1、第08讲 恒成立与存在性问题【知识精讲】一恒成立问题1对，都有令，则；2，都有；3，都有；二存在性问题1，使得，则；2，使得；3，都有；三恒成立与存在性综合1，使得；2，使得；3 ，使得且【方法点拨】1恒成立和存在性问题一般会转化为讨论函数最值问题2有关曲线几何意义的问题，可转化为恒成立和存在性问题解决3证不等式可以先构造函数，再转化为恒成立和存在性问题4处理有关参数的恒成立和存在性问题，优先考虑分离参数，尤其是分离出的新函数性质易讨论时题型一【存在性问题】例题1、 已知曲线若存在使得，求a的取值范围例题2、 设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x（xR）的一个极值点（）求a与b的
2、关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（）设a0，g(x)=(a2+)ex若存在1，20，4使得|f（1）-g（2）|1成立，求a的取值范围随练1、 函数，若存在使得不等式，求实数的范围题型二【恒成立问题】例题1、 设函数，其中为常数（1）求函数的极值点；（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；例题2、 已知函数，（）（1）时，求函数的单调区间；（2）求证：当时，对于任意，总有成立随练1、 已知a，bR，函数f（x）=（ax+2）lnx，g（x）=bx2+4x5，且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处有相同的切线（1）求a，b的值；（2）（2）证明：当x1时，曲线y=f（x
3、）恒在曲线y=g（x）的下方；（3）当x（0，k时，不等式（2k+1）f（x）（2x+1）g（x）恒成立，求实数k的取值范围题型三【恒成立与存在性综合问题】例题1、 已知函数，且有极值（1）求实数的取值范围；（2）求函数的值域；（3）函数，证明：，使得成立随练1、 已知函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围函数零点与优化问题【知识精讲】一函数零点1概念：一般地，在实数处的值等于0，即，则叫做这个函数的零点图象上显示为与轴的交点是2零点存在定理：如果函数在区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，则这个函数在这个区间上至少有一个零点即：若，则，使二优化问题1生活中经常遇到求
4、利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题导数是求最大值、最小值的有力工具，运用导数可以解决一些生活中的优化问题2解决优化问题的基本思路优化问题用函数表示数学问题优化问题的答案用导数解决数学问题【注意事项】1在应用零点存在定理时，如果可以确认函数在区间单调，那么在这个区间上若有零点，则只有一个零点求零点个数时，端点为时，只需任取满足条件的较小（大）值2在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合题意的值应该舍去有时会遇到函数在区间内只有一个点使得的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值二方法点拨利用导数解决生活中
5、的优化问题的一般步骤：1分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系2求出函数的导数，解方程3比较函数在区间端点和的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值题型三【利用导数解决函数零点问题】例题1、 试讨论函数的零点个数为_例题2、 已知f（x）=lnxex+a（1）若x=1是f（x）的极值点，讨论f（x）的单调性；（2）当a2时，证明f（x）在定义域内无零点随练1、 试讨论函数的零点个数为_随练2、 已知函数f（x）=ex+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：对于任意a（0，+），函数f（x）是D上的减函数；对于任意a（，0），
6、函数f（x）存在最小值；对于任意a（0，+），使得对于任意的xD，都有f（x）0成立；存在a（，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）题型四【优化问题】例题1、 如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v0），雨速沿E移动方向的分速度为c（cR）E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v-c|S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时（）写出y的表达式（）设0v10，0c5，试根据c的不
7、同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少例题2、 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设（1）某广告商要求包装盒的侧面积S最大，试问应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值例题3、 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸的处，乙厂到河岸的垂足与相距，两厂要在此岸边合建一个供
8、水站，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米元和元，问供水站建在岸边何处才能使水管费用最省随练1、 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当0x200时，求函数v（x）的表达式；（）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出
9、最大值（精确到1辆/小时）随练2、 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求k的值及f（x）的表达式（）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值【课后练习】1、 函数，求证：存在实数，使得2、 已知函数f(x)=lnx-ax+-1（aR）（）当a时，讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=
10、x2-2bx+4当a=时，若对任意x1（0，2），存在x21，2，使f（x1）g（x2），求实数b取值范围3、 已知函数f（x）=ex-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x0时，x2ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x（x0，+）时，恒有xcex4、 试讨论函数的零点个数为_5、 已知函数（1）求的最小值；（2）讨论关于x的方程的解的个数6、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x-6）2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克（）求a的值；（）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大7、如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S（）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（）求面积S的最大值
