1、考点一 匀变速直线运动,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2018北京,14,5分)若ABC的面积为 (a2+c2-b2),且C为钝角,则B= ; 的取值 范围是 .,答案 ;(2,+),解析 本题主要考查正弦、余弦定理,三角形面积公式,三角恒等变换. 依题意有 acsin B= (a2+c2-b2)= 2accos B, 则tan B= ,0 ,又A0,0 ,故 + =2. 故 的取值范围为(2,+).,2.(2016北京,13,5分)在ABC中,A= ,a= c,则 = .,答案 1,解析 在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, 将A= ,a= c代入, 可得( c)2=
2、b2+c2-2bc , 整理得2c2=b2+bc. c0,等式两边同时除以c2, 得2= + ,即2= + . 令t= (t0),有2=t2+t,即t2+t-2=0, 解得t=1或t=-2(舍去), 故 =1.,思路分析 本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为关于 的方程,利用换元 法求解.,一题多解1 由已知及正弦定理得sin A= sin C, 则sin C= = = , 又0C-A= , C= ,B=-A-C= . 故b=c,即 =1.,一题多解2 由已知及余弦定理得:b2+c2-( c)2=2bccos . 化简得b2+bc-2c2=0,即(b+2c)(b-c)=0. 在
3、ABC中,b0,c0,b=c, =1.,3.(2015北京,11,5分)在ABC中,a=3,b= ,A= ,则B= .,答案,解析 由正弦定理知sin B= = = ,因为ab,所以AB,所以B= .,易错警示 要注意在ABC中,大边对大角,故AB,所以B只能是 .,4.(2014北京,12,5分)在ABC中,a=1,b=2,cos C= ,则c= ;sin A= .,答案 2;,解析 由余弦定理知c2=a2+b2-2abcos C=12+22-212 =4,故c=2.由sin2C+cos2C=1,cos C= ,sin C0知sin C= = ,由 = 知sin A= = = .,评析 本题
4、考查正弦定理、余弦定理等解三角形的基础知识,考查学生的知识应用能力和运 算求解能力.,5.(2019北京理,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值.,解析 本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识 点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心 素养. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得 b2=32+c2-23c . 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c . 解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=-
5、得sin B= . 由正弦定理得sin C= sin B= . 在ABC中,B是钝角,所以C为锐角. 所以cos C= = . 所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C= .,6.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=- . (1)求A; (2)求AC边上的高.,解析 (1)在ABC中,因为cos B=- ,所以sin B= = . 由正弦定理得sin A= = . 由题设知 B,所以0A . 所以A= . (2)在ABC中, 因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= , 所以AC边上的高为asin
6、C=7 = .,方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析 哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过 解方程求出边或角.,7.(2017北京,15,13分)在ABC中,A=60,c= a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求ABC的面积.,解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式. (1)在ABC中,因为A=60,c= a, 所以由正弦定理得sin C= = = . (2)因为a=7,所以c= 7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b3 , 解得b=
7、8或b=-5(舍). 所以ABC的面积S= bcsin A= 83 =6 .,解后反思 根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关 键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.,8.(2014北京,15,13分)如图,在ABC中,B= ,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC= . (1)求sinBAD; (2)求BD,AC的长.,解析 (1)在ADC中,因为cosADC= , 所以sinADC= . 所以sinBAD=sin(ADC-B) =sinADCcos B-cosADCsin B = - = . (2)在ABD中,由正弦定理得 BD= = =
8、3. 在ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-285 =49. 所以AC=7.,评析 本题考查了三角变换,利用正、余弦定理解三角形.考查分析推理、运算求解能力.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点 用正、余弦定理解三角形,1.(2019课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=- ,则 = ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 A 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用;考查考生的逻辑思维能力和运算求解 能力;考查的核心素养是数学运算与逻辑推理. 由正弦
9、定理及asin A-bsin B=4csin C得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cos A= = =- .所 以 =6.故选A.,2.(2018课标,6,5分)在ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,则AB= ( ) A.4 B. C. D.2,答案 A 本题考查二倍角公式和余弦定理. cos = ,cos C=2cos2 -1=2 -1=- , 又BC=1,AC=5, AB= = =4 .故选A.,3.(2018课标,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为 ,则C = ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题考查解三角形及其综合应用. 根据余
10、弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为SABC= ,所以SABC= ,又SABC= absin C,所以tan C=1,因为C(0,),所以C= .故选C.,4.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB= ,BC=3,C=120,则AC= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 A 在ABC中,设A、B、C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcos C,得13=9+b2-2 3b ,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.,评析 本题考查了余弦定理的应用和方程思想,属容易题.,5.(2016课标全国,8,5分)在ABC中,B= ,
11、BC边上的高等于 BC,则cos A= ( ) A. B. C.- D.-,答案 C 解法一:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD= BC,则CD= BC,AB= BC, AC= BC,在ABC中,由余弦定理的推论可知,cosBAC= = =- ,故选C. 解法二:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD= BC,则CD= BC,在RtADC中,AC= BC,sinDAC= ,cosDAC= ,又因为B= ,所以cosBAC=cos =cosDAC cos -sinDACsin = - =- ,故选C.,解法三:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD= BC,则CD= BC,
12、AB= BC,AC= BC,而, =( + )( + )= + + + = BC2- BC2=- BC2,所以cos BAC= = =- ,故选C. 解法四:过A作ADBC,垂足为D,设BC=3a(a0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D为原点,DC, DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以 =(-a,-a), = (2a,-a),所以| |= a,| |= a,所以cosBAC= = =- ,故选C.,解后反思 解三角形问题一般利用正弦、余弦定理求解,有时也可根据具体条件,利用向量法 或解析法求解.,6.(2019浙江,
13、14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD = ,cosABD= .,答案 ;,解析 本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长 度和角度的计算体现了数学运算的核心素养. 在BDC中,BC=3,sinBCD= ,BDC=45, 由正弦定理得 = ,则BD= = , 在ABD中,sinBAD= ,cosBAD= ,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos 45cosBAD+sin 45sinBAD= = .,思路分析 在BCD中,由正弦定理求BD的值;
14、cosABD的值可通过两角差的余弦公式求解.,解题反思 三角恒等变换和正弦定理、余弦定理是解三角形的基础知识,在熟练掌握的前提 下,应比较运算量大小,从而选取比较理想的解法.,7.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a= ,b=2,A=60,则sin B= ,c= .,答案 ;3,解析 由 = 得sin B= sin A= , 由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).,8.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交 AC于点D,且BD=1,则4
15、a+c的最小值为 .,答案 9,解析 依题意画出图形,如图所示. 易知SABD+SBCD=SABC, 即 csin 60+ asin 60= acsin 120, a+c=ac, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.,一题多解1 作DECB交AB于E, BD为ABC的平分线, = = , DECB, = = = , = , = . = + . = , 1= + +2 | | | ,1= ,ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.,一题多解2 以B为原点,BD所在直
16、线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则D(1,0).AB=c,BC=a,A ,C . A,D,C三点共线, , + c =0, ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.,9.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则 BDC的面积是 ,cosBDC= .,答案 ;,解析 本题考查余弦定理,同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运 算求解能力. AB=AC=4,BC=2,cosABC= = , ABC为三角形的内角,sinABC=
17、, sinCBD= ,故SCBD= 22 = . BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC= , 2cos2BDC-1= ,得cos2BDC= , 又BDC为锐角,cosBDC= .,10.(2016课标,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1,则b= .,答案,解析 由已知可得sin A= ,sin C= ,则sin B=sin(A+C)= + = ,再由正弦定理可得 = b= = .,思路分析 利用同角三角函数的平方关系求出sin A与sin C的值,进而由sin B=sin(A+C)求出 sin B的值,再利用正弦定理即
18、可求出b的值.,11.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3 ,b- c=2,cos A=- ,则a的值为 .,答案 8,解析 因为cos A=- ,0A,所以sin A= = .由3 = bcsin A得bc=24.又因为b-c= 2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=36+16+12=64.故a=8.,12.(2015课标全国,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范 围是 .,答案 ( - , + ),解析 依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,
19、AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正 弦定理得 = .由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得 = .所以 = ,即y= = = = .,因为075,+75=180,所以30105, 当=90时,易得y= ; 当90时,y= = , 又tan 30= ,tan 105=tan(60+45)= =-2- ,结合正切函数的性质知, ,( -2, ),且 0,所以y= ( - , )( , + ). 综上所述:y( - , + ).,思路分析 连接BD,把四边形问题转化为解三角形问题,令BD=x,AB=y,利用正弦定理建立函 数关系求解.,疑难突破 把四边形
20、问题转化为解三角形问题是关键,利用正弦定理建立函数关系求解是难 点也是突破点.,13.(2019课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A- sin Bsin C. (1)求A; (2)若 a+b=2c,求sin C.,解析 本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运 算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算. (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cos A= = . 因为0A180,所以A=60.
21、 (2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得 sin A+sin(120-C)=2sin C, 即 + cos C+ sin C=2sin C,可得cos(C+60)=- . 由于0C120,所以sin(C+60)= , 故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60= .,思路分析 (1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角 A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正 弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C.,14.(2019天津理,15,13分)在
22、ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4 asin C. (1)求cos B的值; (2)求sin 的值.,解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公 式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养 的重视. (1)在ABC中,由正弦定理 = ,得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因为b+c=2a,得到b= a,c= a. 由余弦定理可得cos B= = =- . (2)由(1)可得sin
23、 B= = , 从而sin 2B=2sin Bcos B=- ,cos 2B=cos2B-sin2B=- , 故sin =sin 2Bcos +cos 2Bsin =- - =- .,思路分析 (1)由已知边角关系:3csin B=4asin C利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定 理即可求出cos B. (2)由(1)利用同角三角函数基本关系式,求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B、cos 2B,代入两 角和的正弦公式即可求出sin 的值.,易错警示 角B为三角形内角,故sin B0,由cos B求sin B仅有一正解.,15.(2019课标全国理,18,12分)ABC的内角A
24、,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsin A. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.,解析 本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌 握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)由题设及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A. 因为sin A0,所以sin =sin B. 由A+B+C=180,可得sin =cos , 故cos =2sin cos . 因为cos 0,故sin = ,因此B=60. (2)由题设及(1)知ABC的面积SABC= a.
25、由正弦定理得a= = = + .,由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90. 由(1)知A+C=120,所以30C90,故 a2,从而 SABC . 因此,ABC面积的取值范围是 .,思路分析 (1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B. (2)用正弦定理先表示出边a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围,进而求出 ABC面积的取值范围.,16.(2018课标全国,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB; (2)若DC=2 ,求BC.,解析 (1)在ABD中,由正弦定理得 = . 由题设知, = ,所以s
26、inADB= . 由题设知,ADB90,所以cosADB= = . (2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB= . 在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252 =25. 所以BC=5.,方法总结 正弦、余弦定理的应用原则: (1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通 过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用. (2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用. (3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因 式,以免漏解. (4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题
27、时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答 此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.,17.(2018天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos . (1)求角B的大小; (2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.,解析 (1)在ABC中, 由正弦定理 = ,可得bsin A=asin B, 又由bsin A=acos ,得asin B=acos , 即sin B=cos ,可得tan B= . 又因为B(0,),可得B= . (2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B= , 有b2=a2+c2-2accos B
28、=7,故b= . 由bsin A=acos ,可得sin A= . 因为ac,故cos A= .,因为ac,故cos A= . 因此sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1= .所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B= - = .,解题关键 (1)利用正弦定理合理转化bsin A=acos 是求解第(1)问的关键; (2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a0是求解第(2)问的关键.,失分警示 (1)忽略ac这一条件,从而导致cos A有两个值,最终结果出现增解; (2)不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果
29、出错.,18.(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为 . (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.,解析 本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用. (1)由题设得 acsin B= ,即 csin B= . 由正弦定理得 sin Csin B= . 故sin Bsin C= . (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=- , 即cos(B+C)=- , 所以B+C= ,故A= . 由题设得 bcsin A= ,即bc=8. 由余弦定理得b
30、2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= . 故ABC的周长为3+ .,方法总结 解三角形的综合应用. (1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计 算,例如:将 csin B= 变形为 sin Csin B= . (2)三角形面积公式:S= absin C= acsin B= bcsin A. (3)三角形的内角和为. 这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.,19.(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2 . (1
31、)求cos B; (2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.,解析 (1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2 , 故sin B=4(1-cos B). 上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去)或cos B= . (2)由cos B= 得sin B= ,故SABC= acsin B= ac. 又SABC=2,则ac= . 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2 =4. 所以b=2.,思路分析 (1)先把A+C转化为-B,然后解关于cos B的方程即可. (2)由co
32、s B得sin B.由SABC= acsin B得ac的值后,利用b2=a2+c2-2accos B求b.,解后反思 在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题 中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.,20.(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c= ,ABC的面积为 ,求ABC的周长.,解析 (1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin
33、 C, 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C. 可得cos C= ,所以C= . (2)由已知,得 absin C= . 又C= ,所以ab=6. 由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25. 所以ABC的周长为5+ .,思路分析 本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的 公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定 理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.,解后反思 本题属于解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦
34、、余弦定理,将已知中的 “边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或 代数知识求解方程.解题中要注意三角形的一些性质的应用,例如:sin(A+B)=sin C,SABC= absin C.,21.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若ABC的面积S= ,求角A的大小.,解析 (1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
35、 于是sin B=sin(A-B). 又A,B(0,),故0A-B,所以,B=-(A-B)或B=A-B, 因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B. (2)由S= 得 absin C= ,故有sin Bsin C= sin 2B=sin Bcos B, 因sin B0,得sin C=cos B. 又B(0,),C(0,),所以C= B. 当B+C= 时,A= ;当C-B= 时,A= . 综上,A= 或A= .,评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查 运算求解能力.,22.(2015课标全国,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,AB
36、D面积是ADC面 积的2倍. (1)求 ; (2)若AD=1,DC= ,求BD和AC的长.,解析 (1)SABD= ABADsinBAD, SADC= ACADsinCAD. 因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得 = = . (2)因为SABDSADC=BDDC,DC= ,所以BD= . 在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.,思路分析 (1)由两个三角形面积的关系得出
37、边长的关系,再由正弦定理求 的值;(2)由 ABD和ADC的面积关系及DC= 可得BD的值,再由ADB与ADC的互补关系,结合余弦 定理求AC的值.,C组 教师专用题组,1.(2014课标,4,5分)钝角三角形ABC的面积是 ,AB=1,BC= ,则AC= ( ) A.5 B. C.2 D.1,答案 B SABC= ABBCsin B= 1 sin B= , sin B= ,B=45或135.若B=45,则由余弦定理得AC=1,ABC为直角三角形,不符合题 意,因此B=135,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-21 =5,AC= . 故选B.,2.(2015广东
38、,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a= ,sin B= ,C= ,则b= .,答案 1,解析 在ABC中,由sin B= ,可得B= 或B= ,结合C= 可知B= .从而A= ,利用正弦定 理 = ,可得b=1.,3.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB= ,A的角平分线AD= ,则AC= .,答案,解析 依题意知BDA=C+ BAC, 由正弦定理得 = , sin = , C+BAC=180-B=60, C+ BAC=45, BAC=30,C=30. 从而AC=2ABcos 30= .,4.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平
39、的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一 垂直于路面的山峰CD在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山在西偏北75的 方向上,仰角为30,则此山的高度CD= m.,答案 100,解析 依题意有AB=600,CAB=30, CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB. ACB=45. 在ABC中,由 = , 得 = , 故CB=300 , 在RtBCD中,CD=CBtan 30=100 , 则此山的高度CD=100 m.,5.(2019北京文,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求b,c的值; (2)求sin(B+C)的值.,解析
40、本题主要考查余弦定理及其推论的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力, 以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得b2=32+c2-23c . 因为b=c+2, 所以(c+2)2=32+c2-23c . 解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=- 得sin B= . 由正弦定理得sin A= sin B= . 在ABC中,B+C=-A. 所以sin(B+C)=sin A= .,6.(2017天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sin B= . (1)求b
41、和sin A的值; (2)求sin 的值.,解析 (1)在ABC中,因为ab,所以由sin B= ,可得cos B= .由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2 accos B=13,所以b= . 由正弦定理 = ,得sin A= = . 所以,b的值为 ,sin A的值为 . (2)由(1)及ac,得cos A= , 所以sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=1-2sin2A=- . 故sin =sin 2Acos +cos 2Asin = .,方法总结 利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图 中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦
42、定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等 变换和三角形内角和定理的运用.,7.(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.,解析 本题考查解三角形. (1)由已知可得tan A=- ,所以A= . 在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos ,即c2+2c-24=0. 解得c=-6(舍去),或c=4. (2)由题设可得CAD= , 所以BAD=BAC-CAD= . 故ABD面积与ACD面积的比值为 =1. 又ABC的面积为
43、42sinBAC=2 , 所以ABD的面积为 .,思路分析 (1)由sin A+ cos A=0,可求得tan A=- ,注意到A是三角形内角,得A= ,再由余 弦定理求c.(2)由题意知CAD= ,BAD= ,于是可求得 的值,再由SABC= 42sin BAC=2 得解.,8.(2016山东,16,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)= + . (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C的最小值.,解析 (1)由题意知2 = + , 化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)
44、=sin A+sin B. 因为A+B+C=, 所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C. 从而sin A+sin B=2sin C. 由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知c= , 所以cos C= =,= - , 当且仅当a=b时,等号成立. 故cos C的最小值为 .,评析 本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查 了化归与转化的思想方法,属中档题.,9.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A= ,b2-a2= c2. (1)求tan C的值; (2)若ABC的面积为3,求b的值.,解析
45、(1)由b2-a2= c2及正弦定理得sin2B- = sin2C,所以-cos 2B=sin2C. 又由A= ,即B+C= ,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2. (2)由tan C=2,C(0,)得sin C= ,cos C= . 又因为sin B=sin(A+C)=sin , 所以sin B= . 由正弦定理得c= b, 又因为A= , bcsin A=3,所以bc=6 ,故b=3.,评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点 用正、余弦定理解三角形
46、,1.(2019北京西城一模文,5)在ABC中,已知a=2,sin(A+B)= ,sin A= ,则c= ( ) A.4 B.3 C. D.,答案 C 在ABC中,由A+B+C=可得sin(A+B)=sin C, 由 = 得c=a =2 = ,故选C.,2.(2019北京朝阳二模,4)在ABC中,B= ,c=4,cos C= ,则b= ( ) A.3 B.3 C. D.,答案 B 在ABC中,sin C= = ,由正弦定理得b= = =3,故选B.,3.(2019北京西城二模,11)在ABC中,若a= b,b= c,则三个内角中最大角的余弦值为 .,答案 -,解析 因为a= b,b= c,所以
47、a=2c,从而abc,故最大角是A,由a2=b2+c2-2bccos A,得4c2=2c2+c 2-2 c2cos A,得cos A=- .,误区警示 根据三角形中“大边对大角”判断出哪个角最大,然后用余弦定理求解.,4.(2018北京海淀二模,12)在ABC中,abc=456,则tan A= .,答案,解析 因为abc=456, 所以设a=4t,b=5t,c=6t(t0), 则cos A= = = . 因为0A,所以sin A= = , 所以tan A= = .,5.(2018北京东城一模,9)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a2+c2=b2+ac,则B= .,答案,解析 因为cos B= = = ,且B(0,),所以B= .,6.(2019北京房山一模,11)在ABC中,已知BC=6,AC=4,sin A= ,则B= .,答案,解析 在ABC中,由BCAC可知AB,由 = ,得 = ,从而sin B= ,所以B= 或B= (舍).,易错警示 用正弦定理解三角
