1、5.3导数的运算导数的运算5.3.1函数的单调性函数的单调性学习目标学习目标新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.结合实例，借助几何直观了解函数结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系的单调性与导数的关系.数学抽象、直观想象数学抽象、直观想象2.能利用导数研究函数的单调性能利用导数研究函数的单调性.逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算3.对于多项式函数，能求不超过三次对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间的多项式函数的单调区间.数学运算数学运算我们所学过的数学知识中刻画函数变化趋势（上升或下降的陡峭程度）的有哪些？单调性导数探究新知 运动员从起跳到最高点，及从
2、最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？探究1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h(t)=-9.8t+4.8的图象.a=,b是函数h(t)的零点.2449探究新知观察图象可以发现：(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h(t)0.(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(
3、t)=h(t)0在区间(a,b)上，h(t)0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)上单调递增；当t(a,b)时，h(t)0在(-,0)上，f(x)单调递减在(-,0)上，f (x)0探究新知在(-,0)上，f(x)单调递增在(-,0)上，f (x)0 xyOf (x)3x2在(0,+)上，f(x)单调递增在(0,+)上，f (x)0 xyOf(x)x3(3)探究新知在(-,0)上，f(x)单调递减在(-,0)上，f (x)0在(0,+)上，f(x)单调递减在(0,+)上，f (x)0f(x)在x0附近切线切线“左下右上左下右上”导数导数f(x0)在区间上，在区间上，f(x
4、)0函数函数y=f(x)的图象在点的图象在点(x0,f(x0)处切线的斜率处切线的斜率在在x=x0处处f(x0)0函数函数y=f(x)的图象上升，的图象上升，在在x=x0附近附近单调递增单调递增切线切线“左下左下右上右上”上升上升在区间上，在区间上，f(x)单调递单调递增增问题2：能否由h(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？探究新知问题2：能否由h(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？探究新知f(x1)0f(x)在x1附近切线切线“左上右下左上右下”导数f(x1)在区间上，f(x)0函数y=f(x)的图象在点(x1,f(x1)处切线的斜率在x=x1处f(x1)0f(x)0,那么函数那
5、么函数y=f(x)在在区间区间(a,b)上单调递上单调递增增;在某个区间在某个区间(a,b)上，如果上，如果f(x)0.所以，函数所以，函数f(x)=x3+3x在在R上单调递增，如图所示上单调递增，如图所示.解：解：(2)因为因为f(x)=sinx-x,x(0,),所以所以f(x)=cosx-10.所以，函数所以，函数f(x)=sinx-x在在(0,)上单调递减，如图所示上单调递减，如图所示.例题精讲例题精讲例2已知导函数f(x)的下列信息：当1x0;当x4时,f(x)0;当x=1,或x=4时,f(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.解：当解：当1x0,可知可知f(x)在区间在区间(1
6、,4)上单调递增；上单调递增；当当x4时，时，f(x)0,可知可知f(x)在区间在区间(-,1)和和(4,+)上都单调递减；上都单调递减；当当x=1,或或x=4时，时，f(x)=0,这两点比较特殊，我们称它们为这两点比较特殊，我们称它们为“临界点临界点”.综上，函数综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示图象的大致形状如图所示.思考思考:请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数考在某个区间上单调的函数y=f(x)的平均变化率的的平均变化率的几何意义与几何意义与f(x)的正负的关系的正负的关系.反馈练习1.判断下列函数的单调性：(1)f
7、(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.解:(1)因为f(x)=x2-2x+4是二次函数，其定义域为R.所以其对称轴方程为x=1，又因为f(x)的图象开口向上，所以，函数f(x)=x2-2x+4在(-,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增.解:(2)因为f(x)=ex-x，其定义域为R.所以f(x)=ex-1.令f(x)=0，得x=0所以当x(-,0)时，f(x)0.所以，函数f(x)=ex-x在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增.反馈练习2.函数y=f(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状.解：由图可知，当x(0,a)时，函数f(x)的图象没有升降，所以f(x)=0当x(a,b)时，函数f(x)的图象是下降的，所以f(x)0,那么函数那么函数y=f(x)在在区间区间(a,b)上单调递上单调递增增;在某个区间在某个区间(a,b)上，如果上，如果f(x)0,那么函数那么函数y=f(x)在在区间区间(a,b)上单调递减上单调递减;如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)(xf)(xfThank You!
