1、学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的 关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一函数极值的定义1.极小值点与极小值若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)，而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数yf(x)的极小值点，叫做函数yf(x)的极小值.2.极大值点与极大值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数yf(x
2、)的极大值点，叫做函数yf(x)的极大值.3.极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 .0f(x)0af(a)0f(x)0f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是 ；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是 .2.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f(x)；(2)求方程 的根；极大值极小值f(x)0(3)列表；(4)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.1.导数为0的点一定是极值点.()2.函数的极大值一定大于极小值.()3.函数yf(x)一定有极大值和极小值.()4.函数的极值点是自变量的值，极
3、值是函数值.()思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU2题型探究PART TWO一、求函数的极值例1求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；解f(x)3x26x9，令f(x)0，即3x26x90，解得x11，x23.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值当x1时，函数yf(x)有极大值，且f(1)10；当x3时，函数yf(x)有极小值，且f(3)22.(2)f(x)xaln x(aR).解f(x)xaln x的定义域为(0，)，当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0
4、，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.反思感悟函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程f(x)0的根.(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.解函数f(x)的定义域为R.令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(
5、x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可以看出，当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3；当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.解函数的定义域为x|x0，当a0时，显然f(x)0，这时函数f(x)在区间(，0)，(0，)上均单调递增，此时函数无极值.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：综上，当a0时，函数f(x)无极值；二、由极值求参数的值或取值范围例2(1)若函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则a_，b_.411解析f(x)3x22axb，但由于当a3，b3时，f(x)3x26x33(x
6、1)20，故f(x)在R上单调递增，不可能在x1处取得极值，而当a4，b11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，11.解f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.故实数m的取值范围是(3，).反思感悟已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f(
7、x)0或f(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.若函数的极大值点是1，求a的值；解f(x)x22xa，由题意得，f(1)12a0，解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值，故a3.若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围.解由题意得，方程x22xa0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2a0；在区间(0，)上，y0.故当x0时，函数yxex取得极大值.2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数yf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有
8、极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)12345678910 11 12 13 14 15 16解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.12345678910 11 12 13 14 15 163.函数f(x)ln xx在区间(0，e)上的极大值为A.e B.1C.1e D.012345678910 11 12 13 14 15 16令f(x)0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，e)
9、时，f(x)0，解得a6或a3.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得2x1.所以f(x)在(，2)，(1，)上单调递减，在(2,1)上单调递增，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 167.设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点，则常数a_.12345678910 11 12 13 14 15 1613解析f(x)x22bxc，12345678910 11 12 13 14 15 16若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1
10、)，当3x0，当x1时，f(x)0，12345678910 11 12 13 14 15 16故b1，c3即为所求.(1)求a的值；由题意知，曲线在x1处的切线斜率为0，即f(1)0，12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求函数f(x)的极值.12345678910 11 12 13 14 15 16当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上单调递增.故f(x)在x1处取得极小值，极小值为f(1)3，无极大值.12345678910 11 12 13 14 15 1610.设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；解f(x)3x22x1.
11、当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，曲线yf(x)与x轴至少有一个交点.12345678910 11 12 13 14 15 16曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0，12345678910 11 12 13 14 15 1611.设函数f(x)在R上可导，其导函数
12、为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是综合运用12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为f(x)在x2处取得极小值，所以当x2时，f(x)单调递减，即f(x)0；当x2时，f(x)单调递增，即f(x)0.所以当x2时，yxf(x)0；当x2时，yxf(x)0；当2x0时，yxf(x)0；当x0时，yxf(x)0；当x0时，yxf(x)0.结合选项中的图象知选C.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612.函数yxex在其极值点处的切线方程为_.解析由题意知
13、yexxex，令y0，解得x1，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，12345678910 11 12 13 14 15 1613.若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_.1,5)12345678910 11 12 13 14 15 16解析f(x)3x22xa，函数f(x)在区间(1,1)上恰有一个极值点，即f(x)0在(1,1)内恰有一个根.1a5.14.若函数f(x)x33ax1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为_.(0,1)解析f(x)3x23a.当a0时，在区间(0,1)上无极值.12345678910 11 12 13 14
14、15 16解得0a1.15.已知函数f(x)ax3bx2cx的图象如图所示，且f(x)在xx0与x2处取得极值，则f(1)f(1)的值一定A.等于0 B.大于0C.小于0 D.小于或等于0拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 16解析f(x)3ax22bxc.令f(x)0，则x0和2是该方程的根.12345678910 11 12 13 14 15 16由题图知，f(x)0，则b0，f(1)f(1)2b，f(1)f(1)0.12345678910 11 12 13 14 15 16解因为f(x)x22(a1)x4a，12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求函数f(x)的单调递增区间；解因为f(x)x22(a1)x4a(x2a)(x2)，令f(x)0，得x2a或x2.当a1时，f(x)的单调递增区间为(，2)，(2a，)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(，)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(，2a)，(2，).(3)若函数f(x)在(1,1)上只有一个极值点，求实数a的取值范围.12345678910 11 12 13 14 15 16
