5-5 导数在研究函数最值中的运用（教师版+学生版）-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.rar

【章节 5-5】：导数在研究函数最值中的运用三、函数的最大值与最小值1.函数 yf x在区间,a b上的最值一般地，如果在区间,a b上函数 yf x的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值2.函数最值的求法求函数 yf x在闭区间,a b上的最值的步骤如下：求函数 yf x在,a b内的极值；将函数 yf x的各极值与端点处的函数值 ,f af b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值：极值与最值的区别与联系1区别函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较，即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得2联系如果在区间,a b上函数 yf x的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点，那么该极值点就是最值点，这里区间,a b可以是无穷区间 求已知函数的最值01【例1】求函数 2540f xxxx的最值.【例2】求函数 33f xxx，3,3x 的最值.【演练题组1】1.求函数 21ln 14f xxx在区间0,2上的最值2.已知函数 0axf xxea（1）求函数 f x的单调区间；（2）求函数 f x在1 2,a a上的最大值【例3】若 32391f xxxx在区间,2k上的最大值为 28，求k的取值范围【演练题组2】已知函数 326f xaxaxb，1,2x 的最大值为3，最小值为29，求,a b的值 已知函数的最值求参数02不等式恒成立、存在性问题的转化技巧：（1）af x（或 af x）恒成立 maxaf x（或 minaf x）；（2）f xg x恒成立 min0f xg x；（3）af x（或 af x）有解 minaf x（或 maxaf x）；（4）f xg x有解 max0f xg x【例4】设函数 2221f xtxt xt（,0 xR t）（1）求 f x的最小值 h t；（2）若 2h ttm 对0,2t恒成立，求实数m的取值范围 与函数最值有关的恒成立、存在性问题03【例5】（2019.1 安徽省安庆市质检文科）已知函数 1xf xeax，ln3g xxx.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）对于任意12,0,x x 且12xx时，不等式1212f xf xg xg x恒成立，求实数a的取值范围.【演练题组3】1.已知函数 322338f xxaxbxc在1x 及2x 时取得极值（1）求,a b的值；（2）若对于任意的0,3x，都有 2f xc成立，求c的取值范围2.已知函数 44lnf xaxxbxc（0 x）在1x 处取得极值3c，其中,a b c为常数 若对任意0 x，不等式 22f xc 恒成立，求c的取值范围3.已知函数 xf xxa（0a，且1a）（1）当3a 时，求曲线 f x在点 1,1Pf处的切线方程；（2）若函数 f x存在极大值 g a，求 g a的最小值1函数 f(x)2xcos x 在(，)上()A无最值B有极值C有最大值 D有最小值2函数 yx44x3 在区间2,3上的最小值为()A72 B36C12 D03函数 yxex在0,2上的最大值为_随堂训练044函数 f(x)1x1x(x1,3)的值域为_5已知 a 为实数，f(x)(x24)(xa)(1)求导数 f(x)(2)若 f(1)0，求 f(x)在2,2上的最大值和最小值6设函数 2ln0f xaxbxx，若函数 f x在1x 处与直线12y 相切，(1)求实数,a b的值；(2)求函数 f(x)在1,ee上的最大值一、选择题1函数 yxsin x，,2x的最大值是()A1 B.12 C D12已知函数 2xf xx，则下列结论正确的是()A当 x1ln 2时，f(x)取最大值 B当 x1ln 2时，f(x)取最小值C当 x1ln 2时，f(x)取最大值 D当 x1ln 2时，f(x)取最小值3函数 12f xxx，0,5x的最小值为()A2 B3 C.174 D22124函数 f(x)x3x2xa 在区间0,2上的最大值是 3，则 a 的值为()A2 B1 C2 D15若对任意的 x0，恒有ln10 xpxp，则 p 的取值范围是()A(0,1 B(1，)C(0,1)D1，)二、填空题6设函数 g(x)x(x21)，则 g(x)在区间0,1上的最小值为_7若函数 f(x)x33xa 在区间0,3上的最大值、最小值分别为 m，n，则 mn_.8已知函数 f(x)ax22ln x，若当 a0 时，f(x)2 恒成立，则实数 a 的取值范围是_课后练习05三、解答题9设函数 2ln 23f xxx.(1)讨论 f x的单调性；(2)求 f x在区间3 1,4 4上的最大值和最小值10已知函数 f(x)x3ax2bxc，曲线 yf(x)在点 x1 处的切线为 l：3xy10，若 x23时，yf(x)有极值(1)求 a，b，c 的值；(2)求 yf(x)在3,1上的最大值和最小值11设 lnf xx，g xf xfx(1)求 g(x)的单调区间和最小值(2)求 a 的取值范围，使得 1g ag xa对任意0 x 成立12(2016武汉调研)已知函数 2lnf xaxbxx（0,abR）(1)设 a1，b1，求 f(x)的单调区间；(2)若对任意的0 x，1f xf，试比较 ln a 与2b 的大小【章节 5-5】：导数在研究函数最值中的运用三、函数的最大值与最小值1.函数 yf x在区间,a b上的最值一般地，如果在区间,a b上函数 yf x的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值2.函数最值的求法求函数 yf x在闭区间,a b上的最值的步骤如下：求函数 yf x在,a b内的极值；将函数 yf x的各极值与端点处的函数值 ,f af b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值：极值与最值的区别与联系1区别函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较，即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得2联系如果在区间,a b上函数 yf x的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点，那么该极值点就是最值点，这里区间,a b可以是无穷区间【例1】求函数 2540f xxxx的最值.【解析】f(x)2x54x2，令 f(x)0，得 x3.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,0)求已知函数的最值01f(x)0f(x)极小值所以当 x3 时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故 f(x)的最小值为 f(3)27，无最大值【例2】求函数 33f xxx，3,3x 的最值.解f(x)33x23(1x)(1x)令 f(x)0，得 x1 或 x1.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,1)1(1,3)3f(x)00f(x)0极小值极大值18所以 x1 和 x1 是函数在3，3上的两个极值点，且 f(1)2，f(1)2.又因为 f(x)在区间端点处的取值为 f(3)0，f(3)18，所以 f(x)max2，f(x)min18.【演练题组1】1.求函数 21ln 14f xxx在区间0,2上的最值解：f(x)11x12x，令 f(x)0，即11x12x0，得 x2 或 x1.又x10，x1，x2 舍去f(0)0，f(1)ln 214，f(2)ln 31，该函数在区间0,2上的最大值为 ln 214，最小值为 0.2.已知函数 0axf xxea（1）求函数 f x的单调区间；（2）求函数 f x在1 2,a a上的最大值解：(1)f(x)xeax(a0)，则 f(x)1aeax，令 f(x)1aeax0，则 x1aln1a.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1aln1a)1aln1a(1aln1a，)f(x)0f(x)极大值故函数 f(x)的增区间为(，1aln1a)；减区间为(1aln1a，).(2)当1aln1a2a，即 0a1e2时，f(x)maxf(2a)2ae2；当1a1aln1a2a，即1e2a1e时，f(x)maxf(1aln1a)1aln1a1a；当1aln1a1a，即 a1e时，f(x)maxf(1a)1ae.【例3】若 32391f xxxx在区间,2k上的最大值为 28，求k的取值范围解由 f(x)x33x29x1，得 f(x)3x26x9.令 f(x)0，得 x13，x21.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)00f(x)284当 x3 时，取极大值 28；当 x1 时，取极小值4.而 f(2)31，m 的取值范围为(1，)【例5】（2019.1 安徽省安庆市质检文科）已知函数 1xf xeax，ln3g xxx.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）对于任意12,0,x x 且12xx时，不等式1212f xf xg xg x恒成立，求实数a的取值范围.【演练题组3】1.已知函数 322338f xxaxbxc在1x 及2x 时取得极值（1）求,a b的值；（2）若对于任意的0,3x，都有 2f xc成立，求c的取值范围解：(1)f(x)6x26ax3b，因为函数 f(x)在 x1 及 x2 时取得极值，所以 f(1)0，f(2)0，即Error!Error!解得Error!Error!(2)由(1)可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)当 x(0,1)时，f(x)0；当 x(1,2)时，f(x)0；当 x(2,3)时，f(x)0.所以，当 x1 时，f(x)取极大值 f(1)58c.又因为 f(0)8c，f(3)98c，所以当 x0,3时，f(x)的最大值为 f(3)98c.因为对于任意的 x0,3，有 f(x)c2恒成立，所以 98cc2，解得 c1 或 c9.因此 c 的取值范围为(，1)(9，).2.已知函数 44lnf xaxxbxc（0 x）在1x 处取得极值3c，其中,a b c为常数 若对任意0 x，不等式 22f xc 恒成立，求c的取值范围3.已知函数 xf xxa（0a，且1a）（1）当3a 时，求曲线 f x在点 1,1Pf处的切线方程；（2）若函数 f x存在极大值 g a，求 g a的最小值解：(1)当 a3 时，f(x)x3x，f(x)13xln 3，f(1)13ln 3.又 f(1)2，所求切线方程为 y2(13ln 3)(x1)，即 y(13ln 3)x33ln 3.(2)f(x)1axln a，当 0a0，ln a0，f(x)在 R 上为增函数，f(x)无极大值当 a1 时，设方程 f(x)0 的根为 t，得 at1ln a，即 tloga1ln aln1ln aln a，f(x)在(，t)上为增函数，在(t，)上为减函数，f(x)的极大值为 f(t)tatln1ln aln a1ln a，即 g(a)ln1ln aln a1ln a.a1，1ln a0.设 h(x)xln xx，x0，则 h(x)ln xx1x1ln x，令 h(x)0，得 x1，h(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数，h(x)的最小值为 h(1)1，即 g(a)的最小值为1，此时 ae.1函数 f(x)2xcos x 在(，)上()A无最值B有极值C有最大值 D有最小值解析：选 Af(x)2sin x0 恒成立，所以 f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值2函数 yx44x3 在区间2,3上的最小值为()A72 B36C12 D0解析：选 D因为 yx44x3，所以 y4x34.令 y0，解得 x1.当 x1 时，y0，函数单调递减；当 x1 时，y0，函数单调递增，所以函数 yx44x3 在 x1 处取得极小值 0.而当 x2 时，y27，当x3 时，y72，所以当 x1 时，函数 yx44x3 取得最小值 0.随堂训练043函数 yxex在0,2上的最大值为_解析：yexxexxex21xex，令 y0，得 x10,2，f(1)1e，f(0)0，f(2)2e2，f(x)maxf(1)1e.答案：1e4函数 f(x)1x1x(x1,3)的值域为_解析：f(x)1x121x22xx12，所以在1,3上 f(x)0 恒成立，即 f(x)在1,3上单调递增，所以 f(x)的最大值是 f(3)134，最小值是 f(1)32，故函数 f(x)的值域为32，134.答案：32，1345已知 a 为实数，f(x)(x24)(xa)(1)求导数 f(x)(2)若 f(1)0，求 f(x)在2,2上的最大值和最小值解：(1)由原式得 f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.(2)由 f(1)0，得 a12，此时有 f(x)(x24)(x12)，f(x)3x2x4.由 f(x)0，得 x43或 x1.又f(43)5027，f(1)92，f(2)0，f(2)0，f(x)在2,2上的最大值为92，最小值为5027.6设函数 2ln0f xaxbxx，若函数 f x在1x 处与直线12y 相切，(1)求实数,a b的值；(2)求函数 f(x)在1,ee上的最大值解：(1)f(x)ax2bx，函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，Error!Error!解得Error!Error!(2)由(1)得 f(x)ln x12x2，则 f(x)1xx1x2x，当1exe 时，令 f(x)0 得1ex1；令 f(x)0，得 1xe，f(x)在1e，1上单调递增，在1，e上单调递减，f(x)maxf(1)12.一、选择题1函数 yxsin x，,2x的最大值是()课后练习05A1 B.12 C D1解析：选 Cy1cos x0，所以 yxsin x 在2，上为增函数当 x 时，ymax.2已知函数 2xf xx，则下列结论正确的是()A当 x1ln 2时，f(x)取最大值 B当 x1ln 2时，f(x)取最小值C当 x1ln 2时，f(x)取最大值 D当 x1ln 2时，f(x)取最小值解析：选 Df(x)2xx2xln 2，令 f(x)0，得 x1ln 2.又当 x1ln 2时，f(x)1ln 2时，f(x)0，当 x1ln 2时，f(x)取最小值3函数 12f xxx，0,5x的最小值为()A2 B3 C.174 D2212解析：选 B由 f(x)1x1x2x321x20 得 x1，且 x(0,1)时 f(x)0，x(1,5时 f(x)0，x1 时 f(x)最小，最小值为 f(1)3.4函数 f(x)x3x2xa 在区间0,2上的最大值是 3，则 a 的值为()A2 B1 C2 D1解析：选 Bf(x)3x22x1，令 f(x)0，解得 x13(舍去)或 x1.又因为 f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，则 f(2)最大，即 a23，所以 a1.5若对任意的 x0，恒有ln10 xpxp，则 p 的取值范围是()A(0,1 B(1，)C(0,1)D1，)解析：选 D原不等式可化为 ln xpx10，令 f(x)ln xpx1，故只需 f(x)max0，由 f(x)1xp 知 f(x)在(0，1p)上单调递增，在(1p，)上单调递减，故 f(x)maxf(1p)ln p，即 ln p0，解得 p1.二、填空题6设函数 g(x)x(x21)，则 g(x)在区间0,1上的最小值为_解析：g(x)x3x，由 g(x)3x210，解得 x133，x233(舍去)当 x 变化时，g(x)与 g(x)的变化情况如下表：x0(0，33)33(33，1)1g(x)0g(x)0极小值0所以当 x33时，g(x)有最小值 g(33)239.答案：2397若函数 f(x)x33xa 在区间0,3上的最大值、最小值分别为 m，n，则 mn_.解析：f(x)3x23，当 x1 或 x1 时，f(x)0；当1x1 时，f(x)0.f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)，f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.答案：208已知函数 f(x)ax22ln x，若当 a0 时，f(x)2 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：由 f(x)ax22ln x，得 f(x)2x2ax3.又因为函数 f(x)的定义域为(0，)，且 a0，令 f(x)0，得 xa(舍去)或 xa.当 0 xa时，f(x)0；当 xa时，f(x)0，故 xa是函数 f(x)的极小值点，也是最小值点，且 f(a)ln a1.要使 f(x)2 恒成立，需 ln a12 恒成立，则 ae.答案：e，)三、解答题9设函数 2ln 23f xxx.(1)讨论 f x的单调性；(2)求 f x在区间3 1,4 4上的最大值和最小值解：f(x)的定义域为(32，).(1)f(x)22x32x4x26x22x322x1x12x3.当32x1 时，f(x)0；当1x12时，f(x)0；当 x12时，f(x)0，从而 f(x)在区间(32，1)，(12，)上单调递增，在区间(1，12)上单调递减(2)由(1)知 f(x)在区间34，14上的最小值为 f(12)ln 214.又因为 f(34)f(14)ln32916ln72116ln371212(1ln499)0，所以 f(x)在区间34，14上的最大值为 f(14)116ln72.10已知函数 f(x)x3ax2bxc，曲线 yf(x)在点 x1 处的切线为 l：3xy10，若 x23时，yf(x)有极值(1)求 a，b，c 的值；(2)求 yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由 f(x)x3ax2bxc，得 f(x)3x22axb.当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2ab0，当 x23时，yf(x)有极值，则 f(23)0，可得 4a3b40，由，解得 a2，b4.由于切点的横坐标为 1，所以 f(1)4.所以 1abc4，得 c5.(2)由(1)可得 f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令 f(x)0，解得 x12，x223.当 x 变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)2(2，23)23(23，1)1f(x)00f(x)81395274所以 yf(x)在3,1上的最大值为 13，最小值为9527.11设 lnf xx，g xf xfx(1)求 g(x)的单调区间和最小值(2)求 a 的取值范围，使得 1g ag xa对任意0 x 成立解：(1)由题设知 f(x)1x，g(x)ln x1x，所以 g(x)x1x2.令 g(x)0，得 x1.当 x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是 g(x)的单调递增区间因此 x1 是 g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 g(1)1.(2)由(1)知 g(x)的最小值为 1，所以 g(a)g(x)0 成立g(a)11a，即 ln a1，得 0ae，所以实数 a 的取值范围为(0，e)12(2016武汉调研)已知函数 2lnf xaxbxx（0,abR）(1)设 a1，b1，求 f(x)的单调区间；(2)若对任意的0 x，1f xf，试比较 ln a 与2b 的大小解：(1)由 f(x)ax2bxln x，x(0，)，得 f(x)2ax2bx1x.a1，b1，f(x)2x2x1x2x1x1x(x0)令 f(x)0，得 x1.当 0 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)的单调递减区间是(0,1)，f(x)的单调递增区间是(1，)(2)由题意可知，f(x)在 x1 处取得最小值，即 x1 是 f(x)的极值点，f(1)0，2ab1，即 b12a.令 g(x)24xln x(x0)，则 g(x)14xx.令 g(x)0，得 x14.当 0 x14时，g(x)0，g(x)单调递增，当 x14时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g(14)1ln 141ln 40，g(a)0，即 24aln a2bln a0，故 ln a2b.