1、南安三中2023届高二年上学期末数学复习卷（1）（总分：150分 时间：120分钟） 班级： 姓名： 座号： 成绩：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，3. 已知双曲线，则（ ）A. 双曲线C的焦距为B. 双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍C. 双曲线与双曲线C的渐近线相同D. 直线与双曲线C有公共点4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 5. 中国古代数学著作
2、算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）.A. 24里B. 12里C. 6里.D. 3里6. 已知四棱锥中，则点到底面的距离为（ ）A. B. C. D. 7. 已知数列中，则等于（ ）A. B. C. D. 28. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（ ）A. 4B. 2C. 2D. 3二
3、、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 点在圆上，点在圆上，则（ ）A. 的最小值为 B. 的最大值为C. 两个圆心所在直线的斜率为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为10. 某地2020年12月20日至2021年1月23日的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如下图所示若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列，的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）A. 数列是递增数列 B. 数列不是递增数列 C. 数列的最大项为 D. 数列的最大项为11. 已知数列为等差数列，其前项和为，且
4、，则以下结论正确的有（ ）A. B. 最小C. D. 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：(a0，b0)的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）A. 双曲线C的渐近线方程为y=2xB. 双曲线C的方程为C. 为定值D. 存在点P，使得+=2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 设直线，直线.当_ _时，14. 已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_ _15. 以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知则的焦点到准线的距离为_ _
5、.16. 在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢”问：良马与驽马_ _日相逢？(用数字作答)四解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知等差数列中，.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）求数列前项和.18. 已知圆的圆心在直线上，且过点（1）求圆的方程；（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.19. 在,，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：已知等差数列
6、的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，_，是否存在正整数k，使得数列的前k项和？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20. 如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值 21. “绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠（其余为绿洲），从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，
7、同时原有绿洲的 被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；（2）判断是否是等比数列，并说明理由；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？22. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程.（2）设动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点.在轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，求点的坐标.若不存在，请说明理由.南安三中2023届高二年上学期末数学复习卷（1）答案1.【详解】因为，所以，故准线方程为故选：D2. 【详解】对于选项A：，故选项A不正确；对于选项B：，故选项B不正确；对于选项C：，所以，所以，故选项C 正确；对于选
8、项D：，故选项D不正确；故选：C3. 【详解】对A，由双曲线方程可得，则焦距为，故A错误；对B，由双曲线方程可得，故实轴长为2，虚轴长为，故虚轴长是实轴长的倍，故B错误.对C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，故C正确；对D，将代入双曲线方程可得，方程无解，故没有公共点，故D错误. 故选：C.4. 【详解】因为点到直线的距离是 所以圆的半径为，则圆的方程为： 故选：B5. 【答案】C6. 【详解】设是平面的一个法向量，则由题设，即令，可得， ，所以 ， ，故点到平面的距离为 故选：D7. 【详解】因为，所以所以，所以是周期为的周期数列，所以，故选：C.8. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线
9、的实半轴长为，不妨设在第一象限，根据椭圆和双曲线定义，得，由可得，又，在中，即，化简得，两边同除以，得. 故选：A.9.【详解】由已知圆心，半径为，圆标准方程为，圆心，半径为，则，故A错；，故B正确； 因为，故C正确；因为两圆的圆心距离，所以两个圆是相离的位置状态，故D不正确故选：BC10. 【答案】BC11. 【详解】解：因为数列an为等差数列，设其等差为d，由于，即，即，故A正确；当d0时，Sn没有最小值，故B错误；因为，所以，故C正确；，故D正确 故选：ACD12. 【详解】因为双曲线C：(a0，b0)的离心率为，所以，渐近线方程为，故A错误；又，则，所以双曲线方程为，故B正确；因为，设
10、，则，故C正确；，因为点P在第一象限，渐近线方程为，所以，则 ，所以，所以存在点P，使得+=2，故正确； 故选：BCD13.【详解】因为两直线垂直，所以，解得. 故答案为：.14.【详解】由，所以，解得 若与反向，则 则，所以 所以与的夹角为钝角则且 综上的范围是15.【详解】设抛物线方程为，画出图形如下图所示由,及圆的性质可得,，设点A的坐标为，则，即，又，解得，抛物线的焦点到准线的距离为. 故答案为416.【详解】由题可知，良马每日行程an构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程bn构成一个首项为97，公差为0.5的等差数列，则an103+13（n1）13n+90，bn970
11、.5（n1）97.50.5n， 则数列an与数列bn的前n项和为112522250，又数列an的前n项和为（103+13n+90）（193+13n），数列bn的前n项和为（97+97.50.5n）（194.5n），（193+13n）（194.5n）2250，整理得：25n2+775n90000，即n2+31n3600，解得：n9或n40（舍），即九日相逢故答案为：917.【答案】（1）证明见解析 （2）18. 【详解】（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为 过点， 解得 所求圆的方程为（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为2，满足
12、条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为 故由点到直线的距离公式得： 解得，所以直线l的方程为 综上所述，则直线l的方程为或19. 【详解】设等比数列的公比为，由所以，则，解得或（舍）则，所以 则若选 由，则 所以， 则 所以则 由，则，由为正整数，则 最小值为4.若选 由，即 ，可得 所以，一下同选.若选 由，可得，即 所以 所以所以，即，也即 解得，由，又为正整数，则 的最小值为3.20. 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且连结 因为，所以为等腰直角三角形，且 由知由知平面（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 由
13、已知得 取平面法向量设，则设平面的法向量为由得 ，可取 所以 由已知得 所以 解得(舍去)， 所以 又 ，所以 所以与平面所成角的正弦值为21. 【详解】（1）由题意得， 所以；（2）由（1）得， 所以是等比数列.（3）由（2）有，又，所以，即；，即，两边取常用对数得：，所以， 至少经过6年，绿洲面积可超过60%22. 【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，则椭圆的方程为，将代入方程，解得， 椭圆的方程为；（2）假设在轴上存在点满足题意，设，.当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，由消去，整理得，又， 整理得上式对任意值恒成立， ，解得；当直线的斜率不存在时， 整理得，解得或.综上所述，在
14、轴上存在定点，使得恒成立.南安三中2023届高二年上学期末数学复习卷（1）答案（总分：150分 时间：120分钟） 班级： 姓名： 座号： 成绩：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【详解】因为，所以，故准线方程为故选：D2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【详解】对于选项A：，故选项A不正确；对于选项B：，故选项B不正确；对于选项C：，所以，所以，故选项C 正确；对于选项D：，故选项D不正确；故选：C3. 已知双曲线，则（
15、 ）A. 双曲线C的焦距为B. 双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍C. 双曲线与双曲线C的渐近线相同D. 直线与双曲线C有公共点【详解】对A，由双曲线方程可得，则焦距为，故A错误；对B，由双曲线方程可得，故实轴长为2，虚轴长为，故虚轴长是实轴长的倍，故B错误.对C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，故C正确；对D，将代入双曲线方程可得，方程无解，故没有公共点，故D错误. 故选：C.4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【详解】因为点到直线的距离是 所以圆的半径为，则圆的方程为： 故选：B5. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不
16、为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）.A. 24里B. 12里C. 6里.D. 3里【答案】C6. 已知四棱锥中，则点到底面的距离为（ ）A. B. C. D. 【详解】设是平面的一个法向量，则由题设，即令，可得， ，所以 ， ，故点到平面的距离为 故选：D7. 已知数列中，则等于（ ）A. B. C. D. 2【详解】因为，所以所以，所以是周期为的周期数列，所以，故选：C.8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别
17、是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（ ）A. 4B. 2C. 2D. 3【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设在第一象限，根据椭圆和双曲线定义，得，由可得，又，在中，即，化简得，两边同除以，得. 故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 点在圆上，点在圆上，则（ ）A. 的最小值为 B. 的最大值为C. 两个圆心所在直线的斜率为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为【详解】由已知圆心，半径为，圆标准方程为，圆心，半径为，则，
18、故A错；，故B正确； 因为，故C正确；因为两圆的圆心距离，所以两个圆是相离的位置状态，故D不正确故选：BC10. 某地2020年12月20日至2021年1月23日的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如下图所示若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列，的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）A. 数列是递增数列B. 数列不是递增数列C. 数列的最大项为D. 数列的最大项为【答案】BC11. 已知数列为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的有（ ）A. B. 最小C. D. 【详解】解：因为数列an为等差数列，设其等差为d，由于，即，即，故A正确；当d0时，Sn没有最小值，故B错误
19、；因为，所以，故C正确；，故D正确 故选：ACD12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：(a0，b0)的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）A. 双曲线C的渐近线方程为y=2xB. 双曲线C的方程为C. 为定值D. 存在点P，使得+=2【详解】因为双曲线C：(a0，b0)的离心率为，所以，渐近线方程为，故A错误；又，则，所以双曲线方程为，故B正确；因为，设，则，故C正确；，因为点P在第一象限，渐近线方程为，所以，则 ，所以，所以存在点P，使得+=2，故正确；
20、 故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 设直线，直线.当_时，【详解】因为两直线垂直，所以，解得. 故答案为：.14. 已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_【详解】由，所以，解得 若与反向，则 则，所以 所以与的夹角为钝角则且 综上的范围是15. 以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知,则的焦点到准线的距离为_.【详解】设抛物线方程为，画出图形如下图所示由,及圆的性质可得,，设点A的坐标为，则，即，又，解得，抛物线的焦点到准线的距离为. 故答案为416. 在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十
21、五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢”问：良马与驽马_日相逢？(用数字作答)【详解】由题可知，良马每日行程an构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程bn构成一个首项为97，公差为0.5的等差数列，则an103+13（n1）13n+90，bn970.5（n1）97.50.5n， 则数列an与数列bn的前n项和为112522250，又数列an的前n项和为（103+13n+90）（193+13n），数列bn的前n项和为（97+97.50.5n）（194.5n），（193+13n）（194.5n）2250，整理得：25n
22、2+775n90000，即n2+31n3600，解得：n9或n40（舍），即九日相逢故答案为：9四解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知等差数列中，.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）求数列前项和.【答案】（1）证明见解析 （2）18. 已知圆的圆心在直线上，且过点（1）求圆的方程；（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.【详解】（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为 过点， 解得 所求圆的方程为（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；当直线的
23、斜率存在时，设直线的方程为，由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为 故由点到直线的距离公式得： 解得，所以直线l的方程为 综上所述，则直线l的方程为或19. 在,，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：已知等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，_，是否存在正整数k，使得数列的前k项和？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【详解】设等比数列的公比为，由所以，则，解得或（舍）则，所以 则若选 由，则 所以， 则 所以则 由，则，由为正整数，则 最小值为4.若选 由，即 ，可得 所以，一下同选.若选 由，可得，即 所
24、以 所以所以，即，也即 解得，由，又为正整数，则 的最小值为3.20. 如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且连结 因为，所以为等腰直角三角形，且 由知由知平面（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 由已知得 取平面法向量设，则设平面的法向量为由得 ，可取 所以 由已知得 所以 解得(舍去)， 所以 又 ，所以 所以与平面所成角的正弦值为21. “绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18
25、日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠（其余为绿洲），从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的 被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；（2）判断是否是等比数列，并说明理由；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？【详解】（1）由题意得， 所以；（2）由（1）得， 所以是等比数列.（3）由（2）有，又，所以，即；，即，两边取常用对数得：，所以， 至少经过6年，绿洲面积可超过60%22. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程.（2）设动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点.在轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，求点的坐标.若不存在，请说明理由.【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，则椭圆的方程为，将代入方程，解得， 椭圆的方程为；（2）假设在轴上存在点满足题意，设，.当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，由消去，整理得，又， 整理得上式对任意值恒成立， ，解得；当直线的斜率不存在时， 整理得，解得或.综上所述，在轴上存在定点，使得恒成立.
