1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,考点一 二次函数,1.(2014北京,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用 率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数), 下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 ( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟,答案 B 解法一:由已知得 解得 p=-0.2t2+1.5t-2=- + ,当t= =3.75时,p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B. 解法二:p(t)=at2+bt+c(
2、a0). p(4)0.7p(5), 存在t0(4,5)使得p(t0)=0.7. p(t0)=p(3)=0.7, 二次函数p(t)的顶点的横坐标为t= ,即最佳加工时间为 分钟. t0(4,5), (3.5,4), 选B.,2.(2011北京文,8,5分)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得ABC的面积为2 的点C的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1,答案 A 解法一:易知A、B所在直线的方程是x+y-2=0. 设C到直线x+y-2=0的距离为d, SABC= |AB|d= 2 d=2,d= , 设C(x,x2),则d= = , x2+x-4=0或x
3、2+x=0. 对于方程x2+x-4=0,判别式=170,方程有两个不等实根; 解方程x2+x=0得x1=0,x2=-1,故C点的个数为4,故选A. 解法二:由已知易求得C到直线AB:x+y-2=0的距离d= ,过C且与直线x+y-2=0平行的直线方程 设为x+y+c=0,则 = ,|c+2|=2,c=0或c=-4. 又直线x+y=0与抛物线y=x2有两个交点,直线x+y-4=0与抛物线y=x2有两个交点,交点即为所求点 C,故C点个数为4,故选A.,3.(2017北京文,11,5分)已知x0,y0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是 .,答案,解析 解法一:由题意知y=1-x, y0,x0
4、,0x1, 则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2 + . 当x= 时,x2+y2取最小值,最小值为 , 当x=0或x=1时,x2+y2取最大值,最大值为1,x2+y2 . 解法二:由题意可知,点(x,y)在线段AB上(如图),x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方. x2+y2的最小值为(0,0)到直线x+y-1=0的距离的平方,即 = ,又易知(x2+y2)max=1,x2+y2 .,考点二 幂函数 (2012北京文,5,5分)函数f(x)= - 的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 B 令f(x)= - =0,得 = ,求零点个数可转化为求两个
5、函数图象的交点个数.如 图所示: 由图可知两个函数图象有1个交点,故选B.,评析 本题考查零点个数问题,可运用转化与化归思想将零点个数问题转化为两个函数图象 的交点问题,画出两个函数的图象,观察交点个数即可.本题需掌握幂函数和指数函数的图象.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 二次函数,1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m ( ) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关,答案 B 本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类
6、 讨论思想. 解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min. 故M-m与b无关.又a=1时,g(x)max-g(x)min=2, a=2时,g(x)max-g(x)min=3,故M-m与a有关.故选B. 解法二:(1)当- 1,即a-2时, f(x)在0,1上为减函数,M-m=f(0)-f(1)=-a-1. (2)当 - 1,即-2a-1时,M=f(0),m=f ,从而M-m=f(0)-f =b- = a2. (3)当0- ,即-1a0时,M=f(1),m=f ,从而M-m=f(1)-f = a2+a+1. (4)当- 0,即a0时, f(x)在0,1上为增函数,M
7、-m=f(1)-f(0)=a+1. 即有M-m= M-m与a有关,与b无关.故选B.,2.(2019浙江,16,4分)已知aR,函数f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)| ,则实数a的最大 值是 .,答案,解析 |f(t+2)-f(t)| |a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)| |6at2+12at+8a-2| |3at2+6at+4a-1| - 3at2+6at+4a-1 a(3t2+6t+4) , 3t2+6t+4=3(t+1)2+11, 若存在tR,使不等式成立,则需a0, 故a(3t2+6t+4)a,+), 只需a,+) 即可,0a , 故a的最大值为
8、 .,3.(2015湖北文,17,5分)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.,答案 2 -2,解析 当a=0时, f(x)=x2在0,1上为增函数,g(a)=f(1)=1;当a0时, f(x)的图象如图所示: (i)当a2时, 1,此时f(x)在0,1上为增函数,g(a)=f(1)=a-1; (ii)当1a2时, 1a, 此时g(a)=f = ; (iii)当0a1时, a1, 此时g(a)=max ,f -f(1)= -(1-a)= , 当0f(1),g(a)= ; 当a0时f(x)的图象关于y轴对称, 所以求a0时的最值即
9、可. g(a)= 其图象如图所示:,当a=2 -2时,g(a)的值最小.,考点二 幂函数 (2016课标,7,5分)已知a= ,b= ,c=2 ,则 ( ) A.bac B.abc C.bca D.cab,答案 A a= = ,c=2 = ,而函数y= 在(0,+)上单调递增,所以 ,即bac,故选 A.,方法总结 比较大小的问题往往利用函数的性质及图象来解决,其中单调性是主线.,评析 本题主要考查幂函数的性质,属中档题.,C组 教师专用题组,1.(2016浙江,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的 ( ) A.充分不必要条件 B
10、.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A 记g(x)=f(f(x)=(x2+bx)2+b(x2+bx)= - = - . 当b0时,- + 0,即当 - + =0时,g(x)有最小值,且g(x)min=- ,又f(x)= - ,所 以f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等,都为- ,故充分性成立.另一方面,当b=0时, f(f(x)的最小 值为0,也与f(x)的最小值相等.故必要性不成立.选A.,解后反思 判定非必要很容易,只需举出反例.要使f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等,只需满 足- - ,即b0或b2.,评析 本题考查二次函数求最值,对运算能力
11、和推理能力有较高要求.,2.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)= (m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间 上单调递减,那么 mn的最大值为( ) A.16 B.18 C.25 D.,答案 B 当m=2时, f(x)=(n-8)x+1在区间 上单调递减,则n-82时, f(x)的图象开口向上,要使f(x)在区间 上单调递减,需- 2,即2m+n12,而2 m+n2 ,所以mn18,当且仅当 即 时,取“=”,此时满足m2.故(mn)max =18.故选B.,3.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零 ),四位同学分别给出下列结论,其中 有
12、且只有一个结论是错误的,则错误的结论是 ( ) A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y=f(x)上,答案 A 由已知得, f (x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B正确,则有 解得b=-2a,c=-3a, 则f(x)=ax2-2ax-3a. 由于a为非零整数, 所以f(1)=-4a3,则C错. 而f(2)=-3a8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确. 若A、C、D正确,则有 由得 代入中并整理得9a2-4a+ =0,又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+ =0无整数解,故A
13、错. 若B、C、D正确,则有 解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10x+8, 此时f(-1)=230,符合题意.故选A.,评析 本题考查二次函数的性质、函数的零点和函数极值,考查推理运算能力.,4.(2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x0),g(x)=logax的图象可能是 ( ),答案 D 因为a0,所以f(x)=xa在(0,+)上为增函数,故A错.在B中,由f(x)的图象知a1,由g(x) 的图象知01,矛盾,故C错.在D 中,由f(x)的图象知0a1,由g(x)的图象知0a1,相符,故选D.,评析 本题考查幂函数和对数函数的图象与单调性,考
14、查分类讨论思想和逻辑推理能力.,5.(2013重庆,3,5分) (-6a3)的最大值为 ( ) A.9 B. C.3 D.,答案 B 易知函数y=(3-a)(a+6)的两个零点是3,-6,其图象的对称轴为直线a=- ,y=(3-a)(a+6) 的最大值为 3+ = ,则 (-6a3)的最大值为 ,选B.,6.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),记M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值. (1)证明:当|a|2时,M(a,b)2; (2)当a,b满足M(a,b)2时,求|a|+|b|的最大值.,解析 (1)证明:由f(x)= +b- ,得对称轴
15、为直线x=- . 由|a|2,得 1,故f(x)在-1,1上单调, 所以M(a,b)=max|f(1)|,|f(-1)|. 当a2时,由f(1)-f(-1)=2a4, 得maxf(1),-f(-1)2, 即M(a,b)2. 当a-2时,由f(-1)-f(1)=-2a4, 得maxf(-1),-f(1)2,即M(a,b)2. 综上,当|a|2时,M(a,b)2.,(2)由M(a,b)2得|1+a+b|=|f(1)|2,|1-a+b|=|f(-1)|2, 故|a+b|3,|a-b|3, 由|a|+|b|= 得|a|+|b|3. 当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3, |f(x)|=|x2+2x
16、-1|,此时易知|f(x)|在-1,1上的最大值为2,即M(2,-1)=2. 所以|a|+|b|的最大值为3.,7.(2015浙江,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR). (1)当b= +1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式; (2)已知函数f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1,求b的取值范围.,解析 (1)当b= +1时, f(x)= +1, 故对称轴为直线x=- . 当a-2时,g(a)=f(1)= +a+2. 当-22时,g(a)=f(-1)= -a+2. 综上,g(a)= (2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1t1,则 由于0b-2a
17、1,因此 s (-1t1). 当0t1时, st ,由于- 0和- 9-4 , 所以- b9-4 . 当-1t0时, st , 由于-2 0和-3 0,所以-3b0. 故b的取值范围是-3,9-4 .,评析 本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推 理论证能力,分类讨论等分析问题和解决问题的能力,属较难题.,8.(2015广东,21,14分)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1). (1)若f(0)1,求a的取值范围; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当a2时,讨论f(x)+ 在区间(0,+)内的零点个数.,解析 (1)f(0)=
18、a2+|a|-a(a-1)=|a|+a. 当a0时, f(0)=01对于任意的a0恒成立; 当a0时, f(0)=2a,令2a1,解得0a时, f (x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+10, 所以f(x)在区间(a,+)上单调递增. (3)令h(x)=f(x)+ ,由(2)得,h(x)= 则h(x)= 当0a时,因为a2,所以x2,所以00, 所以h(x)在区间(a,+)上单调递增. 因为h(1)=40,h(2a)=2a+ 0, 若a=2,则h(a)=-a2+a+ =-4+2+2=0,此时h(x)在(0,+)上有唯一一个零点; 若a2,则h(a)=-a2+a+ =- =- 2时, f(x
19、)+ 在区间(0,+)内有两个零点.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 二次函数 (2019北京丰台一模文,12)若存在x0,1使不等式ax2-x成立,则实数a的取值范围是 .,答案 a0,解析 函数f(x)=x2-x在x0,1上的最大值为0, a0.,考点二 幂函数,1.(2018北京丰台一模,3)已知a B. 2b D.a3b3,答案 A 函数y= 在(-,0)上是减函数,已知a ,故A正确; ,故B不正确; 函数y=2x在(-,+)上是增函数,故2a2b,故C不正确;函数y=x3在(-,+)上是增函数,故a3b3, 所以D不正确.,2.(2019北京海淀新高
20、考调研卷,13)若函数f(x)满足下面三个条件: f(x)在其定义域上图象不间断; f(x)在(0,1)上单调递增; x(0,1),都有f(x)x,且f(0)=0, f(1)=1. 则称函数f(x)为“UP函数”. 请写一个UP函数f(x)= .,答案 (答案不唯一),解析 根据题意可知,幂函数f(x)=x(01)满足上述三个条件.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:5分钟 分值:5分,选择题(共5分) (2017北京朝阳一模,6)已知函数f(x)= 若a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(b) =f(c)=f(d),则abcd的取值范围是 ( ) A.(24,25) B.(18,24) C.(21,24) D.(18,25),答案 A 函数f(x)= 的图象如图所示. 因为f(a)=f(b)=f(c)=f(d),a,b,c,d是互不相同的正数, 不妨设ac4,当x4时, f(x)=(x-5)2, 因为f(c)=f(d),所以 =5,所以c+d=10. 因为c(4,5),d(5,6), 所以cd(24,25),所以abcd(24,25).,
