1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,考点一 函数的概念及其表示 (2011北京,8,5分)设A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(tR).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边 界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数N(t)的值域为 ( ) A.9,10,11 B.9,10,12 C.9,11,12 D.10,11,12,答案 C 解法一:当t=0时,平行四边形ABCD为正方形,不含边界的整点个数为9. 当t0时,直线AD的方程为y= x,分别与直线y=1,y=2,y=3交于点M1 ,M2 ,M3 . 同理,直线BC的方程为y= (x-4)分别与
2、直线y=1,y=2,y=3交于点N1 ,N2 ,N3 . 当0 t1时,直线y=1,y=2,y=3在平行四边形ABCD内部的线段上各有4个整点, 故此时N(t)=12; 当 t=1时,直线y=1,y=2在平行四边形ABCD内部的线段上各有4个整点,而直线y=3在平行四边 形ABCD内部的线段上只有3个整点,此时N(t)=11. 同理可得当k tk+1(kZ)时,N(t)=12; 当 t=k+1(kZ)时,N(t)=11.,综上得,N(t)= (其中kZ).故选C. 解法二:如图(1)所示,N(t)=9,如图(2)所示,N(t)=11,如图(3)所示,N(t)=12.故函数N(t)的值域为9,1
3、 1,12.,(3),错因分析 不会把区域内的整点个数问题转化为求区域内纵坐标为同一整数或横坐标为同 一整数的线段上的整点问题,不会分类或分类讨论不完整等造成错误.,评析 本题考查区域内的整点个数问题,考查分类讨论思想、数形结合思想和逻辑推理能力. 解题的关键是先把区域内的整点问题转化为求区域内纵坐标为同一整数(或横坐标为同一整 数)的线段上的整点问题,再进行分类讨论.本题考查的数学思想方法多,综合性强,属于难题.解 法二采用特殊值法,降低了思维量和计算量,提高了解题速度和准确率.,考点二 分段函数,1.(2011北京,6,5分)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(
4、x)= (A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么 c和A的值分别是 ( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16,答案 D 由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为 =15,故组装第4件产品所需 时间为 =30, 解得c=60,将c=60代入 =15得A=16.故选D.,评析 本题考查函数模型的应用问题和分段函数的有关计算,解题关键是把实际应用问题通 过分段函数模型转化为一般代数运算.本题属于中等难度题.,2.(2016北京,14,5分)设函数f(x)= 若a=0,则f(x)的最大值为 ; 若f(x)无最大值,则实数
5、a的取值范围是 .,答案 2 (-,-1),解析 若a=0,则f(x)= 当x0时, f(x)=-2x0, f(x)是增函数,当-1x0时, f (x)0, f(x)是减函数,f(x)f(-1)=2.f(x)的最大值 为2. 在同一平面直角坐标系中画出y=-2x和y=x3-3x的图象,如图所示: (i)当-1a2时,函数图象如图所示(实线部分),函数的最大值为f(-1)=2. (ii)当a2时,函数图象如图所示(实线部分),函数的最大值为a3-3a.,(iii)当a-1时,函数图象如图所示(实线部分),函数没有最大值. 综上可知,当a-1时,函数没有最大值.,疑难突破 分段函数需要分段讨论.对
6、于,由于x0时, f(x)0,而x0时, f(x)的值可为正数,故 只需考虑f(x)=x3-3x在(-,0上的最大值即可.对于,由于解析式中不含a,那么可以在同一平 面直角坐标系中画出两个相应函数的图象,从图中观察a处于同一位置时函数图象最高点的情 况即可.,3.(2013北京文,13,5分)函数f(x)= 的值域为 .,答案 (-,2),解析 解法一:x1时, f(x)=lo x是单调递减的, 此时,函数的值域为(-,0;x1时, f(x)=2x是单调递增的, 此时,函数的值域为(0,2). 综上, f(x)的值域是(-,2). 解法二:画出函数f(x)= 的图象.如图: 由图可知该函数的值
7、域为(-,2).,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 函数的概念及其表示,1.(2016课标,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的 是 ( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=,答案 D 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x 的值域为R,排除B,故选D.,评析 本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键.,2.(2019江苏,4,5分)函数y= 的定义域是 .,答案 -1,7,解析 本题考查了函数的定义域及一元二次不等式
8、的解法,考查了运算求解能力,考查的核心 素养是数学运算. 要使原函数有意义,需满足7+6x-x20,解得-1x7,故所求定义域为-1,7.,3.(2018江苏,5,5分)函数f(x)= 的定义域为 .,答案 2,+),解析 本题考查函数定义域的求法及对数函数. 由题意可得log2x-10,即log2x1,x2. 函数的定义域为2,+).,易错警示 函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,函数的定义 域要写成集合或区间的形式.,4.(2016江苏,5,5分)函数y= 的定义域是 .,答案 -3,1,解析 若函数有意义,则3-2x-x20,即x2+2x-30,解得-3x1.故所
9、求定义域为-3,1.,考点二 分段函数,1.(2015课标,5,5分)设函数f(x)= 则f(-2)+f(log212)= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12,答案 C -21,f(-2)=1+log22-(-2)=3; f(log212)= = =6.f(-2)+f(log212) =9.,2.(2017课标,15,5分)设函数f(x)= 则满足f(x)+f 1的x的取值范围是 .,答案,解析 本题考查分段函数. 当x 时, f(x)+f =2x+ 2x 1; 当02x1;当x0时, f(x)+f =x+1+ +1 =2x+ ,f(x)+f 12x+ 1x- ,即- x0. 综上,x
10、.,方法总结 分段函数常常需要分段讨论.,3.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)= 则f(f(-3)= , f(x)的最小值是 .,答案 0;2 -3,解析 -31,f(-3)=lg(-3)2+1=lg 10=1, f(f(-3)=f(1)=1+ -3=0. 当x1时, f(x)=x+ -32 -3(当且仅当x= 时,取“=”); 当x1时,x2+11,f(x)=lg(x2+1)0. 又2 -30, f(x)min=2 -3.,C组 教师专用题组,考点一 函数的概念及其表示,1.(2015浙江,7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意xR都有( ) A.f(sin 2x)=sin x
11、 B.f(sin 2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|,答案 D 对于A,令x=0,得f(0)=0;令x= ,得f(0)=1,这与函数的定义不符,故A错.在B中,令x=0, 得f(0)=0;令x= ,得f(0)= + ,与函数的定义不符,故B错.在C中,令x=1,得f(2)=2;令x=-1,得f(2) =0,与函数的定义不符,故C错.在D中,变形为f(|x+1|2-1)=|x+1|,令|x+1|2-1=t,得t-1,|x+1|= ,从 而有f(t)= ,显然这个函数关系在定义域(-1,+)上是成立的,选D.,2.(2013陕西,1,5分)设全集为R
12、,函数f(x)= 的定义域为M,则RM为 ( ) A.-1,1 B.(-1,1) C.(-,-11,+) D.(-,-1)(1,+),答案 D 由1-x20得-1x1,故RM=(-,-1)(1,+).,考点二 分段函数,1.(2015山东,10,5分)设函数f(x)= 则满足f(f(a)=2f(a)的a的取值范围是 ( ) A. B.0,1 C. D.1,+),答案 C 当a1, f(f(a)= ,2f(a)= , 故 f(f(a)=2f(a). 综合知a .,评析 本题主要考查分段函数及分类讨论思想.,2.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)= 则下列结论正确的是 ( ) A.f(x)
13、是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为-1,+),答案 D 作出f(x)的图象如图所示,可排除A,B,C,故D正确.,评析 本题考查函数的基本性质及数形结合思想,解题的关键是正确作出f(x)的图象.,3.(2014上海,18,5分)设f(x)= 若f(0)是 f(x)的最小值,则a的取值范围为 ( ) A.-1,2 B.-1,0 C.1,2 D.0,2,答案 D 当x0时, f(x)=(x-a)2, 又 f(0)是f(x)的最小值, a0. 当x0时, f(x)=x+ +a2+a,当且仅当x=1时取“=”. 要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+af(0
14、)=a2,即a2-a-20, 解之,得-1a2, a的取值范围是0a2.选D.,4.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),且在区间(-2,2上,f(x)= 则f(f (15)的值为 .,答案,解析 本题考查分段函数及函数的周期性. f(x+4)=f(x), 函数f(x)的周期为4, f(15)=f(-1)= , f =cos = , f(f(15)=f = .,5.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)= 若f(f(a)2,则实数a的取值范围是 .,答案 (-, ,解析 解法一:当a0时, f(a)=-a20,又f(0)=0, 故由f(f(a)=f(-a
15、2)=a4-a22,得0a . 当-1a0时, f(a)=a2+a=a(a+1)0, 则由f(f(a)=f(a2+a)=(a2+a)2+(a2+a)2,得- a ,则有-1a0. 当a-1时, f(a)=a2+a=a(a+1)0, 则由f(f(a)=f(a2+a)=-(a2+a)22,得aR, 故a-1. 综上,实数a的取值范围为(-, . 解法二:画出函数f(x)的图象,如图, 令b=f(a),则不等式f(f(a)2可化为f(b)2,当且仅当b=-2时, f(b)=2,由图象知要满足f(b)2,只,需b-2, 即f(a)-2. 当且仅当a= 时, f(a)=-2, 由图象知要满足f(a)-2
16、,只需a , 即实数a的取值范围是(-, .,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 函数的概念及其表示,1.(2017北京顺义二模,8)某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能 力和实践能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候 选人,当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人人数y与该 班人数x之间的函数关系用取整函数y=x(x表示不大于x的最大整数)可以表示为 ( ) A.y= B.y= C.y= D.y=,答案 B 采用特值法.令余数分别为7和8,将两个临界值代入选项加以判断. =
17、0, =0, 排除A; =0, =1,B符合; =1, =1,排除C; =1, =1,排除D.故选B.,2.(2019北京怀柔一模文,9)函数y=ln(x-1)的定义域是 .,答案 (1,+),解析 由x-10,得x1,故函数y=ln(x-1)的定义域为(1,+).,3.(2017北京西城期末,12)函数y= 的定义域是 ;最小值是 .,答案 (0,+);4,解析 要使y= 有意义,则分母不为0且 有意义,则x0,故函数y= 的定义域是(0,+). 因为y= = + 4,当且仅当 = ,即x=4时等号成立,故最小值为4.,思路分析 根据根式及分式有意义的条件可求函数定义域;将原函数解析式化为y
18、= = + ,应用基本不等式可求最小值.,方法点拨 求函数的值域时可以应用函数的性质,也可以应用基本不等式.,考点二 分段函数,1.(2019北京丰台一模文,7)设函数f(x)= 则使得f(x)1的自变量x的取值范围为 ( ) A.-1,1 B.-1,0)1,+) C.(-,-1(0,1 D.(-,-11,+),答案 D 当x0时,由 -11,得 2= ,x-1;当x0时,由 1,得x1,使f(x) 1成立的自变量x的取值范围是(-,-11,+).故选D.,2.(2019北京房山一模文,12)已知函数f(x)= 则f(-1)= ;满足f(x)1的x的取值 范围是 .,答案 ;(0,2),解析
19、f(-1)=3-1= ,由f(x)1得 即0x2.,3.(2017北京西城二模,12)若函数f(x)= 则f = ;方程f(-x)= 的解是 .,答案 -2;- 或1,解析 f =log2 =-2. 当x0,由f(-x)=log2(-x)= 可得x=- ; 当x0时,-x0,由f(-x)=2-x= 可得x=1, 故方程f(-x)= 的解是- 或1.,4.(2019北京西城期末文,13)设函数f(x)= 则ff(0)= ;若方程f(x)=b有且 仅有3个不同的实数根,则实数b的取值范围是 .,答案 ;,解析 f(0)=e0=1,ff(0)=f(1)=-12+1+ = . 在同一直角坐标系下作出分
20、段函数y=f(x)的图象和直线y=b. 由图可知,当b 时,方程f(x)=b有且仅有3个不同的实数根.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:15分钟 分值:25分,填空题(每小题5分,共25分),1.(2018北京海淀期末,13)函数f(x)= 的最大值为 ;若函数f(x)的图象与直 线y=k(x-1)有且只有一个公共点,则实数k的取值范围是 .,答案 1;0,+),解析 画出函数f(x)= 的图象,如图, 由图象得到最大值为1.作出y=k(x-1)的图象.根据图象得到实数k的取值范围为0,+).,2.(2018北京西城期末,14)已知函数f(x)= 若c=0,则f(x)的值域
21、是 ; 若f(x)的值域是 ,则实数c的取值范围是 .,答案 ,3.(2019北京西城一模文,13)设函数f(x)= 当f(a)=-1时,a= ;如果对于任意 的xR都有f(x)b,那么实数b的取值范围是 .,答案 - ;(-,-2,解析 若a-1,则有ln(a+2)=-1, 解得a= -2-2,故b-2.,4.(2019北京丰台期末文,14)已知函数f(x)= 若a=0,则函数f(x)的零点有 个; 若f(x)f(1)对任意的实数x都成立,则实数a的取值范围是 .,答案 2 -1- ,1,解析 若a=0,则f(x)= 当x0时, f(x)=2x-x2,由f(x)=0,解得x=0或x=2; 当
22、x0时, f(x)=x无零点. 综上可得f(x)的零点个数为2. 由f(x)= 可得f(1)=1, 由f(x)f(1)对任意的实数x都成立,可得f(x)的最大值为1, 当x0时,令f(x)=2x+x2=1,解得x=-1- . 画出图象, 由图象可得a-1- 且a1时,满足条件. 故a的取值范围为-1- ,1.,5.(2019北京大兴期末文,14)设函数f(x)= 若a=1,则f(x)的零点有 个; 若f(x)的值域为-1,+),则实数a的取值范围是 .,答案 2 ,解析 若a=1,则f(x)= 当x1时, f(x)=ln x, f(x)=0无解; 当x1时, f(x)=-|x|(x+2), f
23、(x)=0, 即-|x|(x+2)=0,解得x=0或x=-2, 则f(x)=0有2个解,即f(x)有2个零点. 在同一坐标系下作出函数y=-|x|(x+2)与y=ln x的图象. 由图象可得若f(x)的值域为-1,+),则实数a的取值范围是 .,(2019北京东城期末,14)已知函数f(x)定义域为R,设Ff(x)= 若f(x)= ,则Ff(1)= ; 若f(x)=ea-|x|-1,且对任意xR,Ff(x)=f(x),则实数a的取值范围为 .,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,答案 (-,ln 2,解析 若f(x)= , |f(x)|1,Ff(x)=f(x)= , 则Ff(1)= . 若f(x)=ea-|x|-1,且对任意xR,Ff(x)=f(x), 可得|f(x)|1恒成立, 即为-1ea-|x|-11, 即有0ea-|x|2, 可得a-|x|ln 2,即a|x|+ln 2, |x|+ln 2的最小值为ln 2, aln 2.,
