1、5.1.1 5.1.1 变化率问题变化率问题1717世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分 牛顿偏重从物理问题出发，应用了运动学的原理，如瞬时速度中的“微分”、运动变量的“积分”等概念.莱布尼茨从几何学问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，比牛顿的更为规范和严密.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关1求物体在任意时刻的速度与加速度2求曲线的切线3求函数的最大值与最小值4求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（
2、小）值等性质的基本方法.导数的本质是什么？创设情境创设情境问题1 高台跳水运动员的速度问题1 高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：118.49.4)(2ttth 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？我们可以把整个运动时间段分成许多小段,用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.探究新知探究新知这段时间里，在5.00t这段时间里，在21 t05.0)0()5.0(hhv)/(35.2sm12)1()2(hhv)/(9.9sm这段时间里，在一般地21,ttt1212
3、)()(ttththv.8.4)(9.421tt问题1 高台跳水运动员的速度118.49.4)(2ttth请计算对应时间段的平均速度：要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度这段时间里，在49480t8.449489.4v.0再计算：问题1 高台跳水运动员的速度118.49.4)(2ttth思考：(1)(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)(2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗?(1)(1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态.(2)(2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态.思考：（1）瞬时速度与平均速度有什么关系？（2）你能利用这种关系求运动
4、员在 t=1s时的瞬时速度吗？瞬时速度：物体在某一时刻的速度为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.问题1 高台跳水运动员的速度1,11,1tt计算区间和区间内的.v平均速度)1(1)1()1(tthhv01,1,tt 当时 在区间内内在区间时当1,1,0ttttt5)(9.42118.49.4)(2ttth4.95t 1)1()1()1(ththvttt5)(9.4259.4t问题1 高台跳水运动员的速度 我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+t，t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.vvt 0-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001
5、-0.000010.00001-0.0000010.0000011)1()1()1(thth5lim0t59.4tv给出t更多的值，计算-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.000049-5.0000049 ,0,1.tvtD=从物理学的角度看当时间间隔无限趋近于 时平均速度就无限趋近于时的瞬时速度时的瞬时速度运动员在因此st1,smv/5)1(.509.40 59.41)1()1()1(无限趋近于，所以也无限趋近于时，趋近于无限当，可以发现：由vtttththv0(1)(1)0 .1)(1)lim55t
6、hththtttvhD+D+D-=-D-D-D数学中，我们把叫做“当无限趋近于 时，=的”，记极限为解:典例分析典例分析例1 2 (:s),(:)()0.9.:(1)12,;(2)10,.thmh ttts=火箭发射 单位后 其高度单位为求在这段时间里 火箭爬高的平均速度发射后第时 火箭爬高的瞬时速度7.21219.029.012)1()2()1(22hhv12,2.7/.tm s在这段时间里 火箭爬高的平均速度为ttththv22109.0)10(9.0)10()10()2(189.0t0(10)(10)lim18ththt./18,10sms火箭爬高的瞬时速度为时发射后第知识应用知识应用8
7、.149.48.149.48.49.449.42)2()1128.429.4(11)2(8.4)2(9.42)2()2()2()1(2222tttttttttttththv解：因此运动员在t=2 s 时的瞬时速度为-14.8m/s.2)2()2()2(lim0ththt8.141.已知跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)的函数关系式为（1）求运动员在t=2 s 时的瞬时速度；118.49.4)(2ttth知识应用知识应用000200200000)()118.49.4(11)(8.4)(9.4)()()(ttttttttttttthtthv解
8、：)8.48.9(9.4)8.48.9(9.48.49.429.400220ttttttttttt.8.48.90t因此运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度为00000)()()(limtttthttht8.48.90t1.已知跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)的函数关系式为（2）求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻 t0 的瞬时速度？118.49.4)(2ttth1.本节课收获了哪些知识？平均速度瞬时速度课堂小结课堂小结瞬时速度的本质是平均速度的极限.(1)平均速度：平均速度：(2)瞬时速度：瞬时速度：00()()h tth tvt 0000()()()limth tth tv tt 2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：
