1、4.1 4.1 数列的概念数列的概念1.王芳从王芳从1岁到岁到17岁岁，每年生日那天测量身高每年生日那天测量身高，将这些将这些身高数据身高数据(单位单位：cm)依次排成一列数依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168 实例引入实例引入,iih记王芳第 岁时的身高为那么,.hhh12177587168.确定顺序的是具有一列数这2.在两河流域发掘的一块泥版在两河流域发掘的一块泥版(编号编号 K90,约产生于公元前约产生于公元前 7 世纪世纪)上上，有一列依次表示一个月中从第有一列依次表示一个月中从
2、第 1 天到第天到第 15 天每天月亮可见部分的数：天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240 注：把满月注：把满月分成分成240份，份，从初一到十从初一到十五每天月亮五每天月亮的可见部分的可见部分可用一个代可用一个代表份数的数表份数的数来表示来表示.910111312141512456783,iis记第 天的月亮可见部分的数那么,.sss1215510240.确定顺序的这是具有一列数也13.12342n、的 次幂按 次幂次幂次幂次幂依次排成一列数111124816，你能仿照上面你能仿照上面的叙述，说明也的叙
3、述，说明也是具有确定顺序的是具有确定顺序的一列数吗？一列数吗？归纳归纳:上面三个例子的共同特征是什么？上面三个例子的共同特征是什么？1(),2nna记的 次幂为那么,aaaa 1234111124816.确定顺序的这是具有一列数也定义：定义：按照一定顺序排列的一列数叫做按照一定顺序排列的一列数叫做 数列数列数列中的每一个数叫做这个数列的数列中的每一个数叫做这个数列的_.项项 数列中的数列中的每一项每一项都和它的都和它的序号序号有关，排在第一位的数称为这有关，排在第一位的数称为这个数列的个数列的第第1项项（），排在第二位的数称为这个数列的，排在第二位的数称为这个数列的第第2项项，排在第，排在第n
4、位的数称为这个数列这个数列的位的数称为这个数列这个数列的第第n项项.首项首项探究新知探究新知数列的一般形式可以写成：数列的一般形式可以写成：注注:右下角标表右下角标表示这一项在数列示这一项在数列中的中的位置序号位置序号123n1a2a3ana序号项数列是特殊的函数：数列是自变量为数列是自变量为离散的数离散的数的函数的函数 nnnaa由于数列中的与有下列每一项它的对的序号应关系：数列与函数的关系探究新知探究新知*(1 2N)()nnnannnf nRaa，所以数列是从正整数集 或它的有限子集到实数集 的函数其自变量是序号对应的函数值是数列的第项记为与其它函数一样，数列可以用表格和图象来表示 例如
5、数列：思考：思考：数列中的项数列中的项的大小随序号的变的大小随序号的变化趋势如何？化趋势如何？探究新知探究新知 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 摆动数列:从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于 它的前一项的数列 常数列：各项相等的数列与函数类似，我们可以定义数列的单调性：探究新知探究新知思考：思考：按数列中的项的个数如何进行分类？按数列中的项的个数如何进行分类？有穷数列：个数有限的的数列无穷数列：个数无限的的数列数 列 的 分 类说说下列数列是什么数列？说说下列数列是什么数列？小试牛刀小试牛刀()411111，(),
6、31 1 1 1 1 1 1(),1111111248 1632(5)23,21,18,20,20,22,21,19 递减数列摆动数列(2)1，3，5，7，9，11，递增数列常数列 摆动数列 无穷数列 无穷数列 无穷数列 有穷数列 有穷数列,321,161,81,41,21 如果数列如果数列an的的第第n项项与与序号序号n之间的关系可以之间的关系可以用用一个公式一个公式来表示，那么来表示，那么这个公式这个公式就叫做这个数列就叫做这个数列的的通项公式通项公式注意：并不是每个数列都能写出通项公式通项公式nna)21(探究新知探究新知意义意义：通项公式就是通项公式就是数列的函数解析式数列的函数解析式
7、，根据通项，根据通项公式可以公式可以写出数列的各项写出数列的各项.2511cos122nnnannnaa ,.；(2)例 根据下列数列的通项公式 写出数列的前 项 并画出它们的图象()典例分析典例分析解:.15,10,6,3,1)1(54321aaaaa.1,0,1,0,1)2(54321aaaaa(1)(2)4111120202324，：(1)，；(2)，根据下列数列的前项写出数列的一个例通项公式11nnan=()典例分析典例分析分析：12341 11 11-2 11 12-3 11 13-4 11 14-1 12 1314解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶
8、数项为负,所以它的一个通项公式是2 2 0 2 0，()分析：12341 111 2 111 3+111 4+111 0202解:(2)这个数列的奇数项是2，偶数项是0,所以它的一个通项公式是+111nna 注：用注：用(1)n或或(1)n1常常用来表示常常用来表示正负相间正负相间的变化规律的变化规律.分析：1.根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:11111223 3445,12341 11 111 1-2 11 1221-3 11 1331-4 11 1441-1 1 21 231 34145解：这个数列的前4项的分母都等于序号与序号加1的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个
9、通项公式是111nnan n小试牛刀小试牛刀 22,120,nnaann如果数列的通项公式为那么是不是这个数列的项例3？如果是 是 第几项？22120,nn令解:1012(),nn 解得或舍去120,10.na所以是数列的项 是第项典例分析典例分析本质上本质上:是要回答是要回答是否存在正整数是否存在正整数n，使得，使得n2+2n=120.通项公式也是数列的一种表示方法通项公式的作用：111124816，（1）数列 1，2，3，4，5，6，（2）数列 2，4，6，8，10，12，（3）数列 1，3，5，7，9，11，1.观察下列数列的观察下列数列的前前几几项项，写出，写出一个通项公式：一个通项公
10、式：（4）数列小试牛刀小试牛刀nna)21(21nan2nannan(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析观察分析，抓住，抓住以下几方面的以下几方面的特征特征：分式中分式中分子、分母分子、分母的特征；的特征；相邻项相邻项的变化特征；的变化特征；拆项拆项后的特征；后的特征；各项各项符号符号特征等，并对此进行归纳、联想特征等，并对此进行归纳、联想(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出，观察出项与序号之项与序号之间的关系、规律间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列，利用我们熟知的一些基本数列(
11、如自然数列、奇如自然数列、奇偶数列等偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(1)n或或(1)n1来调整来调整方法归纳：方法归纳：1.已知数列an的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它们的图象.(1)1nnan；(1)(2).2nnna课堂练习课堂练习onan1234560.10.30.50.70.9我们好孤单！我们好孤单！是一些孤立点nan123451223344556解:(1)1nnan，数列的前5项如下表所示：数列用图象表示时的特点 一系列孤立的点123456on0.10.3-0.5-0.1-0.3ann12345121418
12、116132是一些孤立点(1)(2)2nnna，数列的前5项如下表所示：na(1)2,4,(),16,32,(),128；(2)(),4,9,16,25,(),49；111 1(3)-1,(),-,()245 6；(4)1,2,(),2,5,(),7.86413631-71-36an=2nan=n21(1)nnan nan2.观察下面数列的特点，用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式：课堂练习课堂练习拓展探究拓展探究1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数数列的定义：按照一定顺序排列的一列数.（离散的数的函数）（离散的数的函数）2.数列的分类：数列的分类：（1）按项的大小：递增数列、递减数列、常数列）按项的大小：递增数列、递减数列、常数列（2）按项的个数：有穷数列、无穷数列）按项的个数：有穷数列、无穷数列3.数列的通项公式（不唯一）数列的通项公式（不唯一）课堂小结课堂小结
