1、讲课老师：关老师学习目标理解导数的几何意义；根据导数的几何意义，会求曲线上某点的切线方程；了解导函数的概念；会求导函数；知识回顾处的瞬时变化率是在函数一般地0)(,xxxfy,)()(0000limlimxxfxxfxyxx,)(0处的导数在我们称它为函数xxxfy即或记作,)(00 xxyxf.)()()(00000limlimxxfxxfxyxfxx 由导数的意义可知，求函数 在点x0处的导数的就基本步骤是：)(xfy.lim)()3(;)()()2();()(1000000 xyxfxxfxxfxyxfxxfyx取极限，得导数求平均变化率）求函数值的增量（.)(点处的导数在求Axfxxf
2、xxf)()(00求xxfxxfx)()(lim000求平均变化率 若要求出函数在A点出的导数先要求出函数的平均变化率在取极限 所以如果想知道导数的几何意义就要先了解平均变化率的几何意义是什么。xxfxxfxy)()(00yABABABABABABBBAAkABxfxxfxxfkxyxxyyxxxxxxxfxxfyyyyxByxA的斜率图像上，割线函数就表示所以在几何上，而）两点来说（）（对于)()()()()(,000000ABoxyy=f(x)割割线线切线切线T 请看当点 沿着曲线逐渐向点 接近时,割线 绕着点A逐渐转动的情况.BABA处的切线。在点称为曲线这个确定位置的直线定的位置无限无
3、限趋近于一个确时，割线无限趋近于点沿着曲线如果当点上任取一点切线：如图，在曲线AxfyATABAxfyBBxfy)(,)(,)(y思考：1.曲线的切线是不是和曲线只有一个交点？2.和曲线只有一个交点的，是不是一定和曲线相切？不一定小牛试刀（判断正误）1.直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点；2.过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点。y).()()(lim),()()(0)(,0000.000 xfxxfxxfkkATxfxxxfyxxxfykxAxfyBxykABxATAT即的斜率就是切线处的导数在因此，函数处的导数。在无限趋近于函数时，时，即当无限趋近于点沿着曲线当点的斜率割
4、线这就是导数的几何意义).()()(lim),()(0000.00 xfxxfxxfkkxfxxxfyxATAT即就是该点切线的斜率处的导数在函数简单来说思考：那经过该点的切线方程怎么求？)()(000 xxxfxfy切线方程：点斜式处的切线方程在例：求出曲线2222xxxy1.求出切点2.求导，求出切线的斜率切线方程点斜式小牛试刀的点处的切线方程。在横坐标为求曲线：已知曲线1.3xCxyC题型一导数几何意义与函数图象例1(1)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()分析导数的几何意义是什么？yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，说明y
5、f(x)图象的切线有什么特点？解析因为函数yf(x)的导函数yf(x)在a，b上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间a，b上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合答案A分析解答此类问题的关键是理解导函数的意义 答案2m1f(x0)即为过曲线yf(x)上点P(x0，f(x0)切线的斜率2曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f(x)在xx0附近的升降情况切线的斜率k切线的倾斜角f(x0)0上升k0锐角f(x0)0下降k0钝角f(x0)0平坦k0零角(切线与x轴平行)说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢.3.若f(x)是在区间(a，b)上的增函数，
6、则f(x)的图象是向下凸的，如例题(1)中图A.若f(x)在(a，b)上是减函数，则f(x)的图象是向上凸的，如例题(1)中图B.若f(x)是在区间(a，b)上的常函数，则f(x)图象是一条线段，如例题(1)中图C.题型二求曲线的切线方程例2已知曲线C：yx3.(1)求曲线C在横坐标为x1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点P(1,1)的切线方程利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数yf(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(xx0)(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点
7、(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.题型三求切点坐标例3已知抛物线y2x21.求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f(x)；(3)求切线的斜率f(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标微思考：导函
8、数是什么？似乎就是关于导数的函数。可具体该怎么理解呢处的导数在求简单举一个例子：02,2,1)(,2)(xxxxxfxxfyxxxfxfyx4)(212)1(2)1()1(1222来说对处的导数在求02,2,1)(,2)(xxxxxfxxfyxxxfxfyx4)(212)1(2)1()1(1222来说对424)(22xxxxxy4)1(4)42(limlim000fxxyxxx时，趋近于当还是挺简单的吧！下面计算当x=2时处的导数在求02,2,1)(,2)(xxxxxfxxfyxxxfxfyx4)(212)1(2)1()1(1222来说对424)(22xxxxxy4)1(4)42(limlim
9、000fxxyxxx时，趋近于当xxxfxfyx8)(2)2(2)2(2)2()2(2222来说对828)(22xxxxxy-8)-2(8)8-2(limlim000fxxyxxx时，趋近于当找出在解题步骤中出现的自变量x,你发现了什么？除了自变量x的取值不同，求导的方法步骤，几乎完全一样作差求平均变化率取极限步骤综合起来就像一个大型的求导机器输入一个自变量x=1,产生一个导数值输入另一个变量x=-2,又产生一个导数值因为始终是同一个f(x)所以除了自变量，步骤也全部相同。既然定义域内的每个值都是这么算的，我们每次都重复求导过程的话，就非常的麻烦，不如一开始，就输入一个任意的自变量x0，求出函
10、数在x0处的导数，以后在求某一点的导数，直接给xo赋值就可以了。么？那么你能说出所以)(),100(),1(8)2(,4)1(afffff 想求哪个点的导数，就带哪个点到x0里就可以。对比一下导数的定义和导函数的定义非常相似，不过你发现哪里不同？v区别：在计算某点处的导数值，是给这个点一个增量，x0是一个具体的数，求完的导数值也是一个具体的数。而计算导函数，是给自变量x一个增量，是从一个函数，算到一个新的函数，而不是具体的数。处的函数值。在就是其导函数处的导数在函数联系：000)()()(xxxfxfxxxf 所以在求某一点的导数，就不用一个一个算了，可以直接计算出函数的导函数，然后借助导函数
11、研究每一个点的导数提示：导函数也简称导数，所以如果题目让你计算函数的导数，一般就是计算它的导函数。小牛试刀的值。，并求出求已知函数)5()0()-1().(,1)(2fffxfxxf素养提升导数几何意义的综合应用(1)导数的几何意义是曲线的切线斜率，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点(2)导数几何意义的综合应用题目的解题关键是求函数在某点处的导数，即切线的斜率注意结合相关知识(如函数、方程、不等式等)求解综上，过点P(2,4)的切线方程为xy20或4xy40.答案xy20或4xy40误区警示求曲线的切线方程时，要看清题目是“求曲线在某点处的切线方程”，还是“求曲线过某点的切线方程”前者的切线有且只有一条，而后者有可能有一条或多条如图(1)所示，过点P(点P不在曲线上)的切线有l1，l2两条如图(2)所示，即使点在曲线上，过点Q的切线也有l3，l4两条，其切点分别为Q，C.小结即率处的导数就是切线的斜在,)(.10 xxxf00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切 线即简称导数的导函数是),()()(.2xfxf .)(limlim00 xxfxxfxyyxfxx)()(3.000 xxxfxfy切线方程：
