1、专题04 含参数的极值点偏移问题含参数极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.例1.已知函数有两个不同零点，求证：.【解析】思路1：函数的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与专题三(不含参数的极值点偏移问题)例题完全等价，专题三例题的四种方法全都可以用；思路2：也可以利用参数a这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数有两个零点，所以，由（1）+（2）得：，要证明，只要证明，由（1）-（2）得：，即，即证：，不妨设，记，则，因此只要证明：，再次
2、换元令，即证构造新函数，求导，得在上递增，所以，因此原不等式获证.例2.已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：.【解析】法一：消参转化成无参数问题：，是方程的两根，也是方程的两根，则是方程的两根，设，则，从而，此问题等价转化成为专题三例题，下略.法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：不妨设，欲证明，即证.，即证，原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.法三：直接换元构造新函数：设，则，反解出：，故，转化成法二，下同，略.例3.已知是函数的两个零点，且.（1）求证：；（2）求证：.【解析】（1）问题可以转化为：与有两个交点，由圆知，且即，故要证：，
3、即证：，也即证：，也即，令，则设，则，在单调递增，即.在单调递增，即，故原不等式得证.（2）要证：，即证：，等价于，也即，等价于，令等价于，也等价于，等价于即证：令，则，又令，得，在单调递减，从而，在单调递减，即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.例4.已知函数，若存在，使，求证：.【解析】函数的零点等价于方程的实根，令，求导可知，在上单调递增，在上单调递减，.()下证：当时，方程有两个实根.当时，是减函数，当为增函数，当时，有一解，记为.当时，为减函数，先证：，即证：，令，求导
4、由的单调性可得：，故不等式即证，也即原不等式成立.当时，有一解，记为.再证：.，而，.证毕.【招式演练】1. 已知（1）若，求的最大值；（2）若有两个不同的极值点，证明:.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，对函数求导，判断出函数的单调性，进而可得函数的最大值；（2）对函数求导，则，即为方程的两个不同的正根，表示出，将韦达定理代入化简，并利用构造新函数判断单调性和最值的方法证得命题成立【详解】（1）当时，所以，则在上是单调递减函数，且有，当时，即为上的增函数，当时，即为上的减函数，所以.（2）证明：由题意知：由，则，即为方程的两个不同的正根，故而需满足：，解得，所以令
5、，令，所以；则为上的减函数，且，所以当时，即为上的增函数；当时，即为上的减函数，所以，所以，证毕.【点睛】本题考查导数证明不等式问题，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题2. 已知函数（a为常数）.（）求函数的单调区间；（）若，求不等式的解集；（）若存在两个不相等的整数，满足，求证：.【答案】（）答案见解析；（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）设，根据函数的单调性求出不等式的解集即可；（）求出，不妨设，则，根据函数的单调性得到，由，替换即可.【详解】（）的定义域为，（1）当时，恒有，故
6、在上单调递增；（2）当时，由，得，故在上单调递增，在上单调递减，综上（1）（2）可知：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（）的定义域为，所以，且，而，；设，且当且仅当时取等号，所以在上单调递增，又因为时，所以当时，当时，故的解集为；（）由（）知时，在上单调递增，若，则不合题意；故，而在上单调递增，在上单调递减，若存在两个不相等的正数，满足，则，必有一个在上，另一个在，不妨设，则，又由（）知时，即，所以，因为，所以，又因为在上单调递减，所以，即.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题3. 已知.（1）当时，求
7、函数在区间，上的最大值；（2）当时，若存在正数，满足，求证：.【答案】（1）；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）对函数求导，求得的单调性，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数最大值；（2）根据已知条件，求得与之间的等量关系，构造函数，利用导数求得其最小值，即可证明不等式.【详解】（1）.，令，则，在上单调递增，在上单调递减.当时，在,上单调递减，的最大值为； 当时，在区间上为增函数，在区间上为减函数，的最大值为综上， （2），即， 令， ，故在上单调递减，在上单调递增，故，即，即有，因为，所以.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和最值，以及利用导数证明不等式，属综合中档题.4. 已知
8、函数若在上不单调，求a的取值范围；当时，记的两个零点是，.求的取值范围；证明：【答案】；证明见解析.【解析】【分析】先对函数求导整理得出，结合研究的区间，对的范围进行讨论，结合函数在某个区间上不单调的条件，即既有增区间，又有减区间，即在区间上存在极值点，得到结果；将函数在区间上有两个零点转化为方程有两个解，构造新函数，利用导数求得结果；结合，求得两个零点所属的区间，利用不等式的性质证得结果.【详解】解：因为，所以，当，即时，可知在上恒成立，即在上单调递增，不合题意，当，即时，可知时，单调递减，当时，单调递增，所以满足在上不单调，所以的取值范围是.令，得，即有两个解，令，则，所以当时，当时，所以
9、在上单调递减，在上单调递增，且当时，当时，当时，且，所以当时，记的两个零点，时，的取值范围是；证明：由知，所以，所以【点睛】本题考查函数在某个区间上不单调求参数的取值范围，利用导数结合函数的零点的个数求参数的取值范围，利用导数证明不等式，考查分析问题能力，运算能力，属于难题.5. 已知函数（1）若时，函数有最大值为-1，求b的值；（2）若时，设，为的两个不同的极值点，证明：；（3）设，为的两个不同零点，证明【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，对参数分两种情况讨论，当时，函数单调递增，不存在最大值；当时，函数在时取得最大值，由最大值为，
10、即可求出参数的值；（2）求出函数的导数，由，为的两个不同极值点，则，是方程的两不等正根，则，且，则，利用基本不等式即可得证；（3）要证明，即证：，由（1）知只需证明：成立，因为，为的两个不同零点，不妨设，则，令，则，即证，构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可得证；【详解】解：（1）当时， 从而，当时，此时，在上单调递增，函数不存在最大值，不合题意；当时，当时，此时，单调递增，当时，此时，单调递增，故当时，解得，（2）当时，所以，因为，为的两个不同极值点，所以，是方程的两不等正根，故，且，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以（3）要证明，即证：，由（1）得，故只需证明：成立因为，为的两个不同
11、零点，不妨设， 所以-可得，两边同时乘以，可得，即，令，则，即证即即证令函数则，所以在上单调递增，所以，所以，所以【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，构造函数是解决本题的关键，考查等价转化能力，数学计算能力，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，属于难题.6. 已知函数，其中，为常数（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据题意转化为在内有且仅有一个变号零点，根据二次函数的单调性，列式求解的取值范围；（2）求出当函数有两个零
12、点时，求出，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，得到，再通过构造得到，利用函数的单调性证明结论.【详解】（1），因为函数在定义域有且仅有一个极值点，所以在内有且仅有一个变号零点，由二次函数的图象和性质知，解得，即实数的取值范围为（2），当时，在上单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意，当时，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，函数取得最小值，当时，函数无零点，不合题意，当时，函数仅有一个零点，不合题意，当时，又，所以在上只有一个零点，令，则，故当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即，所以，所以，又，所以在上只有一个零点所以满足题意不妨设，则，令，则，当时，所以在上单调递减，所
13、以当时，即，因为，所以，所以，又，且在上单调递增，所以，故得证【点睛】本题考查利用导数证明函数的单调性，极值，最值，零点，函数与方程，不等式的综合应用，重点考查逻辑推理，转化与变形，计算能力，属于难题.7. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数进行求导得，再对进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，则.不妨设，只要证，再利用函数的单调性，即可证得结论.【详解】（1）.当时，单调递增；当时，单调递减；单调递增.综上：
14、当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，则.不妨设，要证，即证，即证，即证.因为在单调递增，即证，因为，所以即证，即证.令，.当时，单调递减，又，所以时，即，即.又，所以，所以.【点睛】思路点睛：用导数证明不等式的基本思路：构造函数(x)，将不等式转化为(x)0(或0)的形式，然后研究(x)的单调性、最值，判定(x)与0的关系.8. 已知函数在上有个零点、（1）求实数的取值范围；（2）证明：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）令可得，将问题等价于直线与函数在区间上的图象有两个交
15、点，利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；（2）由题意可知，且有，可得，于是可将所证不等式等价于证明不等式，令，即证，令，利用导数证明出即可.【详解】（1），等价于，设，则，令得，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.而且时，时，如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，所以实数的取值范围是；（2）由（1）知，当函数有个零点时，一定有，且，两边取对数得，所以要证明的不等式等价于等价于，等价于证明，令，等价于证明，其中，设函数，则，故函数在上是增函数，所以，即成立，所以原不等式成立【点睛】本题考查利
16、用函数的零点个数求参数，同时也考查了极值点偏移问题，考查利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于较难题.9. 已知函数（1）当时，函数在上是减函数，求b的取值范围；（2）若方程的两个根分别为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由在上是减函数，可知对恒成立，然后分离参数得，所以只要即可；（2）由已知得，即，两式相减得，由知，设，可得，再利用导数研究其单调性可得结论【详解】（1）在上递减，对恒成立.即对恒成立，所以只需.，当且仅当时取“=”，.（2）由已知，得，两式相减，得.由知，设，则.在上递增，.，.即.【点睛】此题考查利用导数研究函数单调性极值与最值
17、，考查基本不等的性质，考查推理能力和计算能力，属于难题10. 已知函数，.（1）若为上的增函数，求的取值范围；（2）若，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由在上为增函数，可得恒成立，即恒成立，构造函数，利用导数求此函数的最小值即可；（2）由于，且在上单调递增，且，不妨设，令，利用函数可判断在上为减函数，所以有，而在上为增函数，从而可得，从而，【详解】（1）.若在上为增函数，则恒成立，即恒成立，设，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，故，实数的取值范围为；（2）证明：若，由（1）知在上单调递增，由于，已知，不妨设，设函数，则，则，设，则，由于，故在上为增
18、函数，在上为减函数，而在上为增函数，故，从而，即.【点睛】此题考查导数的应用，考查由导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数判断函数的单调性，考查转化思想和计算能力，属于中档题11. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）设是的两个零点，证明：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）求导，对参数分两种情况进行讨论，令得函数的单调递增区间，令得函数的单调递减区间；（2）令，分离参数得，令，研究函数的性质，可将证明转化为证明，即证明成立，令，利用导数研究函数的增减性，可得，问题得证.详解：（1），当时，则在上单调递增当时，令，得，则的单调递增区间为，令，得，则的单调递减区间为（2）证
19、明：由得，设，则由，得；由，得故的最小值当时，当时，不妨设，则，等价于，且在上单调递增，要证：，只需证，只需证，即，即证；设，则，令，则，在上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，从而得证点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数进行分类讨论，再分别令，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对进行参数分离，再构造新函数，利用函数的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.12. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.【答案】（1）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时
20、，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）求出，对分类讨论，分别求出的解，即可得出结论；（2）由（1）得出有两解时的范围，以及关系，将，等价转化为证明，不妨设，令，则，即证，构造函数，只要证明对于任意恒成立即可.【详解】（1）的定义域为R，且.由，得；由，得.故当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由（1）知当时，且.当时，；当时，.当时，直线与的图像有两个交点，实数t的取值范围是.方程有两个不等实根，即.要证，只需证，即证，不妨设.令，则，则要证，即证.令，则.令，则，在上单调递增，.，在上单调递增，
21、即成立，即成立.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.13. 已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数零点的个数；（3）若存在两个不同的零点，求证：.【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出的定义域,求得导函数,令可解得或,分类讨论判断或,进而解得单调区间；（2）整理函数为,则令,当时,则分别讨论和两种情况,利用零点存在性定理判断零点个数；（3）由（2）可知,构造函数,利用导数可得在单调递增,则,整理即可得证
22、【详解】解：（1）函数的定义域为,令,得或,因为,当或时,单调递增；当时,单调递减,所以的增区间为,；减区间为（2）取,则当时,所以；又因为,由（1）可知在上单调递增,因此,当,恒成立,即在上无零点.；下面讨论的情况：当时,因为在单调递减,单调递增,且,根据零点存在定理,有两个不同的零点；当时,由在单调递减,单调递增,且，此时有唯一零点；若,由在单调递减,单调递增,此时无零点；综上,若,有两个不同的零点；若,有唯一零点；若,无零点（3）证明：由（2）知,且,构造函数,则,令,因为当时,所以又,所以恒成立,即在单调递增,于是当时,即 ,因为,所,又,所以,因为,且在单调递增,所以由,可得,即【点
23、睛】本题考查利用导数求单调区间,考查利用导数判断函数的零点个数,考查零点存在性定理的应用,考查分类讨论思想和转化思想14. 已知函数.（1）若存在单调减区间，求a的取值范围；（2）若为的两个不同极值点，证明：.【答案】（1）.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意知有解，则有解，利用导数判断函数的单调性从而确定最大值，即可得解；（2）根据题意可得，联立可得，问题转化为证明成立，令，利用导数研究函数的单调性及最值，由即可得证.【详解】（1）函数定义域为，根据题意知有解，即有解，令，且当时，单调递增；时，单调递减；（2）由是的不同极值点，知是两根(设)即，联立可得：要证，即证，即由可得令，
24、问题转化为证明成立(*)在上单调递增，(*)成立，得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式成立，极值点的定义，属于较难题.15. 已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，正数，满足，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得导数，令，则，分和两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）当时，得到，根据函数的单调性，不妨设，得到，构造函数，结合导数求得函数的单调性和极值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，可得，令，则.当时，可得对恒成立，则在区间上单调递增.当或时，令，得，（i）当时，所以对恒成立.则在区间上
25、单调递增.（）当时，.若，函数单调递增；若，函数单调递减；若，函数单调递增.综上所述：当时，在区间上单调递增.当时，在和，上单调递增；在单调递减.（2）当时，函数，由（1）可知在区间上单调递增，又易知，且，不妨设，要证，只需证，只需证，即证，即证，构造函数，所以，则，当时，所以函在区间（0，1上单调递增，则，所以得证，从而.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题1
26、6. 已知(1)求的单调区间;(2)设，为函数的两个零点，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）由函数，求得，通过讨论实数的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）构造函数，与图象两交点的横坐标为，问题转化为，令，根据函数的单调性即可作出证明.详解：（1），当时，即的单调递增区间为，无减区间；当时，由，得，时，时，时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，不妨设，由条件知，即构造函数，与图象两交点的横坐标为由可得而，知在区间上单调递减，在区间上单调递增，可知欲证，只需证，即证，考虑到在上递增，只需证由知，只需证令
27、 ，则 ，所以为增函数，又，结合知，即成立，即成立.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.17. 已知函数.（1）当时，证明：有唯一零点；（2）若函数有两个极值点，（），求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)先对函数f(x)求导，再对a分类讨论
28、即可判断函数f(x)的单调性，进而求得最值;(2)由函数的极值点得关于,的关系式以及参数a的范围,构造函数,将问题转化为该函数的最值问题，再进行适当放缩即可证明.【详解】（1）（），所以在，上递增，在递减，又，时，所以有唯一零点；（2）（）.若有两个极值点，（），则方程的判别式且，因而，又，即，设，其中，由得，由于，在上单调递增，在上单调递减，即的最大值为，从而成立.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，证明不等式，考查了分类讨论思想，转化思想，属于难题.18. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若函数有两个零点，且，证明：.【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解
29、析.【解析】【分析】（1）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2），为函数零点，可得，要证，只需证，构造函数利用单调性可得结论.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，在上是减函数，所以在上无极值；当时，若，在上是减函数.当，在上是增函数，故当时，在上的极小值为，无极大值.（2）当时，由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，又，为函数零点，所以，要证，只需证. ，又，令，则，在上是增函数，即得证.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决
30、问题的能力，属于较难题，19. 已知函数有两个零点.（1）求实数的取值范围；（2）设、是的两个零点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）令可得出，构造函数，可得出直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；（2）依题意，设，有，构造函数利用导数研究可得，结合，即可得证.【详解】（1），当时，令，可得，令，其中，则，令，可得，列表如下：单调递减单调递减极小值单调递增所以，函数的极小值为，当时，当时，如下图所示：由图象可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，综上所述，实数的取值范围是；（2）由（1）中的图象可知，当时
31、，直线与函数的图象有两个交点，且一个交点的横坐标为正、另一个交点的横坐标为负，即当时，函数有两个零点，一个零点为正、另一个零点为负，设函数的两个零点分别为、，不妨设，有.由，令，则，所以函数在上单调递增，所以，.又，所以，即.当且时，则函数在区间上单调递增，又，所以，所以.又，所以，所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查分类讨论思想及推理论证能力，属于中档题.20. 设函数，其图象与轴交于，两点，且.（1）求的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）先求出，易得当不符合题意，当时，当时，取得极小值，所以，得到的范围，再由，结合零点存在定理，得到答案.（2）由题意，两式相减，得到，记，将转化为，再由导数求出其单调性，从而得到，再由是单调增函数，得到.【详解】解：（1）因为，所以.若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾.所以，令，则.当时，是单调减函数；时，是单调增函数；于是当时，取得极小值.因为函数的图象与轴交于两点，所以，即.此时，存在，；存在，又在上连续，故.（2）因为两式相减得.记，则，设，则，所以是单调减函数，则有，而，所以.又是单调增函数，且；所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，换元法构造新函数，涉及知识点较多，题目较综合，属于难题.
