1、5.2.3简单复合函数的导数学习目标1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则知识点复合函数的导数1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)思考函数ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？答案函数ylog2(x1)是由ylog2u及ux1两个函数复合而成的2复合函数的求导法则一般地，对于由函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf(g(x)，它的导数与函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，
2、即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积1ycos 3x由函数ycos u，u3x复合而成( )2函数f(x)sin(2x)的导数为f(x)cos 2x.()3函数f(x)e2x1的导数为f(x)2e2x1.()一、求复合函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y； (2)ycos(x2)； (3)ylog2(2x1)； (4)ye3x2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y； (2)y5log2
3、(1x)； (3)ysin.二、复合函数与导数的运算法则的综合应用例2求下列函数的导数：(1)y； (2)yx； (3)yxcossin.反思感悟(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导跟踪训练2求下列函数的导数：(1)ysin2； (2)ysin3xsin x3； (3)yx
4、ln(1x)三、与切线有关的综合问题例3(1)曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()A. B2 C3 D0(2)设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切求a，b的值反思感悟(1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内跟踪训练3(1)已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底
5、数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，则k的值为 (2)设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a .该切线与坐标轴围成的面积为 1(多选)函数y(x21)n的复合过程正确的是()Ayun，ux21 By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)n D.
6、tx21, ytn2函数y(2 0208x)3的导数y等于()A3(2 0208x)2 B24xC24(2 0208x)2 D24(2 0208x)23函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2x4已知f(x)ln(3x1)，则f(1) .5曲线 yln(2x)在点(1,0)处的切线方程为 &nb
7、sp; 1知识清单：(1)复合函数的概念(2)复合函数的求导法则2方法归纳：转化法3常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化1(多选)下列函数是复合函数的是()Ayx31 BycosCy Dy(2x3)42函数yxln(2x5)的导数为()Aln(2x5) Bln(2x5)C2xln(2x5) D.3函数yx3ecos x的导数为()Ay3x2ecos xx3ecos xBy3x2ecos xx3ecos xsin xCy3x2ecos xx3esin xDy3
8、x2ecos xx3ecos xsin x4曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e Be C2 D15已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2 C1 D2由此得x010，x01，a2.6函数ysin 2xcos 3x的导数是 7已知函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)
9、fsin 3xcos 3x，则f .8点P是f(x)(x1)2上任意一点，则点P到直线yx1的最短距离是 ，此时点P的坐标为 9求下列函数的导数：(1)yln(exx2)； (2)y102x3； (3)ysin4xcos 4x.10曲线yesin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l
10、的距离为，求直线l的方程11曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D112(多选)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值可以是()A. B. C. D. 13设函数f(x)cos(x)(0<<)，若f(x)f(x)是奇函数，则 0="" 1="" 2="" 3="" 4="" .="" f="" a
11、.="" c.="" xsin="" 3.="" cos="" sin="" 2.="" 2cos.="" ln="" xcossin="" 2xcos="" 4x.="" x.="" 2sin="" 3sin2xcos="" 3x2="" 3x2cos=""
12、 x3.="" a="" y="" 1.="" 0.="" ad="" c="" b="" 2x2sin="" 2x.="" bcd="" ecos="" 3x2ecos="" x3ecos="" 2cos="" 3sin="" 2xsin="" 3x=&qu
13、ot;" 3x.="" 3cos="" u.="" 3ln="" 10.="" 2sin2="" cos2="" sin2="" esin="" xcos="" cd="" ex="">0，所以ex2(当且仅当x0时取等号)，所以y1,0)，所以tan 1,0)又因为0，)，所以.13.答案解析f(x)sin(x)，f(x)f(x)cos(x
14、)sin(x)，令g(x)cos(x)sin(x)，其为奇函数，g(0)0，即cos sin 0，tan ，又0<<，.14.答案y2x1解析设x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)为偶函数，所以f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，所以切线方程为y2x1.15.答案D解析由f ，得f(x)，从而f(x)，故选D.16.解(1)f(x)exsin x，f(x)exsin xexcos xex(sin xcos x)f(2)设切点坐标为P(x0，y0)，由题意可知又y，0.解得x00，此时y01.即该点的坐标为P(0,1)，切线方程为y10.
