1、 5.3.2.2 5.3.2.2 函数的最大（小）值函数的最大（小）值 2.2.函数的最大（小）值函数的最大（小）值 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？关系如何？极值是一个极值是一个局部局部概念，极值只是某个点的函数值与它
2、概念，极值只是某个点的函数值与它附近点附近点的函数值比较是最大或最小的函数值比较是最大或最小,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义着它在函数的整个的定义域内最大或最小。域内最大或最小。问题导学：问题导学：xy()yf xo6x5x4x2x1xah3x在开区间内的连续函数不一定有最大在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值值与最小值.在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值xy()yf xo6x5x4x2x1xah3x 求函数的最值时，应注意以下几点：求函数的最值时，应注意以下几点：(1)(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值
3、函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.(2)(2)闭区间闭区间aa，bb上的连续函数一定有最值，开区间上的连续函数一定有最值，开区间(a(a，b)b)内的可导内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(3)(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值极值则可能不
4、止一个，也可能没有极值（如常函数），（如常函数），并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值).).函数在闭区间函数在闭区间aa，bb上的最值：上的最值：1.1.如果函数在区间如果函数在区间aa，bb上的图象是一条连续不断的曲线，上的图象是一条连续不断的曲线，那么函数必有最大值和最小值那么函数必有最大值和最小值2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.3.3.函数的最值通常在极值点或区间端点处取得函数的最值通常在极值点或区间端点处取得4.4.只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求
5、出函数的最大值与最小值。求出函数的最大值与最小值。一般地，利用导数求函数一般地，利用导数求函数y=f(x)y=f(x)在在aa，bb上的最大值与最上的最大值与最小值的步骤如下：小值的步骤如下：(2)(2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与端点处函数值的各极值与端点处函数值f(a)f(a)、f(b)f(b)比较比较,其中其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a(a，b)b)内的极值内的极值(极大值或极小值极大值或极小值)3 31 1求求 函函 数数 f f(x x)=x x-4 4 x x+4 4 在在
6、 0 0，3 3 上上 的的3 3 最最 大大 值值 与与例例 1 1：最最 小小 值值。322f(x)2x6xa2 2371a2f(x)2 2例例：已已知知函函数数在在，上上有有最最小小值值求求实实数数 的的值值；求求在在，上上的的最最大大值值。反思：本题属于逆向探究题型：反思：本题属于逆向探究题型：其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。21()612fxxx解:(）()002fxxx令解得或(240,fa 又）40373aa 由已知得解得(2)(1)()2,2fx由
7、知在的 最 大 值 为 3.(0),fa(2)8fa 1.1.求下列函数在给定区间上的最求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：大值与最小值：解解：(1)因为()121,0,2fxxx=-1210，1211212骣桫，4924-xf(x)0f(x)+单调递减单调递增又因为f(0)=-2,f(2)=20所以,当x=2时，函数f(x)在0,3上取得最大值20，当x=时，函数f(x)在0,3上取得最小值 .1214924-令 解得 .()0,fx=112x=231(1)()62,0,2;(2)()612,3.3f xxxxf xxxx=-=+-请看课本请看课本P94P94：练习：练习1 11.1.求
8、下列函数在给定区间上的最求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：大值与最小值：231(1)()62,0,2;(2)()612,3.3f xxxxf xxxx=-=+-x2(2,3)f(x)0f(x)22+单调递减单调递增231-，解:(2)因为21()123,33fxxx=-又因为155()(3)15327ff-=，所以,当x=2时，函数f(x)在 上取得最大值20，当x=时，函数f(x)在 上取得最小值 .1,33-1,33-13-2755令 解得 .()0,fx=122()2xx=-=舍，请看课本请看课本P94P94：练习：练习1 1x1lnxx(0+2 2.证证明明不不等等式式：，）所以
9、当所以当x=1x=1时，时，f(x)f(x)取得最小值取得最小值.xf(x),f(x)当当 变变化化时时，的的变变化化情情况况如如下下表表所所示示:x(0,1)1(1,+)f(x)0f(x)+单调递减单调递减单调递增单调递增0所以所以f(x)f(1)=0f(x)f(1)=0，即，即x xlnxlnx1010解：解：将不等式将不等式 x x1lnx1lnx转化为转化为x xlnxlnx1010令令 ,解得解得()0fx1x 故当故当x0 x0时，时，lnxxlnxx1 1.xyOy=x-1y=lnx除点除点(1(1，0)0)外，曲线外，曲线C C1 1：y=x-1y=x-1在在y y轴右侧的部分
10、位于曲线轴右侧的部分位于曲线C C2 2：y=lnxy=lnx的上方的上方.设设f(x)=xlnx1,那么那么f(x)=11x 请看课本请看课本P94P94：练习：练习2 2 x(,2)2(2,+)f(x)0f(x)+单调递减单调递增21e-因为f(x)=(x+1)ex+(x+1)(ex)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex f(x)=(x+1)exxyO11-1-2-1（1 1）求出函数）求出函数f(f(x)x)的的定义域定义域；（2 2）求导数）求导数f(f(x)x)及函数及函数f(f(x)x)的零点的零点；（3 3）用零点将）用零点将f(f(x)x)定义域为若干个区间，定义域为若干个区
11、间，列表列表给出给出f(f(x)x)在各个区在各个区间上的正负，并得出间上的正负，并得出f(f(x)x)单调性与极值单调性与极值；（4 4）确定）确定f(f(x)x)图象经过的一些图象经过的一些特殊点特殊点，以及图象的，以及图象的变化趋势变化趋势；（5 5）画出）画出f(f(x)x)的的大致图象大致图象.方法归纳：方法归纳：通常可以按如下步骤画出函数通常可以按如下步骤画出函数f(f(x)x)的大致图象的大致图象:2.求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤：（1）f(x)在在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将）将f(x)的各的各导数值为
12、零的点的函数值与导数值为零的点的函数值与f(a),f(b)比较，其中比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值最大的一个是最大值，最小的一个是最小值课堂小结：课堂小结：1.求最大（小）值的方法 只要把函数只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值就可以求出函数的最大值和最小值.3.解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案优化问题优化问题4、函数、函数y=x3-3x2，在，在2，4上的最大值为（上的最大值为（)(A)-4 (B)0 (C)16 (D)20C C 学以致用：学以致用：
