1、学习目标1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点复合函数的导数1.复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作y .思考函数ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？答案函数ylog2(x1)是由ylog2u及ux1两个函数复合而成的.f(g(x)2.复合函数的求导法则一般地，对于由函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf(g(x)，它的导数与函数
2、yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx ，即y对x的导数等于 .yuuxy对u的导数与u对x的导数的乘积1.ycos3x由函数ycosu，u3x复合而成.()2.函数f(x)sin(2x)的导数为f(x)cos2x.()3.函数f(x)e2x1的导数为f(x)2e2x1.()思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU2题型探究PART TWO一、求复合函数的导数例1求下列函数的导数：所以yu4u5，ux3.(3)ylog2(2x1)；(2)ycos(x2)；解令ux2，则ycosu，所以yxyuuxsinu2x2xsin(x2).解设ylog2u，u2x1，解设y
3、eu，u3x2，则yx(eu)(3x2)3eu3e3x2.(4)ye3x2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁.跟踪训练1求下列函数的导数：解12=1 2,yx-12u-，设yu12x，则yx121 2ux-33221=1222ux-(2)y5log2(1x)；解函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，所以yxyuux5(log2u)(1x)二、复合函数与导数的运算法则的综合应用例2求下列函数的导数：反思感悟(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征
4、，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.跟踪训练2求下列函数的导数：(2)ysin3xsinx3；解y(sin3xsinx3)(sin3x)(sinx3)3sin2xcosxcosx33x23sin2xcosx3x2cosx3.(3)yxln(1x).解yxln(1x)xln(1x)例3(1)曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是三、与切线有关的综合问题解析设曲线yln(2x1)在点(x
5、0，y0)处的切线与直线2xy30平行.0=|x xyy0ln(21)0，即切点坐标为(1,0).解由曲线yf(x)过(0,0)点，可得ln11b0，故b1.即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率.反思感悟(1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求.两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件.(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域.在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内.1由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，所以f(1)0，因此k1.(2)设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y1
6、0垂直，则a.该切线与坐标轴围成的面积为.2解析令yf(x)，则曲线yeax在点(0,1)处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10垂直，所以f(0)2.因为f(x)eax，所以f(x)(eax)eax(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a2.由题意可知，切线方程为y12x，即2xy10.3随堂演练PART THREE1.(多选)函数y(x21)n的复合过程正确的是A.yun，ux21B.y(u1)n，ux2C.ytn，t(x21)nD.tx21,ytn123452.函数y(20208x)3的导数y等于A.3(20208x)2B.24xC.24(20208x)2D.24(20208
7、x)212345解析y3(20208x)2(20208x)3(20208x)2(8)24(20208x)2.3.函数yx2cos2x的导数为A.y2xcos2xx2sin2xB.y2xcos2x2x2sin2xC.yx2cos2x2xsin2xD.y2xcos2x2x2sin2x12345解析y(x2)cos2xx2(cos2x)2xcos2xx2(sin2x)(2x)2xcos2x2x2sin2x.4.已知f(x)ln(3x1)，则f(1).123455.曲线yln(2x)在点(1,0)处的切线方程为.xy1012345又切点坐标为(1,0).yln(2x)在点(1,0)处的切线方程为y(x
8、1)，即xy10.1.知识清单：(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PART FOUR1.(多选)下列函数是复合函数的是基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16解析A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，12345678910 11 12 13 14 15 16D由yu4，u2x3复合而成.2.函数yxln(2x5)的导数为12345678910 11 12 13 14 15 16解析yxln
9、(2x5)，解析y(x3)ecosxx3(ecosx)3x2ecosxx3ecosx(cosx)3x2ecosxx3ecosxsinx.3.函数yx3ecosx的导数为A.y3x2ecosxx3ecosxB.y3x2ecosxx3ecosxsinxC.y3x2ecosxx3esinxD.y3x2ecosxx3ecosxsinx12345678910 11 12 13 14 15 164.曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于A.2eB.eC.2D.112345678910 11 12 13 14 15 16解析yxex1，yex1xex1，ky|x1e0e02，故选C.5.已知直线yx1
10、与曲线yln(xa)相切，则a的值为A.1B.2C.1D.212345678910 11 12 13 14 15 16解析设切点坐标是(x0，x01)，由此得x010，x01，a2.12345678910 11 12 13 14 15 166.函数ysin2xcos3x的导数是.y2cos2xcos3x3sin2xsin3x解析ysin2xcos3x，y(sin2x)cos3xsin2x(cos3x)2cos2xcos3x3sin2xsin3x.12345678910 11 12 13 14 15 168.点P是f(x)(x1)2上任意一点，则点P到直线yx1的最短距离是，此时点P的坐标为.1
11、2345678910 11 12 13 14 15 16解析与直线yx1平行的f(x)(x1)2的切线的切点到直线yx1的距离最短.设切点为(x0，y0)，12345678910 11 12 13 14 15 169.求下列函数的导数：(1)yln(exx2)；12345678910 11 12 13 14 15 16解令uexx2，则ylnu.(2)y102x3；解令u2x3，则y10u，yxyuux10uln10(2x3)2102x3ln10.(3)ysin4xcos4x.12345678910 11 12 13 14 15 16解ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2
12、xcos2xysin4x.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解yesinx，yesinxcosx，y|x01.曲线yesinx在点(0,1)处的切线方程为y1x，即xy10.又直线l与xy10平行，故直线l可设为xym0.直线l的方程为xy10或xy30.11.曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为综合运用12345678910 11 12 13 14 15 16解析依题意得ye2x(2)2e2x，y|x02e202.所以曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程是y22x，即y2
13、x2.在坐标系中作出直线y2x2，y0与yx的图象，如图所示.直线y2x2与x轴的交点坐标是(1,0)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16所以y1,0)，所以tan1,0).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是.y2x1解析设x0，则x0，f(x)lnx3x，又f(x)为偶
14、函数，所以f(x)lnx3x，12345678910 11 12 13 14 15 16所以切线方程为y2x1.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解f(x)exsinx，f(x)exsinxexcosxex(sinxcosx).2esin+cos222e.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解设切点坐标为P(x0，y0)，由题意可知0=|0.x xy0=|x xy解得x00，此时y01.即该点的坐标为P(0,1)，切线方程为y10.
