1、情景引入 为了为了描述现实世界中的运动、变化现描述现实世界中的运动、变化现象象,在数学中引入了函数在数学中引入了函数.刻画静态现象刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念非常重要的概念.在对函数的深入研究中在对函数的深入研究中,数学家创立了数学家创立了微积分微积分,这是具有划时代意这是具有划时代意义的伟大创造义的伟大创造,被誉为数学史上的被誉为数学史上的里程碑里程碑.牛顿（Isaac Newton，1643年 1727年），英国物理学家、数学家.莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年1716年），德国哲学家
2、、数学家.情景引入一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；刻的速度与加速度；二、求曲线的切线二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等四、求长度、面积、体积和重心等.探究新知 在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单（单位：位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t（单位：（单位：s）存在函数关系）存在函数关系h(t)4.9t24.8t11 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度
3、呢？如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？直觉直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快快.探究新知 在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：（单位：m）与起跳后的时间与起跳后的时间t（单位：（单位：s）存在函数）存在函数关系关系h(t)4.9t24.8t11 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？例如例如,在在 0 t 0
4、.5这段时间里这段时间里，在在 1 t 2这段时间里，这段时间里，问题(1)如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？探究新知 在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：（单位：m）与起跳后的时间与起跳后的时间t（单位：（单位：s）存在函数）存在函数关系关系h(t)4.9t24.8t11 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？问题(2)如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？探究新知 在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度在
5、高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：（单位：m）与起跳后的时间与起跳后的时间t（单位：（单位：s）存在函数）存在函数关系关系h(t)4.9t24.8t11 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？注：注：运动员的平均速度，只关注了运动员的平均速度，只关注了从从初始初始到到终止终止这个时间段的这个时间段的情况情况，忽略了，忽略了中间运动过程，因此不能准确刻画运动员的运动状态中间运动过程，因此不能准确刻画运动员的运动状态.瞬时速度探究新知 在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度在高台跳水运动中，某运动员的重心相
6、对于水面的高度h（单位：（单位：m）与起跳后的时间与起跳后的时间t（单位：（单位：s）存在函数）存在函数关系关系h(t)4.9t24.8t11 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？问题(4)瞬时速度与平均速度有什么关系？你瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用能利用这种关系求这种关系求运动员在运动员在t=1时的时的瞬时速度吗？瞬时速度吗？平均速度平均速度v缩短时间段长度缩短时间段长度瞬时瞬时速度速度v(t0)探究新知h(t)4.9t24.8t11 为了为了求运动员在求运动员在t=1时的瞬时速度时的瞬时速度,我们在我们在t=1之后或之
7、前之后或之前,任意取一个时任意取一个时刻刻1+t,t是时间改变量是时间改变量,可以是正值可以是正值,也可以是负值也可以是负值,但不为但不为0.当当 t 0时时,1+t在在1之后之后;当当 t 0时时,1+t在在1之前之前.无论无论t的正负，只要无限趋近于的正负，只要无限趋近于0，也就是时间间隔不断变小，平均速度都，也就是时间间隔不断变小，平均速度都无限趋近于无限趋近于5.探究新知h(t)4.9t24.8t11问题(5)你认为上述通过列表计算瞬时速度的过程可靠吗？计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征，需要从需要从更加理性的角度加以说
8、明更加理性的角度加以说明.因为因为h(t)4.9t24.8t11，所以运动员在时间，所以运动员在时间段段1，1t（或（或1t，1）的平均速度为）的平均速度为(1)(1)hthvt 24.9(1)4.8(1)11(4.94.811)ttt 24.9()5ttt 4.95.t 探究新知h(t)4.9t24.8t11问题(5)你认为上述通过列表计算瞬时速度的过程可靠吗？当当t无限趋近于无限趋近于0时，时，4.9t也无限趋近于也无限趋近于0，所以，所以 无限趋近于无限趋近于5.我们把我们把5叫做叫做“当当t无限趋近于无限趋近于0时时，的极限的极限”，记为记为4.95.vt v(1)(1)hthvt 0
9、(1)(1)limththt 0lim(4.95)5.tt 探究新知h(t)4.9t24.8t11问题(6)你能用上述方法，计算当你能用上述方法，计算当t2s 时的瞬时速度吗？时的瞬时速度吗？(2)(2)hthvt 224.9(2)4.8(2)11(4.924.8211)ttt 24.9()14.8ttt4.914.8.t 解：因为h(t)4.9t24.8t11，所以运动员在时间段2，2t（或2t，2）的平均速度为0(2)lim(4.914.8)14.8.tvt 所以探究新知h(t)4.9t24.8t11问题(7)你能推导出任意时刻t0时瞬时速度的表达式吗？00()()h tth tvt 22
10、00004.9()4.8()11(4.94.811)ttttttt 解：因为h(t)4.9t24.8t11，所以运动员在时间段t0，t0t（或t0t，t0）的平均速度为所以204.9()9.84.8ttttt 04.99.84.8.tt 000()lim(4.99.84.8)tv ttt 09.84.8.t(1)平均速度：平均速度：(2)瞬时速度：瞬时速度：00()();h tth tvt 0000()()()lim;th tth tv tt 求物体在t0刻的瞬时速度一般步骤：解惑提高平均速度与平均变化率注：注：(1)x可以可以是正值是正值,也可以是负值也可以是负值,但但不为不为0.(2)平均
11、变化率的几何意义 函数函数yf(x)在定义域内，从在定义域内，从x0变化到变化到x0 x的的平均变化率平均变化率等于该函数图象上过两等于该函数图象上过两点点A(x0，f(x0)，B(x0 x，f(x0 x)割线的斜率割线的斜率，如图，如图解惑提高平均速度与平均变化率解惑提高瞬时速度与瞬时变化率定义：定义：函数函数f(x)在在xx0处的瞬时变化率是函数处的瞬时变化率是函数f(x)从从x0到到x0 x的的平均平均变化率在变化率在x0时的极限时的极限，即即 _.小试牛刀小试牛刀42xB4.函数y2x21在x=1瞬时变化率为_4探究新知问题问题2.抛物线的切线的斜率抛物线的切线的斜率 我们我们知道，如
12、果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的这个圆相切，对于一般的曲线曲线C，如何，如何确定它的切线呢确定它的切线呢？探究新知问题问题2.抛物线的切线的斜率抛物线的切线的斜率探究新知问题问题2.抛物线的切线的斜率抛物线的切线的斜率就是就是xx0处的瞬时变化处的瞬时变化率率.典型例题2x-y-2=0课堂小结物体运动的平均速度物体运动的平均速度物体运动的平均速度物体运动的平均速度0000()()()lim;th tth tv tt 函数的平均变化率函数的平均变化率函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率几何意义几何意义割线的斜率割线的斜率几何意义几何意义切线的斜率切线的斜率无限逼近无限逼近无限逼近无限逼近
