1、5.2.3 5.2.3 简单复合函数的导数简单复合函数的导数 21 1+.(x)x(Q.(x)x(Q）5xxaalna(a0).()70a a1 1.(l lo og g x x)(x x，a a0 0,且且a a1 1)x xl ln na a 4.(cosx)sinx6.()xxee 0(x)(x)18.(lnx)x3.().()sinxcosx 回顾：一、回顾：一、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式10.C(C.C(C为为常常数数)回顾：二、导数的运算法则回顾：二、导数的运算法则法则法则1 1：两个函数的两个函数的和和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的等于这两个函数的导数的
2、和导数的和(差差)，即即f f(x x)g g(x x)f f(x x)g g(x x)法则法则2 2：两个函数的两个函数的积的导数积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即加上第一个函数乘第二个函数的导数，即f f(x x)g g(x x)f f(x x)g g(x x)f f(x x)g g(x x)法则法则3 3：两个函数的两个函数的商的导数商的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，减，等于第一个函数的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。即去第一个函数乘第二个函数的导数，再除
3、以第二个函数的平方。即20f f(x x)f f(x x)g g(x x)f f(x x)g g(x x)(g g(x x)g g(x x)g g(x x)1.1.怎么求函数怎么求函数y=(2x+3)y=(2x+3)2 2的导数的导数?2.2.怎么求函数怎么求函数y=sin2xy=sin2x的导数的导数?探究：探究：探究：探究：求函数求函数y y(2x(2x3)3)2 2的导数的导数解：解：以以yx表示对表示对x求导求导y(2x3)24x212x9yx(4x2)(12x)(9)8x12y y(2x(2x3)3)2 2可以看成是由可以看成是由y yu u2 2及及u u2x2x3 3复合而成复合
4、而成以以yu表示对表示对u求导求导,以以ux表示对表示对x求导求导因为因为yu(u2)2u,ux2,2u2(2x3)则则yx8x12(4x6)2故故 yxyu ux4x4x6 62u 2 yu ux探究：探究：求函数求函数y ysinsin2x2x的导数的导数解：解：以以yx表示对表示对x求导求导ysin2x2sinxcosxyx(2sinxcosx)2(sinx)cosxsinx(cosx)2(cos2xsin2x)=2cos2xysin2x可以看成是由可以看成是由ysinu及及u2x复合而成复合而成以以yu表示对表示对u求导求导,以以ux表示对表示对x求导求导因为因为yu(sinu)cos
5、u,ux2,cosucos2x则则yx2cos2x2 cosuyu ux故故 yxyu ux 1.1.复合函数的概念复合函数的概念 一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数y yf(u)f(u)和和u ug(x)g(x)，如果通过中间变量，如果通过中间变量u u，y y可以表示成可以表示成x x的函数，那么称这个函数为函数的函数，那么称这个函数为函数y yf(u)f(u)和和u ug(x)g(x)的复合函的复合函数，记作数，记作y yf(g(x)f(g(x)是是不是不是不是不是是是不是不是是是是是不是不是 学以致用：学以致用：1.1.复合函数的概念复合函数的概念 一般地，对于两个函数一般地，对
6、于两个函数y yf(u)f(u)和和u ug(x)g(x)，如果通过中间变量，如果通过中间变量u u，y y可以表示成可以表示成x x的函数，那么称这个函数为函数的函数，那么称这个函数为函数y yf(u)f(u)和和u ug(x)g(x)的复合函的复合函数，记作数，记作y yf(g(x)f(g(x)练习：练习：以下函数是由哪些函数复合而成的？以下函数是由哪些函数复合而成的？（1 1）y yloglog2 2(x(x1)1)（2 2）y y(3x+5)(3x+5)3 3（3 3）y ye e0.05x0.05x1 1(1)y=log(1)y=log2 2u u及及u=x+1u=x+1(2)y=u
7、(2)y=u3 3及及u=3x+5u=3x+5(3)y=e(3)y=eu u及及u=u=0.05x+30.05x+3 2.2.复合函数的求导法则复合函数的求导法则 复合函数复合函数y yf(g(x)f(g(x)的导数和函数的导数和函数y yf(u)f(u)，u ug(x)g(x)的导数间的关的导数间的关系为系为yyx xy yu u u ux x即即y y对对x x的导数等于的导数等于y y对对u u的导数与的导数与u u对对x x的导数的乘积的导数的乘积 1.1.复合函数的概念复合函数的概念 一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数y yf(u)f(u)和和u ug(x)g(x)，如果通过中
8、间变量，如果通过中间变量u u，y y可以表示成可以表示成x x的函数，那么称这个函数为函数的函数，那么称这个函数为函数y yf(u)f(u)和和u ug(x)g(x)的复合函的复合函数，记作数，记作y yf(g(x)f(g(x)思考：思考：如何求函数如何求函数y ylnln(2x(2x1)1)的导数的导数解：解：y yln(2xln(2x1)1)可以看成是由可以看成是由y ylnulnu及及u u2x2x1 1复合而成复合而成以以yu表示对表示对u求导求导,以以ux表示对表示对x求导求导因为因为yu(lnu),ux 2，则则yxyu ux=2=u11211xuu1122x1.1.分解：分解：
9、选定中间变量，选定中间变量，正确分解复合关系正确分解复合关系2.2.求导：按求导：按步骤求导步骤求导先求先求yu，再求，再求ux3.3.回代：回代：计算计算yuux，并把中间变量转化为自变量的函数并把中间变量转化为自变量的函数3 3.复合函数求导的步骤复合函数求导的步骤分解：分解：选定中间变量，正确分解复合关系选定中间变量，正确分解复合关系 求导：求导：按步骤求导按步骤求导(弄清每一弄清每一步步求导是哪个变量对哪个变量求导求导是哪个变量对哪个变量求导)，要，要特别注意中间变量对自变量求导特别注意中间变量对自变量求导,即先求即先求yu，再求，再求ux.回代：回代：计算计算yuux，并把中间变量转
10、化为自变量的函数并把中间变量转化为自变量的函数归纳：归纳：例例1 1：求以下函数的导数求以下函数的导数（1 1）y y(3x+5)(3x+5)3 3;（2 2）y ye e0.05x0.05x1 1解：解：(1)y(3x+5)3可以看作函数可以看作函数yu3及及u3x+5的复合函数的复合函数根据复合函数求导法则，有根据复合函数求导法则，有yxyu ux=(u3)(3x+5)=3u2 3=9(3x+5)2(2)ye0.05x1可以看作函数可以看作函数yeu及及u0.05x1的复合函数的复合函数根据复合函数求导法则，有根据复合函数求导法则，有yxyu ux=(eu)(0.05x1)=0.05eu=
11、0.05e0.05x1例例2 2：某个弹簧某个弹簧震子震子在震动过程中的位移在震动过程中的位移y(y(单位单位:mm):mm)，关于时间，关于时间t t(单位单位:s):s)的函数满足关系式的函数满足关系式 .求函数求函数y y在在t=3st=3s时的导数，并解时的导数，并解释它的实际意义。释它的实际意义。解：函数解：函数 是是y=18sinuy=18sinu与与 的复合函数的复合函数则则当当t=3t=3时，时，它表示当它表示当t=3t=3时，弹簧震子的瞬时速度为时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s0mm/s)232sin(18ty)232sin(18ty)232cos(1232cos18)23
12、2()sin18(tutuy232tu0)23cos(12y小结：小结：1.1.复合函数的概念复合函数的概念一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数yf(u)和和ug(x)，如果通过中间变量，如果通过中间变量u，y可以表可以表示成示成x的函数，那么称这个函数为函数的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和和ug(x)的复合函数，的复合函数，记作记作yf(g(x)2.2.复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数复合函数yf(g(x)的导数和函数的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系的导数间的关系为为yxyuux即即y对对x的导数等于的导数等于y对对u的导数与的导数与u对对x的导数的乘积的导数的乘积3.3.复合函数求导的步骤：分解复合函数求导的步骤：分解求导求导回代回代 学以致用：学以致用：学以致用：学以致用：
