1、第四章第四章 数列数列通项通项微专题微专题11nnaaq2.等比数列等比数列通项公式通项公式(累乘法累乘法)1.等差数列等差数列通项公式通项公式(累加法累加法)1=(1)naand一、公式法一、公式法=()nmaan m dn mnmaa q题型形式：题型形式：1.求（公差）公比；求（公差）公比；已知数列为等差（等比）已知数列为等差（等比）理论公式：理论公式：解题方法：解题方法：2.直接应用公式直接应用公式.例1 已知已知数列数列bn中，中，b1=3且且3bn-bn+1=0(nN*)，求数列，求数列bn的的通通项项公式公式.典例分析典例分析二二、累加法累加法题型形式：题型形式：形如形如an+1
2、 an=f(n)或或an+1=an+f(n)解题方法：解题方法：1.写出写出an+1 an=f(n)的形式的形式；4.检验检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式若不成立，则写成分段形式.3.得到得到an a1的值，解出的值，解出an；2.写出写出an an-1,an-1 an-2,a2 a1，并将它们，并将它们累加起来累加起来；典例分析典例分析例2 已知已知数列数列an满足满足a1=1，an+1=an+n+1(nN*)，求数列，求数列an的的通通项项公式公式.三三、累乘法累乘法题型形式：题型形式：解题方法：解题方法：4.检验
3、检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式若不成立，则写成分段形式.形如形如 或或an+1=an f(n)()1nnaf na1.写出写出 的形式的形式；()1nnaf na2.写出写出 ，并将它们累乘起来，并将它们累乘起来；,12121nnnnaaaaaa3.得到得到 的值，解出的值，解出an；1naa典例分析典例分析例3 已知已知数列数列an 满足满足 ，求数列，求数列an的的通通项项公式公式.,11231nnnaaan四四、Sn和和an的递推关系式的递推关系式题型形式：题型形式：理论公式：理论公式：解题方法：解题方法：1.
4、当当n 2时，时，an=Sn Sn-1；2.当当n=1时，时，a1=S1；,1112nnnS naSSn已知已知Sn=f(an)或或Sn=f(n)或或Sn=f(Sn-1)3.检验检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式若不成立，则写成分段形式.典例分析典例分析例4 已知已知数列数列an的前的前n项和项和为为 ，求数列的前，求数列的前3项，并项，并求它的通项公式求它的通项公式.2132nSnn五五、前前n项和项和(积积)法法类推作差类推作差(商商)题型形式：题型形式：理论公式：理论公式：解题方法：解题方法：1.令题中通项和为令题
5、中通项和为Sn；2.写出写出Sn-1的表达式的表达式；已知已知前前n项和项和，Sn Sn-1=an；已知已知前前n项积项积，1nnnSaS具有一定通项公式的具有一定通项公式的前前n项和相加得到项和相加得到f(n).3.利用利用Sn Sn-1=an或或 求求an；1nnnSaS4.检验检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式若不成立，则写成分段形式.典例分析典例分析例5 已知已知数列数列an 满足满足3a1+32a2+33a3+3nan=n(nN*)，求数列，求数列an的的通通项项公式公式.数列数列通项通项之构造法之构造法第一步
6、：利用题干中的条件将原数列第一步：利用题干中的条件将原数列构造构造成成新的特殊数列新的特殊数列；第二步：求出第二步：求出新数列新数列的通项公式；的通项公式；第三步：通过对新数列与原数列的第三步：通过对新数列与原数列的关系关系，求出，求出原数列原数列的通的通 项公式项公式.一一、构造法构造法(1)题型形式：题型形式：形如形如an+1=pan+q(其中其中p,q为常数，且为常数，且pq(p1)0)解题方法：解题方法：1.假设递推公式为假设递推公式为an+1+t=p(an+t)的形式的形式(将原递推将原递推公式做一个常数的配给调整公式做一个常数的配给调整)，然后将其整理成与，然后将其整理成与原递推公
7、式的形式相同原递推公式的形式相同；2.由待定系数法由待定系数法(根据对应项相等原则根据对应项相等原则)，解得，解得 ；1qtp3.求数列求数列 的通项公式的通项公式；1nqap4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.加加常常数数法法典例分析典例分析例1 在在数列数列an中，中，a1=2，an+1=2an+2，求数列，求数列an的的通通项项公式公式.二二、构造法构造法(2)题型形式：题型形式：形如形如an+1=pan+qn+r(其中其中p,q,r为常数，且为常数，且pq(p1)0)解题方法：解题方法：1.假设递推公式为假设递推公式为an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式的形式；
8、2.由待定系数法由待定系数法(根据对应项相等原则根据对应项相等原则)，求出，求出x,y的值的值；3.求数列求数列an+xn+y 的通项公式的通项公式；4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.加加变变量量法法典例分析典例分析例2 在在数列数列an中，已知中，已知a1=2，an+1=4an3n+1，求数列，求数列an的的通通项项公式公式.三三、构造法构造法(3)题型形式：题型形式：形如形如an+1=pan+qn(其中其中p,q为常数，且为常数，且pq(p1)0)解题方法：解题方法：4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.1.递推公式的两边同时除以递推公式的两边同时除以qn+1，得，得 ；111
9、nnnnaapqq qq3.求数列求数列bn的通项公式的通项公式；2.设设 ，则递推公式转化为，则递推公式转化为 ；nnnabq11nnpbbqq典例分析典例分析例3 已知已知数列数列an满足满足a1=2，an+12an=2n+1，求数列，求数列an的的通通项项公式公式.四四、构造法构造法(4)题型形式：题型形式：解题方法：解题方法：4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.1.将递推公式的两边取倒数或同时除以将递推公式的两边取倒数或同时除以anan+1，得得 ；111nnrqap ap形如形如 或或qanan+1+ran+1=pan(其中其中p,q,r为常数为常数)1nnnpaaqar2.设
10、设 ，则递推公式转化为，则递推公式转化为 ；1nnba1nnrqbbpp3.利用构造法利用构造法(1)可求数列可求数列bn的通项公式的通项公式；典例分析典例分析例4 在在数列数列an中，已知中，已知a1=2，anan+1+an+1=2an，证明数列，证明数列 为为等比数列，并求数列等比数列，并求数列an的的通通项项公式公式.na11五五、构造法构造法(5)题型形式：题型形式：形如形如xan+2+yan+1+zan=r(其中其中x,y,z,r为常数为常数)解题方法：解题方法：1.假设递推公式为假设递推公式为an+2pan+1=m(an+1pan)+q的形式的形式；4.求数列求数列an的通项公式的
11、通项公式.2.设设bn=an+1 pan，则递推公式转化为，则递推公式转化为bn+1=mbn+q；3.利用构造法利用构造法(1)可求数列可求数列bn的通项公式的通项公式；对中间项做一个配给调整对中间项做一个配给调整典例分析典例分析例5 已知已知Sn是是数列数列an的前的前n项和，项和，a1=1,a2=4,an+13an+2an-1=1，求数列求数列an的的通通项项公式公式.六六、构造法构造法(6)题型形式：题型形式：形如形如xan+2+yan+1+zan=0(其中其中x,y,z为常数为常数)解题方法：解题方法：1.假设递推公式为假设递推公式为an+2+pan+1=m(an+1+pan)的形式的
12、形式；4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.2.设设bn=an+1+pan，则递推公式转化为则递推公式转化为bn+1=mbn；3.求等比数列求等比数列bn的通项公式的通项公式；对中间项做一个配给调整对中间项做一个配给调整典例分析典例分析例6 已知已知数列数列an满足满足3an2an-1=an+1(n2,nN*)，且，且a1=0,a6=2021，求，求a2.七七、整体构造法整体构造法题型形式：题型形式：递推关系式一般比较大一堆，而且下标关系与递推关系式一般比较大一堆，而且下标关系与an前关于前关于n的关系相同的关系相同.解题方法：解题方法：方法方法1：递推关系式左右同时取倒数：递推关系式左右
13、同时取倒数；方法方法3：递推关系式左右同时加一个常数再取倒数：递推关系式左右同时加一个常数再取倒数.方法方法2：递推关系式同时除以：递推关系式同时除以anan+1或者或者n(n+1)等；等；典例分析典例分析例7 已知已知数列数列an满足满足nan+1(n+1)an=1(nN*),且且 a3=2，求，求a2021.八八、取对数取对数题型形式：题型形式：解题方法：解题方法：1.对递推公式的两边取对数；对递推公式的两边取对数；2.令令bn=logman，转化为，转化为bn+1=pbn+q；形如形如 (n2,p0)rnnapa1 4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.3.求数列求数列bn的通项公式
14、的通项公式；典例分析典例分析例6 已知已知数列数列an，a1=100,=100,(nN*)，求数列，求数列an的的通通项项公式公式.nnaa21 九九、因式分解因式分解题型形式：题型形式：解题方法：解题方法：1.合并同类项；合并同类项；2.提取公因式提取公因式；题中涉及题中涉及 ，多数能因式分解，多数能因式分解na24.得到前面构造法的形式；得到前面构造法的形式；3.约分约分；5.利用构造法求利用构造法求an.典例分析典例分析例8 设设数列数列an是首项为是首项为1的正项数列，且的正项数列，且 (nN*)，求数列，求数列an的的通通项项公式公式.nnnnnanaa a2211(1)0 数列数列
15、通项通项之周期数列之周期数列 对于数列an，如果存在一个常数T(TN*)，使得对任意的正整数nn0，恒有an+T=an成立，则称数列an是从第n0项起的周期为T的周期数列周期数列.(T的最小值称为最小正周期，简称周期)若n0=1，则称数列an为纯周期数列纯周期数列；若n02，则称数列an为混周期数列混周期数列.性质性质:(1)周期数列是无穷数列无穷数列，其值域是有限集；(2)周期数列必有最小正周期最小正周期(这一点与周期函数不同)；(3)如果T是数列an的周期，则对于任意的kN*，kT也是周期；(4)如果T是数列an的最小正周期，M是数列an的任一周期，则M=kT(kN*).类型一类型一题型形
16、式：题型形式：证明过程：证明过程：11()1nnanNa 数列数列an是周期为是周期为3的数列的数列.132111111111()111111111nnnnnnnnnaaaaaaaaa 数列数列周期：周期：类型二类型二题型形式：题型形式：证明过程：证明过程：111()nnanNa 数列数列an是周期为是周期为3的数列的数列.32111111111111111111(1)1111nnnnnnnnnaaaaaaaaa 数列数列周期：周期：类型三类型三题型形式：题型形式：证明过程：证明过程：21()nnnaaanN数列数列an是周期为是周期为6的数列的数列.32111()nnnnnnnaaaaaaa
17、 数列数列周期：周期：63nnnaaa 类型四类型四题型形式：题型形式：证明过程：证明过程：11()1nnnaanNa 数列数列an是周期为是周期为4的数列的数列.1214211111121111(1)211111nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa 数列数列周期：周期：类型五类型五题型形式：题型形式：证明过程：证明过程：11()()nnaanN等等和和数数列列数列数列an是周期为是周期为2的数列的数列.2111(1)nnnnaaaa数列数列周期：周期：典例分析典例分析例1 已知已知数列数列an中，中，a1=b(b0),(nN*)，则能使，则能使an=b的的n的
18、值是的值是()A.14 B.15 C.16 D.17111nnaa 例2 已知已知数列数列an满足，满足，a1=2,(nN*)，则，则S2004=.111nnaa 例3 已知已知数列数列an满足，满足，则，则a1998=.11111(2),1100nnnaanaa 1002C99101典例分析典例分析例4 已知已知数列数列an满足，满足，xn+1=xn xn-1(n 0),x1=a,x2=b,记记 Sn=x1+x2+xn，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是()A.x100=a,S100=2ba B.x100=b,S100=2ba C.x100=b,S100=ba D.x100=a,S100=ba 例5 已知已知数列数列an满足，满足，a1=2,(nN*)，设，设Sn为数列为数列an的前的前n项和，则项和，则S20062S2007+S2008=()A.3 B.2 C.3 D.211nnaa AA
