新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册导数导学案（全册9份打包）.rar

章末复习课章末复习课 一、导数几何意义的应用1导数的几何意义，作为数形结合的桥梁，成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档2通过求切线方程的有关问题，培养数学运算，数学抽象等核心素养例 1设函数 f(x)13x3ax29x1(a0)，直线 l 是曲线 yf(x)的一条切线，当 l 的斜率最小时，直线 l 与直线 10 xy6 平行(1)求 a 的值；(2)求 f(x)在 x3 处的切线方程反思感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点(x0，y0)的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，若不是切点可先设切点为 Q(x1，y1)，由y0y1x0 x1f(x1)和 y1f(x1)，求出 x1，y1的值，转化为第一种类型跟踪训练 1已知直线 ykxb 与曲线 yx3ax1 相切于点(2,3)，则 b_.二、函数的单调性、极值、最值问题1利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题.是最近几年高考的重点内容，难度中高档2通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养例 2已知函数 f(x)ln xmx(mR)(1)当 m2 时，求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)若函数 f(x)在区间1，e上取得最小值 4，求 m 的值反思感悟(1)极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质另外，函数有极值未必有最值，反之亦然(2)判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：确定函数 f(x)的定义域；解方程 f(x)0 的根；检验 f(x)0 的根的两侧 f(x)的符号：若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值跟踪训练 2设函数 f(x)13x3x2mx.(1)若 f(x)在(0，)上存在单调递减区间，求 m 的取值范围；(2)若 x1 是函数的极值点，求函数 f(x)在0,5上的最小值三、导数在实际问题中的应用1 以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间 导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档2通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，提升逻辑推理及数学运算等核心素养例 3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大反思感悟(1)应用导数解决实际问题的关键是认真分析题意，建立函数模型由于是实际问题，要注意根据问题的实际情况，确定函数的定义域(2)根据所建立的函数模型，用导数求最大、最小值跟踪训练 3不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援某市有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至该市，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为 10 海里/小时时，燃料费是 6 元/小时，而其他与速度无关的费用是 96 元/小时，问当轮船的速度是多少时，航行 1 海里所需的费用总和最小？四、函数方程问题1 从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解一般出现在高考题解答题中，难度中高档2通过解决函数方程问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养例 4设函数 f(x)x36x5，xR.(1)求 f(x)的极值点；(2)若关于 x 的方程 f(x)a 有 3 个不同的实根，求实数 a 的取值范围；(3)已知当 x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数 k 的取值范围反思感悟讨论方程根的个数、研究函数图象与 x 轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解跟踪训练 4已知函数 f(x)ex1xa，aR，试讨论函数 f(x)的零点个数1(2019全国)已知曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b12(2020全国)函数 f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x13(2020全国)设函数 f(x)exxa.若 f(1)e4，则 a_.4(2019全国)曲线 y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_5(2019全国)已知函数 f(x)2x3ax2b.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)是否存在 a，b，使得 f(x)在区间0,1上的最小值为1 且最大值为 1？若存在，求出 a，b的所有值；若不存在，说明理由参考答案参考答案例 1解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知a2910，a1 或 a1(舍去)故 a1.(2)由(1)得 a1，f(x)x22x9，则 kf(3)6，f(3)10.f(x)在 x3 处的切线方程为 y106(x3)，即 6xy280.答案15跟踪训练 1 解析设 f(x)x3ax1，由题意知 f(2)3，则 a3.f(x)x33x1，f(x)3x23，f(2)32239k，又点(2,3)在直线 y9xb 上，b39215.例 2 解(1)当 m2 时，f(x)ln x2x(x0)，则 f(x)x2x2，当 x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(0,2)，极小值为 f(2)ln 21，无极大值(2)f(x)xmx2，当 m1 时，f(x)0，x1，e，f(x)在1，e上单调递增，f(x)minf(1)m4，解得 m4，不满足 m1，故舍去当em1 时，x(1，m)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)minf(m)ln(m)14，解得 me3，不满足em1，故舍去当 me 时，f(x)0，x1，e，f(x)在1，e上单调递减，f(x)minf(e)1me4，解得 m3e，满足 me.综上 m3e.跟踪训练 2解(1)f(x)x22xm，由题意可知，f(x)x22xmx22x，则 m1，即 m 的取值范围为(1，)(2)因为 f(1)12m0，所以 m3.所以 f(x)x22x3，令 f(x)0，解得 x1 或 x3.所以当 x(0,3)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增所以函数 f(x)在0,5上的最小值为 f(3)9999.例 3 解(1)因为蓄水池侧面的建造成本为 1002rh200rh(元)，底面的建造成本为 160r2元，所以蓄水池的总建造成本为(200rh160r2)元，又 200rh160r212 000，所以 h15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)因为 r0，又由 h0 可得 r0，故 V(r)在(0,5)上单调递增；当 r(5,53)时，V(r)0)所以 y0.012v96v20.012v2(v38 000)令 y0，解得 v20.因为当 0v20 时，y20 时，y0，所以当 v20 时，y 取得最小值故当轮船的速度为 20 海里/小时时，航行 1 海里所需费用总和最小例 4解(1)f(x)3(x22)，令 f(x)0，得 x12，x22.当 x(，2)(2，)时，f(x)0，当 x(2，2)时，f(x)0，因此 x12，x22分别为 f(x)的极大值点、极小值点(2)由(1)可知 yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示要使直线 ya 与 yf(x)的图象有 3 个不同的交点，需 542f(2)af(2)542.则方程 f(x)a 有 3 个不同的实根时，所求实数 a 的取值范围为(542，542)(3)方法一f(x)k(x1)，即(x1)(x2x5)k(x1)，因为 x1，所以 kx2x5 在(1，)上恒成立，令 g(x)x2x5，由二次函数的性质得 g(x)在(1，)上是单调递增，所以 g(x)g(1)3，所以所求 k 的取值范围为(，3方法二直线 yk(x1)过定点(1,0)且 f(1)0，曲线 f(x)在点(1,0)处的切线斜率 f(1)3，由(2)中草图知，要使 x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，需 k3.故实数 k 的取值范围为(，3跟踪训练 4 解函数 f(x)的定义域为x|xa(1)当 xa 时，ex0，xa0，f(x)0，即 f(x)在(a，)上无零点(2)当 xa 时，f(x)exxa1xa，令 g(x)ex(xa)1，则 g(x)ex(xa1)由 g(x)0 得 xa1.当 xa1 时，g(x)0；当 xa1 时，g(x)0，g(x)在(，a1)上单调递减，在(a1，a)上单调递增，g(x)ming(a1)1ea1.当 a1 时，g(a1)0，则 xa1 是 f(x)的唯一零点；当 a1 时，g(a1)1ea10，则 f(x)没有零点；当 a1 时，g(a1)1ea10，则 f(x)有两个零点1.答案D解析因为 yaexln x1，所以 y|x1ae1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为 yae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1，所以Error!Error!解得Error!Error!2.答案B解析f(1)121，切点坐标为(1，1)，f(x)4x36x2，所以切线的斜率为 kf(1)4136122，切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.3.答案1解析f(x)exxa1xa2，f(1)ae1a2e4，即a1a214，解得 a1.4.答案y3x解析因为 y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率 ky|x03，所以所求的切线方程为 y3x.5.解(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令 f(x)0，得 x0 或 xa3.若 a0，则当 x(，0)(a3，)时，f(x)0；当 x(0，a3)时，f(x)0.故 f(x)在(，0)，(a3，)上单调递增，在(0，a3)上单调递减；若 a0，则 f(x)在(，)上单调递增；若 a0；当 x(a3，0)时，f(x)0.故 f(x)在(，a3)，(0，)上单调递增，在(a3，0)上单调递减(2)满足题设条件的 a，b 存在理由如下当 a0 时，由(1)知，f(x)在0,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)b1，最大值为 f(1)2ab1.解得 a0，b1，此时 a，b 满足条件当 a3 时，由(1)知，f(x)在0,1上单调递减，所以 f(x)在区间0,1上的最大值为 f(0)b1，最小值为 f(1)2ab1.解得 a4，b1，此时 a，b 满足条件当 0a3 时，由(1)知，f(x)在0,1上的最小值为f(a3)a327b，最大值为 b 或 2ab.若a327b1，b1，则 a332，与 0a3 矛盾若a327b1,2ab1，则 a33或 a33或 a0，与 0a3 矛盾综上，当 a0，b1 或 a4，b1 时，f(x)在0,1上的最小值为1，最大值为 1.5.1导数的概念及其意义导数的概念及其意义第第 1 课时变化率问题和导数的概念课时变化率问题和导数的概念学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数知识点一瞬时速度瞬时速度的定义(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(2)一般地，设物体的运动规律是 ss(t)，则物体在 t0到 t0t 这段时间内的平均速度为stst0tst0t.如果 t 无限趋近于 0 时，st无限趋近于某个常数 v，我们就说当 t 无限趋近于 0 时，st的极限是 v，这时 v 就是物体在时刻 tt0时的瞬时速度，即瞬时速度 vlim t0 stlim t0 st0tst0t.知识点二函数的平均变化率对于函数 yf(x)，设自变量 x 从 x0变化到 x0 x，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0 x)这时，x 的变化量为 x，y 的变化量为 yf(x0 x)f(x0)我们把比值yx，即yxfx0 xfx0 x叫做函数 yf(x)从 x0到 x0 x 的平均变化率知识点三函数在某点处的导数如果当 x0 时，平均变化率yx无限趋近于一个确定的值，即yx有极限，则称 yf(x)在 xx0处可导，并把这个确定的值叫做 yf(x)在 xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 f(x0)或0=|x xy，即 f(x0)lim x0 yxlim x0 fx0 xfx0 x.1在平均变化率中，函数值的增量为正值()2瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量()3函数 yf(x)在 xx0处的导数值与 x 的正、负无关()4设 xx0 x，则 xxx0，当 x 趋近于 0 时，x 趋近于 x0，因此，f(x0)lim x0 fx0 xfx0 x0limxx fxfx0 xx0.()一、函数的平均变化率例 1(1)函数 y1x从 x1 到 x2 的平均变化率为()A1 B12 C2 D2(2)已知函数 y3xx2在 x02 处的增量为 x0.1，则yx的值为()A0.11 B1.1 C3.89 D0.29(3)汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为 v1，v2，v3，则三者的大小关系为_反思感悟求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量 yf(x2)f(x1)(2)再计算自变量的改变量 xx2x1.(3)得平均变化率yxfx2fx1x2x1.跟踪训练 1已知函数 f(x)3x25，求 f(x)：(1)从 0.1 到 0.2 的平均变化率；(2)在区间x0，x0 x上的平均变化率二、求瞬时速度例 2 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)3tt2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在 t2 时的瞬时速度反思感悟求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求位移改变量 ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度vst.(3)求瞬时速度，当 t 无限趋近于 0 时，st无限趋近于的常数 v 即为瞬时速度，即 vlim t0 st.跟踪训练 2(1)一物体的运动方程为 s7t213t8，且在 tt0时的瞬时速度为 1，则 t0_.(2)一质点 M 按运动方程 s(t)at21 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点 M 在t2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值三、求函数在某点处的导数例 3求函数 yx1x在 x1 处的导数反思感悟用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量 yf(x0 x)f(x0)(2)求平均变化率yxfx0 xfx0 x.(3)求极限lim x0 yx.跟踪训练 3(1)f(x)x2在 x1 处的导数为()A2x B2 C2x D1(2)已知 f(x)2x，且 f(m)12，则 m 的值等于()A4 B2 C2 D21函数 y1 在2,2x上的平均变化率是()A0 B1 C2 Dx2已知函数 f(x)2x24 的图象上两点 A，B，且 xA1，xB1.1，则函数 f(x)从 A 点到 B 点的平均变化率为()A4 B4x C4.2 D4.023物体运动方程为 s(t)3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若 vlim t0 s3ts3t18 m/s，则下列说法中正确的是()A18 m/s 是物体从开始到 3 s 这段时间内的平均速度B18 m/s 是物体从 3 s 到(3t)s 这段时间内的速度C18 m/s 是物体在 3 s 这一时刻的瞬时速度D18 m/s 是物体从 3 s 到(3t)s 这段时间内的平均速度4一物体做直线运动，其运动方程为 s(t)t22t，则 t0 时，其速度为()A2 B1 C0 D25设函数 f(x)ax3，若 f(1)3，则 a_.1知识清单：(1)平均变化率(2)瞬时速度(3)函数在某点处的导数2方法归纳：极限法、定义法3常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位1已知函数 y21x，当 x 由 1 变到 2 时，函数的增量 y 等于()A.12 B12 C1 D12函数 f(x)5x3 在区间a，b上的平均变化率为()A3 B4 C5 D63一质点的运动方程为 s53t2，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在 t1 时的瞬时速度是()A3 B3 C6 D64已知 f(x)x23x，则 f(0)等于()Ax3 B(x)23xC3 D05(多选)设 f(x)t2x，若 f(1)4，则 t 的值是()A2 B1 C1 D26函数 f(x)x2x 在区间2，t上的平均变化率是 2，则 t_.7一物体位移 s 和时间 t 的关系是 s2t3t2，则物体的初速度是_8若可导函数 f(x)的图象过原点，且满足lim x0 fxx1，则 f(0)_.9若函数 f(x)ax2c，且 f(1)2，求 a 的值10某物体按照 s(t)3t22t4(s 的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到 4 s 时物体的运动的平均速度和 4 s 时的瞬时速度11(多选)如图显示物体甲、乙在时间 0 到 t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是()A在 0 到 t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B在 0 到 t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C在 t0到 t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D在 t0到 t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度12A，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量 W1(t)，W2(t)与时间 t(天)的关系如图所示，则一定有()A两机关节能效果一样好BA 机关比 B 机关节能效果好CA 机关的用电量在0，t0上的平均变化率比 B 机关的用电量在0，t0上的平均变化率大DA 机关与 B机关自节能以来用电量总是一样大13设函数 f(x)可导，则lim x0 f1xf13x等于()Af(1)B3f(1)C.13 f(1)Df(3)14如图所示，函数 yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是_15将半径为 R 的球加热，若半径从 R1 到 Rm 时球的体积膨胀率为283，则 m 的值为_16若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)sf(t)Error!求：(1)物体在 t3,5内的平均速度；(2)物体在 t1 时的瞬时速度参考答案参考答案例 1.（1）答案B解析平均变化率为yx1212112.（2）答案B解析yf(20.1)f(2)(32.12.12)(3222)0.11，yx0.110.11.1.（3）答案v1v2v3解析由平均变化率的几何意义知：v1kOA，v2kAB，v3kBC，由图象知：kOAkABkBC，即 v1v2s1s0，t1t00，所以s2s0t1t0s1s0t1t0，故 C 正确，D 错误12.答案B解析由题图可知，A，B 两机关用电量在0，t0上的平均变化率都小于 0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在0，t0上的平均变化率小于 B 机关的平均变化率，从而 A 机关比 B 机关节能效果好13.答案C解析lim x0 f1xf13x13lim x0 f1xf1x13 f(1)14.答案x3，x4解析由平均变化率的定义可知，函数 yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上的平均变化率分别为fx2fx1x2x1，fx3fx2x3x2，fx4fx3x4x3，结合图象可以发现函数 yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x415.答案2解析体积的增加量 V43m34343(m31)，所以VR43m31m1283，所以 m2m17，所以 m2 或 m3(舍)16.解(1)因为物体在 t3,5内的时间变化量为 t532，位移变化量为 s3522(3322)3(5232)48，所以物体在 t3,5内的平均速度为st48224 m/s.即物体在 t3,5内的平均速度为 24 m/s.(2)物体在 t1 时的瞬时速度即为物体在 t1 处位移的瞬时变化率，因为物体在 t1 附近位移的平均变化率为stf1tf1t2931t32293132t3t12，所以物体在 t1 处位移的瞬时变化率为lim t0 stlim t0(3t12)12，即物体在 t1 时的瞬时速度为12 m/s.第第 2 课时导数的几何意义课时导数的几何意义学习目标1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程知识点一导数的几何意义1割线斜率与切线斜率设函数 yf(x)的图象如图所示，直线 AB 是过点 A(x0，f(x0)与点 B(x0 x，f(x0 x)的一条割线，此割线的斜率是yxfx0 xfx0 x.当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的极限位置为直线 AD，直线 AD 叫做此曲线在点 A 处的切线于是，当 x0 时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A 的切线 AD的斜率 k，即 kf(x0)lim x0 fx0 xfx0 x.2导数的几何意义函数 yf(x)在点 xx0处的导数的几何意义是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 也就是说，曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 f(x0)相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)知识点二导函数的定义从求函数 f(x)在 xx0处导数的过程可以看出，当 xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数这样，当 x 变化时，yf(x)就是 x 的函数，我们称它为 yf(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数记作 f(x)或 y，即 f(x)ylim x0 fxxfxx.特别提醒：区别联系f(x0)f(x0)是具体的值，是数值f(x)f(x)是函数 f(x)在某区间 I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数在 xx0处的导数 f(x0)是导函数 f(x)在 xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值1函数在某点处的导数 f(x0)是一个常数()2函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在点 xx0处的函数值()3函数 f(x)0 没有导数()4直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点()一、求切线方程例 1已知曲线 C：yf(x)x3x.(1)求曲线 C 在点(1,2)处切线的方程；(2)设曲线 C 上任意一点处切线的倾斜角为，求 的取值范围反思感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练 1曲线 yx21 在点 P(2,5)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是_二、求切点坐标例 2过曲线 yx2上某点 P 的切线满足下列条件，分别求出 P 点(1)平行于直线 y4x5；(2)垂直于直线 2x6y50；(3)与 x 轴成 135的倾斜角反思感悟求切点坐标的一般步骤(1)设出切点坐标(2)利用导数或斜率公式求出斜率(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标跟踪训练 2已知曲线 f(x)x21 在 xx0处的切线与曲线 g(x)1x3在 xx0处的切线互相平行，求 x0的值三、利用图象理解导数的几何意义例 3已知函数 f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(2)f(3)f(2)f(3)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)0 说明曲线在 x0处的切线的斜率为正值，从而得出在 x0附近曲线是上升的；f(x0)0 说明在 x0附近曲线是下降的(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢跟踪训练 3若函数 yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数 yf(x)在区间a，b上的图象可能是()过某点的曲线的切线典例求过点(1,0)与曲线 yx2x1 相切的直线方程素养提升(1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点(2)过点(x1，y1)与曲线 yf(x)相切的直线方程的求法步骤设切点(x0，f(x0)建立方程 f(x0)y1fx0 x1x0.解方程得 kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法体现了直观想象和数学运算的数学核心素养1已知曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 2xy20，则 f(1)等于()A4 B4 C2 D22(多选)下面说法不正确的是()A若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则 f(x0)必存在C若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则 f(x0)有可能存在3曲线 f(x)9x在点(3,3)处的切线的倾斜角 等于()A45 B60 C135 D1204已知曲线 y2x24x 在点 P 处的切线斜率为 16，则 P 点坐标为_5已知直线 y4xa(a0，f(x2)0，则在 x1和 x2附近符合条件的 f(x)的图象大致是()5(多选)下列各点中，在曲线 yx32x 上，且在该点处的切线倾斜角为4的是()A(0,0)B(1，1)C(1,1)D(1,1)6已知函数 yf(x)在点(2,1)处的切线与直线 3xy20 平行，则 y|x2_.7已知 f(x)x2ax，f(1)4，曲线 f(x)在 x1 处的切线在 y 轴上的截距为1，则实数 a的值为_8设 f(x)存在导函数，且满足lim x0 f1f12x2x1，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为_9在抛物线 yx2上哪一点处的切线平行于直线 4xy10？哪一点处的切线垂直于这条直线？10已知直线 l1为曲线 yx2x2 在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且 l1l2，求直线 l2的方程11若曲线 yx1x上任意一点 P 处的切线斜率为 k，则 k 的取值范围是()A(，1)B(1,1)C(，1)D(1，)12已知函数 yax2b 在点(1,3)处的切线斜率为 2，则 a_，b_.13若点 P 是抛物线 yx2上任意一点，则点 P 到直线 yx2 的最小距离为_14若抛物线 yx2xc 上一点 P 的横坐标是2，在点 P 处的切线恰好过坐标原点，则实数 c 的值为_15已 知 函 数 f(x)x3，过 点 P(23，0)作 曲 线 f(x)的 切 线，则 其 切 线 方 程 为_16点 P 在曲线 f(x)x21 上，且曲线在点 P 处的切线与曲线 y2x21 相切，求点 P 的坐标参考答案参考答案例 1解因为yxxx3xxx3xx3x23xx1(x)2，所以 f(x)lim x0 yxlim x03x23xx1(x)23x21.(1)曲线 C 在点(1,2)处切线的斜率为 kf(1)31214.所以曲线 C 在点(1,2)处的切线方程为 y24(x1)，即 4xy20.(2)曲线 C 在任意一点处切线的斜率为 kf(x)tan，所以 tan 3x211.又 0，)，所以 4，2).跟踪训练 1答案3解析y|x2lim x0 yxlim x0 2x21221xlim x0(4x)4，ky|x24.曲线 yx21 在点 P(2,5)处的切线方程为 y54(x2)，即 y4x3.切线与 y 轴交点的纵坐标是3.例 2解f(x)lim x0 fxxfxxlim x0 xx2x2x2x，设 P(x0，y0)是满足条件的点(1)切线与直线 y4x5 平行，2x04，x02，y04，即 P(2,4)是满足条件的点(2)切线与直线 2x6y50 垂直，2x0131，得 x032，y094，即 P(32，94)是满足条件的点(3)切线与 x 轴成 135的倾斜角，其斜率为1.即 2x01，得 x012，y014，即 P(12，14)是满足条件的点跟踪训练 2解对于曲线 f(x)x21，k1lim x0 fx0 xfx0 x2x0.对于曲线 g(x)1x3，k2lim x0 gx0 xgx0 xlim x0 1x0 x31x3 0 x3x2 0.由题意得 2x03x2 0，解得 x00 或 x023.经检验，均符合题意例 3 答案C解析kABf3f232f(3)f(2)，f(2)为函数 f(x)的图象在点 B(2，f(2)处的切线的斜率，f(3)为函数 f(x)的图象在点 A(3，f(3)处的切线的斜率，根据图象可知 0f(3)f(3)f(2)f(2)跟踪训练 3 答案A解析依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数 f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着 x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有 A 满足1.解设切点为(x0，x2 0 x01)，则切线的斜率为klim x0 x0 x2x0 x1x2 0 x01x2x01.又 kx2 0 x010 x01x2 0 x01x01，2x01x2 0 x01x01.解得 x00 或 x02.当 x00 时，切线斜率 k1，过(1,0)的切线方程为y0 x1，即 xy10.当 x02 时，切线斜率 k3，过(1,0)的切线方程为 y03(x1)，即 3xy30.故所求切线方程为 xy10 或 3xy30.1.答案D解析由导数的几何意义知 f(1)2.2.答案ABD解析根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故 A，B，D 错误3.答案C解析f(x)lim x0 fxxfxx9lim x0 1xx1xx9lim x0 1xxx9x2，所以 f(3)1.又切线的倾斜角 的范围为 00，f(x2)0 可知，f(x)的图象在 x1处切线的斜率为正，在 x2处切线的斜率为负5.答案BC解析设切点坐标为(x0，y0)，则0=|x xylim x0 x0 x32x0 xx3 02x0 x3x2 02tan 41，所以 x01，当 x01 时，y01.当 x01 时，y01.6.答案3解析因为直线 3xy20 的斜率为 3，所以由导数的几何意义可知 y|x23.7.答案2解析由导数的几何意义，得切线的斜率为 kf(1)4.又切线在 y 轴上的截距为1，所以曲线 f(x)在 x1 处的切线方程为 y4x1，从而可得切点坐标为(1,3)，所以 f(1)1a3，即 a2.8.答案1解析lim x0 f1f12x2xlim x0 f12xf12xf(1)1.9.解ylim x0 xx2x2xlim x0(2xx)2x.设抛物线上点 P(x0，y0)处的切线平行于直线 4xy10，则0=|x xy2x04，解得 x02，所以 y0 x2 04，即 P(2,4)，经检验，符合题意设抛物线上点 Q(x1，y1)处的切线垂直于直线 4xy10，则1=|x xy2x114，解得 x118，所以 y1x2 1164，即 Q(18，164)，经检验，符合题意故抛物线 yx2在点(2,4)处的切线平行于直线 4xy10，在点(18，164)处的切线垂直于直线 4xy10.10.解因为 ylim x0 yxlim x0 xx2xx2x2x2x2x1，所以 y|x13，所以直线 l1的方程为 y3(x1)，即 y3x3，设直线 l2过曲线 yx2x2 上的点 P(x0，x2 0 x02)，则直线 l2的方程为 y(x2 0 x02)(2x01)(xx0)因为 l1l2，所以 2x0113，x023，所以直线 l2的方程为 3x9y220.11.答案C解析yx1x上任意一点 P(x0，y0)处的切线斜率为k0=|x xylim x0 x0 x1x0 x(x01x0)xlim x0(11x2 0 x0 x)11x2 01.即 k1.12.答案12解析由题意知 ab3，又 y|x1lim x0 a1x2babx2a2，a1，b2.13.答案728解析由题意可得，当点 P 到直线 yx2 的距离最小时，点 P 为抛物线 yx2的一条切线的切点，且该切线平行于直线 yx2，设 yf(x)x2，由导数的几何意义知 yf(x)lim x0 fxxfxx2x1，解得 x12，所以 P(12，14)，故点 P 到直线 yx2 的最小距离为 d|12142|2728.14.答案4解析ylim x0 yx2x1，在点 P 处的切线斜率为 2(2)15.因为点 P 的横坐标是2，所以点 P 的纵坐标是 6c，故直线 OP 的斜率为6c2，根据题意有6c25，解得 c4.15.答案y0 或 3xy20解析设切点为 Q(x0，x3 0)，得切线的斜率为kf(x0)lim x0 x0 x3x3 0 x3x2 0，切线方程为 yx3 03x2 0(xx0)，即 y3x2 0 x2x3 0.因为切线过点 P(23，0)，所以 2x2 02x3 00，解得 x00 或 x01，从而切线方程为 y0 或 3xy20.16.解设 P(x0，y0)，则 y0 x2 01，f(x0)lim x0 x0 x21x2 01x2x0，所以过点 P 的切线方程为 yy02x0(xx0)，即 y2x0 x1x2 0，而此直线与曲线 y2x21 相切，所以切线与曲线 y2x21 只有一个公共点，由Error!Error!得 2x22x0 x2x2 00，则 4x2 08(2x2 0)0，解得 x0233，则 y073，所以点 P 的坐标为(233，73)或(233，73).5.2导数的运算导数的运算5.2.1基本初等函数的导数基本初等函数的导数学习目标1.能根据定义求函数 yc，yx，yx2，y1x，yx的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数知识点一几个常用函数的导数原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)x3f(x)3x2f(x)1xf(x)1x2f(x)xf(x)12x知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)x(Q，且 0)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0，且 a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且 a1)f(x)1xln af(x)ln xf(x)1x1若 y2，则 y1221.()2若 f(x)1x3，则 f(x)3x4.()3若 f(x)5x，则 f(x)5xlog5e.()4若 ysin 60，则 ycos 60.()一、利用导数公式求函数的导数例 1求下列函数的导数：(1)yx0；(2)y(13)x；(3)ylg x；(4)yx2x；(5)y2cos2x21.反思感悟(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导(2)若给出的函数解析式不符合