5-4 导数在研究函数极值中的运用（教师版+学生版）-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.rar

【章节 5-4】：导数在研究函数极值中的运用函数的极值点与极值1.极小值点与极小值：若函数 yf x在点xa的函数值 f a比它在点xa附近其他点的函数值都小，0fa，而且在点xa附近的左侧 0fx，右侧 0fx，就把点a叫做函数 yf x的极小值点，f a叫做函数 yf x的极小值2.极大值点与极大值：若函数 yf x在点xb的函数值 f b比它在点xb附近其他点的函数值都大，0fb，而且在点xb附近的左侧 0fx，右侧 0fx，就把点b叫做函数 yf x的极大值点，f b叫做函数 yf x的极大值3.极值点与极值：极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值：注意1对极值概念的理解函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能不存在，并且极大值与极小值之间无确定的大小关系2极值与极值点辨析函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点 函数的极值与导数01【例1】已知 yf x的图象如下图所示，填写表格：x,a bb,b cc,c dd,d ee,e f fx f x函数极值的求法解方程 0fx，当00fx时：如果在0 x附近的左侧 0fx，右侧 0fx，那么0f x是极大值如果在0 x附近的左侧 0fx，右侧 0fx，那么0f x是极小值：导数与极值的关系1.根据极值的定义可知，对于一个可导函数，如果函数 yf x在0 x处取得极值，则它在该极值点0 x处的导数值等于0，但导数值为0的点不一定是函数的极值点例如，函数 3f xx可导，且在0 x 处满足 00f，但由于当0 x 和0 x 时均有 0fx，所以0 x 不是函数 3f xx的极值点2.函数 yf x在点0 x取得极值的充要条件是00fx，且 fx在0 x左、右两侧的符号不同【例2】求函数 312f xxx的极值.利用导数求已知函数的极值、极值点02【例3】求函数32221xyx的极值和极值点.【演练题组1】1.求函数 32395f xxxx的极值.2.求函数 ln xf xx的极值点和极值.【例4】已知 320f xaxbxcx a在1x 处取得极值，且 11f.（1）试求常数,a b c的值；（2）试判断1x 是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由【例5】已知1x 时，函数 3f xaxbx有极值2.（1）求实数,a b的值；（2）若方程 f xk有3个实数根，求实数k的取值范围.由函数的极值、极值点求参数03【例6】已知 3261f xxaxax有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A.12a B.32a C.1a 或2a D.3a 或6a【演练题组2】1.已知函数 322f xxbxcx的导函数的图象关于直线2x 对称（1）求b的值；（2）若函数 f x无极值，求c的取值范围2.已知函数 32f xxaxbxc,当1x 时取得极大值7，当3x 时取得极小值；（1）求,a b的值；（2）求 f x的极小值.3.已知函数 32f xxxx在,2a a上存在极小值，则实数a的取值范围为_4.若函数 22313,0ln,0 xmxxf xmxxxx恰有三个极值点，则m的取值范围是（）A.11,23B.1,02C.11,3 D.11,2【例7】设函数 f x在R上可导，其导函数为 fx，且函数 1yx fx的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数 f x有极大值 2f和极小值 1fB函数 f x有极大值2f 和极小值 1fC函数 f x有极大值 2f和极小值2f 函数、导函数图象与极值的关系04D函数 f x有极大值2f 和极小值 2f【演练题组3】1.已知函数 f x的定义域为,a b，导函数 fx在,a b上的图象如图所示，则函数 f x在,a b上的极大值点的个数为（）A1 B2 C3 D42.函数 321122132f xaxaxaxa的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（）A.316a B.63516a C.65a D.63516a【例8】已知函数 2223xf xxaxaa e，其中23a，求 f x的极值 求含参函数的极值、极值点05【演练题组4】设函数 322113f xxxmx（xR），其中0m.（1）当1m 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜率；（2）求函数 f x的单调区间与极值1已知函数22yx x，则()A.y有极小值但无极大值B.y有极小值0，但无极大值C.y有极小值0，极大值3227D.y有极大值14，但无极小值2函数 f x的定义域为R，导函数 fx的图象如下图所示，则函数 f x（）A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点3若函数 21ln2f xxaxx有极值，则a的取值范围是（）A.2,B.2,C.0,2D.,22,随堂训练064函数3395yxx的极大值为_5若函数 33f xxxa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_6已知函数 xf xeax在1x 处取得极小值，则实数a _.7（重庆高考）已知函数 32f xaxxaR在43x 处取得极值（1）确定a的值；（2）若 xg xf x e，讨论 g x的单调性一、选择题1(陕西高考)设函数 2lnf xxx，则（）A.12x 为 f x的极大值点B.12x 为 f x的极小值点C.2x 为 f x的极大值点D.2x 为 f x的极小值点2函数 3211yf xx在1x 处（）A有极大值 B有极小值 C无极值 D无法判断极值情况3已知函数 32f xxpxqx的图象与x轴切于点1,0，则 f x的（）A极大值为427，极小值为 0 B极大值为 0，极小值为427C极小值为427，极大值为 0 D极大值为427，极小值为 04若函数 223f xxbxa在区间0,1内有极小值，则实数b的取值范围是（）课后练习07A1b B1b C01b D12b 5设函数 1ln3f xxx（0 x），则 yf x（）A在区间1,1e，1,e内均有零点B在区间1,1e，1,e内均无零点C在区间1,1e内有零点，在区间1,e内无零点D在区间1,1e内无零点，在区间1,e内有零点二、填空题6若函数 21xaf xx在1x 处取得极值，则a _.7已知函数 33f xxaxb的单调递减区间是1,1，其极小值为2，则 f x的极大值是_.8函数 323321f xxaxax既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_9已知函数 495f xxx，则 f x的图象在1,3内与x轴的交点的个数为_三、解答题10(安徽高考)已知函数 2axf xxr（0,0ar）（1）求 f x的定义域，并讨论 f x的单调性；（2）若400ar，求 f x在0,内的极值11已知函数 331f xxax，0a.（1）求 f x的单调区间；（2）若 f x在1x 处取得极值，直线ym与 yf x的图象有三个不同的交点，求m的取值范围【章节 5-4】：导数在研究函数极值中的运用函数的极值点与极值1.极小值点与极小值：若函数 yf x在点xa的函数值 f a比它在点xa附近其他点的函数值都小，0fa，而且在点xa附近的左侧 0fx，右侧 0fx，就把点a叫做函数 yf x的极小值点，f a叫做函数 yf x的极小值2.极大值点与极大值：若函数 yf x在点xb的函数值 f b比它在点xb附近其他点的函数值都大，0fb，而且在点xb附近的左侧 0fx，右侧 0fx，就把点b叫做函数 yf x的极大值点，f b叫做函数 yf x的极大值3.极值点与极值：极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值：注意1对极值概念的理解函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能不存在，并且极大值与极小值之间无确定的大小关系2极值与极值点辨析函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点 函数的极值与导数01【例1】已知 yf x的图象如下图所示，填写表格：x,a bb,b cc,c dd,d ee,e f fx f x函数极值的求法解方程 0fx，当00fx时：如果在0 x附近的左侧 0fx，右侧 0fx，那么0f x是极大值如果在0 x附近的左侧 0fx，右侧 0fx，那么0f x是极小值：导数与极值的关系1.根据极值的定义可知，对于一个可导函数，如果函数 yf x在0 x处取得极值，则它在该极值点0 x处的导数值等于0，但导数值为0的点不一定是函数的极值点例如，函数 3f xx可导，且在0 x 处满足 00f，但由于当0 x 和0 x 时均有 0fx，所以0 x 不是函数 3f xx的极值点2.函数 yf x在点0 x取得极值的充要条件是00fx，且 fx在0 x左、右两侧的符号不同【例2】求函数 312f xxx的极值.利用导数求已知函数的极值、极值点02【解析】函数的定义域为 R，f(x)3x2123(x2)(x2)，令f(x)0，得 x2 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)1616从表中可以看出，当 x2 时，函数有极大值，且 f(2)16.当 x2 时，函数有极小值，且 f(2)16.【例3】求函数32221xyx的极值和极值点.【解析】函数的定义域为(，1)(1，)，且 yx22x12x13.令 y0，得 x11，x22，当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)(1,2)2(2，)y00y383函数有极大值点1x ，极大值为38y ，没有极小值和极小值点.【演练题组1】1.求函数 32395f xxxx的极值.解：函数 f(x)x33x29x5 的定义域为 R，且 f(x)3x26x9.令 f(x)0，得 x11，x23.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)1022由表可知，x1 是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(1)10；x3 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(3)22.2.求函数 ln xf xx的极值点和极值.【解析】函数 yln xx的定义域为(0，)，y1ln xx2.令 y0，即1ln xx20，得 xe.当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)y0y1e由表可知，函数 f x有极大值点xe，函数的极大值是1e，没有极小值点和极小值.【例4】已知 320f xaxbxcx a在1x 处取得极值，且 11f.（1）试求常数,a b c的值；（2）试判断1x 是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由解f(x)3ax22bxc.(1)法一：x1 是函数的极值点，x1 是方程 3ax22bxc0 的两根由根与系数的关系知Error!Error!又 f(1)1，abc1.由解得 a12，b0，c32.法二：由 f(1)f(1)0，得 3a2bc0，3a2bc0.又 f(1)1，abc1.由解得 a12，b0，c32.(2)f(x)12x332x，f(x)32x23232(x1)(x1)由函数的极值、极值点求参数03当 x1 或 x1 时，f(x)0；当1x1 时，f(x)0.函数 f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数因此当 x1 时函数取得极大值，x1 为极大值点；当 x1 时函数取得极小值，x1 为极小值点【例5】已知1x 时，函数 3f xaxbx有极值2.（1）求实数,a b的值；（2）若方程 f xk有3个实数根，求实数k的取值范围.【答案】（1）1,3ab；（2）2,2.【解析】（1）因为，所以f（x）3ax2+b又因为当x1 时，f（x）的极值为-2，所以，解得1,3ab（2）由（1）可得，f（x）3x2-33（x+1）（x1），令f（x）0，得x1，当x1 或x1 时f（x）0，f(x)单调递增，当1x1 时，f（x）0，f(x)单调递减；所以当x1 时f（x）取得极大值，f（1），当x1 时f（x）取得极小值，f（1），大致图像如右 图：要使方程f（x）k有 3 个解，只需k故实数k的取值范围为2,2【例6】已知 3261f xxaxax有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A.12a B.32a C.1a 或2a D.3a 或6a【答案】D【解析】函数 f（x）x3+ax2+（a+6）x+1，所以 f（x）3x2+2ax+（a+6），因为函数有极大值和极小值，所以方程 f（x）0 有两个不相等的实数根，即 3x2+2ax+（a+6）0 有两个不相等的实数根，0，（2a）243（a+6）0，解得：a3 或 a6【演练题组2】1.已知函数 322f xxbxcx的导函数的图象关于直线2x 对称（1）求b的值；（2）若函数 f x无极值，求c的取值范围解：(1)f(x)3x22bx2c，因为函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称，所以2b62，即 b6.(2)由(1)知，f(x)x36x22cx，f(x)3x212x2c3(x2)22c12，所以当 c6 时，f(x)0，此时函数 f(x)无极值，即 c 的取值范围为6，)2.已知函数 32f xxaxbxc,当1x 时取得极大值7，当3x 时取得极小值；（1）求,a b的值；（2）求 f x的极小值.【答案】（1）3,9ab ；（2）25.【解析】(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b 当 x=-1 时函数取得极大值 7，当 x=3 时取得极小值x=-1 和 x=3 是方程f(x)=0 的两根，有，f(x)=x3-3x2-9x+c.(2)当 x=-1时，函数取极大值 7，(-1)33(-1)29(-1)+c=7,c=2.此时函数f(x)的极小值为：f（3）=33-332-932=-25.3.已知函数 32f xxxx在,2a a上存在极小值，则实数a的取值范围为_【答案】5 1,3 3【解析】由函数得令，解得，且，为的极小值点函数在区间上存在极小值 即4.若函数 22313,0ln,0 xmxxf xmxxxx恰有三个极值点，则m的取值范围是（）A.11,23B.1,02C.11,3 D.11,2【答案】A【解析】由题可知，当时，令，可化 为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，即时，有 两 个 不 同 的 解；当，令，解 得，综 上，.【例7】设函数 f x在R上可导，其导函数为 fx，且函数 1yx fx的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数 f x有极大值 2f和极小值 1fB函数 f x有极大值2f 和极小值 1fC函数 f x有极大值 2f和极小值2f D函数 f x有极大值2f 和极小值 2f解析：选 D由图可知，当 x2 时，f(x)0；当2x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值【演练题组3】1.已知函数 f x的定义域为,a b，导函数 fx在,a b上的图象如图所示，则函数 f x在,a b上的极大值点的个数为（）A1 B2C3 D4解析：选 B由函数极值的定义和导函数的图象可知，f(x)在(a，b)上与 x 轴的交点个数为 4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故 x0 不是函数 f(x)的极值点，其余的 3 个交点都是极值点，其中有 2 个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有 2 个 函数、导函数图象与极值的关系042.函数 321122132f xaxaxaxa的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（）A.316a B.63516a C.65a D.63516a【例8】已知函数 2223xf xxaxaa e，其中23a，求 f x的极值解题流程 求含参函数的极值、极值点05所以函数 f(x)在 xa2 处取得极大值 f(a2)，且 f(a2)(43a)ea2.(11 分)函数 f(x)在 x2a 处取得极小值 f(2a)，且 f(2a)3ae2a.(12 分)【演练题组4】设函数 322113f xxxmx（xR），其中0m.（1）当1m 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜率；（2）求函数 f x的单调区间与极值解：(1)当 m1 时，f(x)13x3x2，f(x)x22x，故 f(1)1，所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 1.(2)f(x)x22xm21，令 f(x)0，解得 x1m 或 x1m.因为 m0，所以 1m1m.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m，1m)1m(1m，)f(x)00f(x)f(1m)f(1m)所以函数 f(x)的单调递减区间为(，1m)，(1m，)，递增区间为(1m,1m)函数 f(x)在 x1m 处取得极小值 f(1m)，且 f(1m)23m3m213.函数 f(x)在 x1m 处取得极大值 f(1m)，且 f(1m)23m3m213.1已知函数22yx x，则()A.y有极小值但无极大值B.y有极小值0，但无极大值C.y有极小值0，极大值3227D.y有极大值14，但无极小值解析：选 Cy(x2)2x2(x2)(x2)(3x2)，当23x2 时，y2 或 x0.所以当 x23时，y 有极大值3227；当 x2 时，y 有极小值 0.故选 C.2函数 f x的定义域为R，导函数 fx的图象如下图所示，则函数 f x（）A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点解析：选 C由导数与函数极值的关系知，当 f(x0)0 时，在 x0的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则 f(x)在 xx0处取得极大值；若在 x0的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则 f(x)在 xx0处取得极小值设 yf(x)的图象与 x轴的交点从左到右横坐标依次为 x1，x2，x3，x4，则 f(x)在 xx1，xx3处取得极大值，在 xx2，xx4处取得极小值3若函数 21ln2f xxaxx有极值，则a的取值范围是（）随堂训练06A.2,B.2,C.0,2D.,22,【答案】B【解析】函数 f（x），所以 f（x）xa+，（x0）因为函数 f（x）有极值，所以导函数 f（x）=0 有解，g（x）x2ax+1=0 在（0，+）函数值有解，当 a0 时，必须 g（0）0,不成立；当 a0 时，对称轴 x=，满足（）2a+10，解得 a（2，+）故选：B4函数3395yxx的极大值为_解析：y9x29.令 y0，得 x1.当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y极大值极小值从上表可以看出，当 x1 时，函数 y 有极大值 3(1)39(1)511.答案：115若函数 33f xxxa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3(x21)，所以 x1 和 x1 是函数的两个极值点，由题意知，极大值为 f(1)2a，极小值为 f(1)2a，所以要使函数 f(x)有三个不同的零点，则有 2a0 且2a0，解得2a2，即实数 a 的取值范围是(2,2)答案：(2,2)6已知函数 xf xeax在1x 处取得极小值，则实数a _.【答案】e【解析】因为，所以，又函数在处取得极小值，所以,故.7（重庆高考）已知函数 32f xaxxaR在43x 处取得极值（1）确定a的值；（2）若 xg xf x e，讨论 g x的单调性解：(1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x，因为 f(x)在 x43处取得极值，所以 f(43)0，即 3a1692(43)16a3830，解得 a12.(2)由(1)得 g(x)(12x3x2)ex，故 g(x)(32x22x)ex(12x3x2)ex(12x352x22x)ex12x(x1)(x4)ex.令 g(x)0，解得 x0 或 x1 或 x4.当 x4 时，g(x)0，故 g(x)为减函数；当4x0，故 g(x)为增函数；当1x0 时，g(x)0 时，g(x)0，故 g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)，(1,0)上为减函数，在(4，1)，(0，)上为增函数一、选择题1(陕西高考)设函数 2lnf xxx，则（）A.12x 为 f x的极大值点B.12x 为 f x的极小值点C.2x 为 f x的极大值点D.2x 为 f x的极小值点解析：选 D函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x21xx2x2，当 x2 时，f(x)0；当 x2 时，课后练习07f(x)0，函数 f(x)为增函数；当 0 x2 时，f(x)0；当 x(13，1)时，f(x)0.故 f(x)在(，13)，(1，)上单调递增，在(13，1)上单调递减当 x13时，f(x)有极大值427，当 x1 时，f(x)有极小值 0.4若函数 223f xxbxa在区间0,1内有极小值，则实数b的取值范围是（）A1b B1b C01b D12b 解析：选 Cf(x)2x2b2(xb)，令 f(x)0，解得 xb，由于函数 f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有 0b1.当 0 xb 时，f(x)0；当 bx1 时，f(x)0，符合题意，所以实数 b 的取值范围是 0b1.5设函数 1ln3f xxx（0 x），则 yf x（）A在区间1,1e，1,e内均有零点B在区间1,1e，1,e内均无零点C在区间1,1e内有零点，在区间1,e内无零点D在区间1,1e内无零点，在区间1,e内有零点解析：选 Df(x)131xx33x，令 f(x)0，得 x3，当 0 x3 时，f(x)0，所以函数 f(x)在区间(0,3)上为减函数又因为 f(1)130，f(e)e310，f(1e)13e10，所以 yf(x)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点二、填空题6若函数 21xaf xx在1x 处取得极值，则a _.解析：f(x)2xx1x2ax12x22xax12，由题意得 f(1)3a40，解得 a3.经检验，a3 符合题意答案：37已知函数 33f xxaxb的单调递减区间是1,1，其极小值为2，则 f x的极大值是_.【答案】6【解析】依题意，f（x）的单调期间为（1，1），由 f（x）3x23a3，可得 a1，由 f（x）x33ax+b 在 x1 处取得极小值 2，可得 13+b2，故 b4f（x）x33x+4 的极大值为 f（1）（1）33（1）+46故答案为：68函数 323321f xxaxax既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_解析：f(x)3x26ax3(a2)，令 f(x)0，即 x22axa20.因为函数 f(x)有极大值和极小值，所以方程 x22axa20 有两个不相等的实数根，即 4a24a80，解得 a2 或 a1.答案：(，1)(2，)9已知函数 495f xxx，则 f x的图象在1,3内与x轴的交点的个数为_解析：因为 f(x)4x39，当 x(1,3)时，f(x)0，所以 f(x)在(1,3)上单调递增又因为 f(1)30，f(0)50，所以 f(x)在(1，3)内与 x 轴只有一个交点答案：1三、解答题10(安徽高考)已知函数 2axf xxr（0,0ar）（1）求 f x的定义域，并讨论 f x的单调性；（2）若400ar，求 f x在0,内的极值解：(1)由题意知 xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)axxr2axx22rxr2，f(x)ax22rxr2ax2x2rx22rxr22arxxrxr4，所以当 xr 时，f(x)0；当rx0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)的解答可知 f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr 是 f(x)的极大值点，所以 f(x)在(0，)内的极大值为f(r)ar2r2a4r4004100.无极小值11已知函数 331f xxax，0a.（1）求 f x的单调区间；（2）若 f x在1x 处取得极值，直线ym与 yf x的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解：(1)f(x)3x23a3(x2a)当 a0，当 a0 时，由 f(x)0 解得 xa，由 f(x)0，解得ax0 时，f(x)的单调增区间为(，a)，(a，)，f(x)的单调减区间为(a，a)(2)f(x)在 x1 处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1，f(x)x33x1，f(x)3x23.由 f(x)0，解得 x1 或 x1，由(1)中 f(x)的单调性可知，f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)1，在 x1 处取得极小值 f(1)3.因为直线 ym 与函数 yf(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知 m 的取值范围是(3,1)