数f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值.于是f(2)=22+a=20,解得a=-2.f(x)=-x3+3x2+9x-2.f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.求最值时忽视“端点值”而致错【典例】已知函数f(x)=(x2+1)(x+a)(aR),且f(-1)=0,则函数y=f(x)在区间 上的最大值为,最小值为.错解:f(x)=x3+ax2+x+
11、a,f(x)=3x2+2ax+1.f(-1)=3-2a+1=0,解得a=2.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?正解:f(x)=x3+ax2+x+a,f(x)=3x2+2ax+1.f(-1)=3-2a+1=0,可得a=2.防范措施 求函数的最值时,若函数的定义域是闭区间,则需比较极值点处的函数值与端点处的函数值的大小;如本例中需比较极值与端点处函数值的大小才能确定出最值.若函数的定义域是开区间,且只有一个极值点,则该极值点就是最值点.【变式训练】函数y=x+2cos x在区间 上取得最大值时,x的值为()答案:B 解析:函数y的定义域为(0,+).当x(0,e)时,y0,则函数y在区间(0,e)上单调递增;当x(e,+)时,y0.求a的值.解:函数f(x)的定义域为(-a,+).令f(x)=0,解得x=1-a-a.当-ax1-a时,f(x)1-a时,f(x)0,函数f(x)在区间(1-a,+)上单调递增.因此函数f(x)在x=1-a处取得极小值,也是最小值.由题意知f(1-a)=1-a=0,故a=1.
