1、5.1.2 5.1.2 导数的概念及导数的概念及其几何意义其几何意义问题1 高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度2()4.94.811h ttt(1)(1)4.95hthvtt 0(1)(1)lim5ththt 问题2 抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率2()f xx(1)(1)2fxfkxx 0(1)(1)lim2xfxfx 复习引入复习引入瞬时变化率瞬时变化率平均变化率平均变化率 这两类问题都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.问题问题1 解决这两类问题时有什么共性？探究新知探究新知问题问题2 一般地，对于函数 yf(x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究
2、其在某点(如 x x0）处的瞬时变化率吗？追问1：为了研究函数 yf(x)在 x x0 处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？探究新知探究新知 为了研究函数 yf(x)在 x x0 处的瞬时变化率，我们可以选取自变量 x 的一个改变量x，可以是正值，也可以是负值，但不为 0.计算自变量 x 从 x0变化到 x0+x 这个过程中函数值的平均变化率.追问2：函数 yf(x)的自变量 x 从 x0 变化到 x0+x 这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？探究新知探究新知00()()yf xxf xxx自变量 x：0 x0 xxx函数值 y：0()f xx 0()f x00(
3、)()yf xxf x 函数 yf(x)从 x0 到 的平均变化率：0 xx追问3：函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率该如何表示呢？探究新知探究新知无限趋近于00()()yf xxf xxxx00 x0 xx 无限趋近于无限趋近于？追问4：当x无限趋近于 0 时，平均变化率 是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？yx探究新知探究新知不一定(0)(0)|.yfxfxxxx考查 f(x)|x|在 x0 附近的变化情况.举反例：当 时，0 x 当 时，0 x 1.yxxx 1.yxxxxyO1 21234-1-2 f(x)|x|导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.概念形成概念形成导
4、数（瞬时变化率）定义：如果如果当当 无限趋近于无限趋近于 0 时，平均变化率时，平均变化率 无限趋近于一个确定的无限趋近于一个确定的值，值，即即 有极有极限限，则，则称称_，并把这个确定的值叫做并把这个确定的值叫做_(也称为也称为_),记作记作_或或_.用用极限符号极限符号表示这个定义，就是表示这个定义，就是_ xyxyx0()fx0|x xy00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx y f(x)在在x x0处处可导瞬时变化率 yf(x)在在xx0处的处的导数问题问题3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？探究新知探究新知问题1
5、高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度2()4.94.811h ttt(1)(1)4.95hthvtt 0(1)(1)lim5ththt 问题2 抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率2()f xx(1)(1)2fxfkxx 0(1)(1)lim2xfxfx 瞬时变化率瞬时变化率平均变化率平均变化率(1)h(1)f 实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率.比如效率、国内生产总值的增长率等.例1 设 ，求1()f xx(1).f 典例分析典例分析解：(1)(1)yfxfxxQ111xx1.1x 001(1)limlim()1xxyfxx 1.问题问题4 你能总结出求函数 yf(x)在 xx0
6、处导数的步骤吗？方法归纳方法归纳第一步，写出 并化简；00()()f xxf xyxx00()lim.xyfxx 第二步，求极限 ，若 存在，则0limxyx 0limxyx 巩固练习巩固练习1.设函数 f(x)在xx0处可导，若 ，则f(x0)=()A.1 B.-1 C.D.000(3)()lim1xf xxf xx 1313C2.设函数 f(x)在xx0处可导，若 ()A.f(x0)B.2 f(x0)C.-2 f(x0)D.0000()()limhf xhf xhhB3.设函数 f(x)x21.求：（1）当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率；（2）函数在 x1 处的导数
7、.解:（1）22(1.1)(1)1.11(11)0.212.11.1 10.10.1yffx（2）222(1)(1)(1)1(11)2+2+yfxfxxxxxxxxQ 00(1)limlim(2+)2xxyfxx 巩固练习巩固练习解:由导数的定义，知f(x)函数在 x1 处的导数为0(1)(1)(1)limxfxffx(1)(1)11111 fxfxxxxQ 4.设函数 在 x1 处的导数.()f xx011(1)lim211 xfx 因此函数 在 x1 处的导数为 .()f xx12巩固练习巩固练习例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第 x h时
8、，原油的温度（单位：）为 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.2()715(0 8).yf xxxx 典例分析典例分析导数是瞬时变化率的数学表达.追问1：这个实际问题与导数有什么关系？解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 和(2)f(6).f 22(2)7(2)15(27 2 15)xxx 3,x 00(2)limlim(3)xxyfxx 所以3.(2)(2)yfxfxx因为同理，(6)5.f 追问2：和 在这个实际问题中的意义是什么？(6)5f(2)3f 在本题中 是原油温度在时刻 x0 的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻 x0 附近的变化情况.
9、00()(08)fxx 表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为3/h.这说明在第2h附近，原油温度大约以3/h的速率下降.(2)3f 导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5/h的速率上升.(6)5f 导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为 yv(t)-t26t60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.追问1：速度与瞬时加速度的关系是什么？瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.典例分析典例分析解：在第2s和第6
10、s时，汽车的瞬时加速度就是 和(2)v(6).v22(2)6(2)60(26 260)ttt 2,t 00(2)limlim(2)ttyvtt 所以2.(2)(2)yvtvtt因为同理，(6)6.v 追问追问2：和 在这个实际问题中的意义是什么？(6)6v(2)2v 在本题中 是 t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在 t0时刻附近的变化情况.00()(0)v tt 表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.(2)2v导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势.表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度
11、每秒大约减少6m/s.(6)6v 导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势.瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率.5.一质点A沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t=2.7s时的瞬时速度.解：巩固练习巩固练习222(2.7)1(2 2.71)tt 00(2.7)limlim(10.8+)10.8ttyytt 所以(2.7)(2.7)yytytt因为10.82 t 因此质点A在t=2.7s时的瞬时速度为10.8m/s.课堂小结课堂小结第一步，写出 并化简；00()()f xxf xyxx00()lim.xyfxx 第二步，求极限 ，若 存在，则0limxyx 0limxyx 2.求函数 yf(x)在 xx0 处导数的步骤00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 1.导数的定义：
