1、(2019浙江,9,4分)设a,bR,函数f(x)= 若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点, 则 ( ) A.a0 C.a-1,b-1,b0,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,答案 C 本题以分段函数为背景,考查含参数的三次函数的零点个数问题,通过对参数范围 的讨论,考查学生的推理论证能力,以及数形结合思想,利用多变量的代数式的变形,考查学生 的数学运算的核心素养,以及创新思维与创新意识. 记g(x)=f(x)-ax-b, 当x-1, 当x0,a+1)时,g(x)0,函数g(x)单调递减, 当x(a+1,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增,故g(x)有3个零点的条件为 所以 对照选
2、项,应选C.,考点 函数的零点与方程的根,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2019课标全国文,5,5分)函数f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零点个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 B 本题考查函数零点个数的判断,以三角函数为背景同时考查三角函数式的求值与 化简,以及学生的运算求解能力和函数与方程思想的应用,考查了数学运算的核心素养. 由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0得sin x=0或cos x=1, x=k,kZ,又x0,2,x=0,2,即零点有3个,故选B.,解题关键 遵
3、循角度统一原则,利用二倍角的正弦公式展开计算是解决本题的关键.,2.(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=- x+a(aR)恰有两个互 异的实数解,则a的取值范围为 ( ) A. B. C. 1 D. 1,答案 D 本题以分段函数和方程的解的个数为背景,考查函数图象的画法及应用.,画出函数y=f(x)的图象,如图. 方程f(x)=- x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=- x+a的公共点的个数. 当直线l经过点A时,有2=- 1+a,a= ; 当直线l经过点B时,有1=- 1+a,a= .,由图可知,a 时,函数y=f(x)的图象与l恰有
4、两个交点. 另外,当直线l与曲线y= ,x1相切时,恰有两个公共点,此时a0. 联立 得 =- x+a,即 x2-ax+1=0, 由=a2-4 1=0,得a=1(舍去负根). 综上,a 1.故选D.,一题多解 令g(x)=f(x)+ x= 当0x1时,g(x)=2 + 为增函数,其值域为 ;当x1时,g(x)= + ,对g(x)求导得g(x)=- + ,令g (x)=0,得x=2,当x(1,2)时,g(x)0,g(x)单调递增,当x=2时,g(x)min=g(2)=1,函数g(x)的简图如图 所示: 方程f(x)=- x+a恰有两个互异的实数解,即函数y=g(x)的图象与直线y=a有两个不同的
5、交点,由 图可知 a 或a=1满足条件,故选D.,易错警示 本题入手时,容易分段研究方程2 =- x+a(0x1)与 =- x+a(x1)的解,陷入 相对复杂的运算过程.利用数形结合时,容易在区间的端点处出现误判.,3.(2018课标全国理,9,5分)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的 取值范围是 ( ) A.-1,0) B.0,+) C.-1,+) D.1,+),答案 C 本题主要考查函数的零点及函数的图象. g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)= 与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图, 当x=0时,h(0)=-a,由图
6、可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a1,即a-1.故 选C.,4.(2017课标全国理,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= ( ) A.- B. C. D.1,答案 C 由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解, 令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a= . 令h(t)= ,易得h(t)为偶函数, 又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以a= = ,故选C
7、.,5.(2017山东理,10,5分)已知当x0,1时,函数y=(mx-1)2的图象与y= +m的图象有且只有一个 交点,则正实数m的取值范围是 ( ) A.(0,12 ,+) B.(0,13,+) C.(0, 2 ,+) D.(0, 3,+),答案 B 当0m1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y= +m的图象,如图.,易知此时两函数图象在x0,1上有且只有一个交点; 当m1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y= +m的图象,如图. 要满足题意,则(m-1)21+m,解得m3或m0(舍去),m3. 综上,正实数m的取值范围为(0,13,+).,方法总结
8、 已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法: 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式,再通过解方程或不等式确定参数 的值或取值范围. 分离参数法:将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决. 数形结合法:在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.,6.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 ( ) A.y=cos x B.y=sin x C.y=ln x D.y=x2+1,答案 A y=cos x是偶函数,且存在零点;y=sin x是奇函数;y=ln x既不是奇函数又不是偶函数;y =x2+1是偶函数,但不存在零点.故
9、选A.,7.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)= 函数g(x)=b-f(2-x),其中bR.若函数y=f(x)-g(x)恰 有4个零点,则b的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由已知条件可得g(x)= 函数y=f(x),y=g(x)的图象(如图所示).,要使y=f(x)-g(x)恰有4个零点,只需y=f(x)与y=g(x)的图象恰有4个不同的交点,需满足 在x2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令,h(x)=x2-5x+8-b,需 即 解得 b2. 综上所述,满足条件的b的取值范围是 b2,故选D.,8.(2019江苏,14,5分)设
10、f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数, f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f (x)是奇函数.当x(0,2时, f(x)= ,g(x)= 其中k0.若在区间(0,9上,关 于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是 .,答案,解析 本题考查函数的奇偶性、周期性、直线与圆的位置关系等知识,考查学生的逻辑推理 能力和运算求解能力,考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算. 根据函数f(x)的周期性及奇偶性作图,如图所示.,由图知,当x(0,2时,g(x)与f(x)的图象在x轴上方有2个公共点, 当x(2,4时,g(x)与f(x)的图象在x轴下方有1个公共点
11、, 由f(x)与g(x)的周期性知,当x(4,8时,g(x)与f(x)的图象有3个公共点,当x(8,9时,g(x)与f(x)的 图象有2个公共点. 当y=k(x+2)与y= (0x2)的图象相切时,求得k= ,当直线y=k(x+2)过(1,1)时,k= , k .,从而在(0,9上, f(x)=g(x)有8个不同实数根时,k的取值范围是 .,9.(2018课标全国理,15,5分)函数f(x)=cos 在0,的零点个数为 .,答案 3,解析 本题考查函数与方程. 令f(x)=0,得cos =0,解得x= + (kZ).当k=0时,x= ;当k=1时,x= ;当k=2时,x= ,又 x0,所以满足
12、要求的零点有3个.,10.(2015北京,14,5分)设函数f(x)= 若a=1,则f(x)的最小值为 ; 若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .,答案 -1 2,+),解析 当a=1时, f(x)= 其大致图象如图所示:,由图可知f(x)的最小值为-1. 当a0时,显然函数f(x)无零点; 当01,由二次函数的性质可知,当x1时, f(x)有2个零点, 则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-,1)上无零点,则2-a0,即a2. 综上可知,满足条件的a的取值范围是 2,+).,11.(2015湖北,12,5分)函数f(x)=4cos2 cos -2sin x-|ln(x+1
13、)|的零点个数为 .,答案 2,解析 f(x)=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|,x-1, 函数f(x)的零点个数即为函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|(x-1)的图象的交点个数. 分别作出两个函数的图象,如图,由图可知两函数图象有两个交点,故f(x)有两个零点.,12.(2019课标全国理,20,12分)已知函数f(x)=ln x- . (1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点; (2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.,解析
14、本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数零点以及导数的几何意义.考查学生分 析、解决问题的能力,考查逻辑推理能力和运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心 素养. (1)f(x)的定义域为(0,1)(1,+). 因为f (x)= + 0,所以f(x)在(0,1),(1,+)单调递增. 因为f(e)=1- 0,所以f(x)在(1,+)有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0 1,f =-ln x1+ =-f(x1)=0,故f(x)在(0,1)有唯一零点 . 综上, f(x)有且仅有两个零点.,(2)因为 = ,故点B 在曲线y=ex上. 由题设知f(x0)=0,即ln x0= , 故直线AB的
15、斜率k= = = .,曲线y=ex在点B 处切线的斜率是 ,曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率也是 , 所以曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.,解后反思 (1)先判断函数的单调性,然后结合零点存在性定理证明函数f(x)有且仅有两个零 点. (2)要证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线,首先求得这条切线的斜率k= ,所以必须在曲线y=ex上找一点B(x1, ),使 = ,从而求得B点的坐标为 ,然后证 明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率等于曲线y=ex在点B 处的切线斜率即可
16、.,考点 函数的零点与方程的根,C组 教师专用题组,1.(2018天津理,14,5分)已知a0,函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互 异的实数解,则a的取值范围是 .,答案 (4,8),解析 本题主要考查函数零点的应用. 设g(x)=f(x)-ax= 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点, 满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:,情况一: 则 4a8. 情况二:,则 不等式组无解. 综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).,解题策略 解决方程的根的问题时,通常将其转化为函数的零点问题,进而转化为函数图
17、象的 交点问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.,2.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间0,1)上, f(x)= 其中集 合D= ,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是 .,答案 8,解析 由于f(x)0,1),则只需考虑1x10的情况, 在此范围内,xQ且xZ时,设x= ,p,qN*,p2且p,q互质,若lg xQ,则由lg x0,1),可设lg x = ,m,nN*,m2且m,n互质,因此1 = ,则10n= ,此时等号左边为整数,等号右边为非整 数,矛盾.因此lg xQ, 因此lg x不可能与每个周期内
18、xD对应的部分相等, 只需考虑lg x与每个周期内xD对应的部分的交点.,画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lg x)= = 1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.,3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)= 若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的 取值范围是 .,答案 (-,0)(1,+),解析 当a0时,若x(a,+),则f(x)=x2,当b(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=- ,x2= . 当0a1时, f(x)的图象如图所示,易知函数y=f(x)-b最多有一个零点.
19、 当a1时, f(x)的图象如图所示,当b(a2,a3时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1= ,x2= .综上,a(-,0)(1,+).,4.(2015江苏,13,5分)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)= 则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为 .,答案 4,解析 由|f(x)+g(x)|=1可得f(x)+g(x)=1,即g(x)=-f(x)1,则原问题等价于函数y=g(x)与y=-f(x)+1 或y=g(x)与y=-f(x)-1的图象的交点个数问题,在同一坐标系中作出y=g(x),y=-f(x)+1及y=-f(x)-1的 图象,如图所示. 由图可知,函数y=g(
20、x)的图象与函数y=-f(x)+1的图象有2个交点,与函数y=-f(x)-1的图象有2个交 点,故方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.,5.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1). (1)设a=2,b= . 求方程f(x)=2的根; 若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值; (2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.,解析 (1)因为a=2,b= ,所以f(x)=2x+2-x. 方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-22x+1=0, 所以(2x-1)2=0,于是2
21、x=1,解得x=0. 由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2. 因为f(2x)mf(x)-6对于xR恒成立,且f(x)0, 所以m 对于xR恒成立. 而 =f(x)+ 2 =4,且 =4,所以m4,故实数m的最大值为4.,(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点. 因为g(x)=axln a+bxln b,又由01知ln a0, 所以g(x)=0有唯一解x0=lo . 令h(x)=g(x),则h(x)=(axln a+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b
22、)2, 从而对任意xR,h(x)0,所以g(x)=h(x)是(-,+)上的单调增函数.,于是当x(-,x0)时,g(x)g(x0)=0. 因而函数g(x)在(-,x0)上是单调减函数,在(x0,+)上是单调增函数. 下证x0=0. 若x0 -2=0,且函数g(x)在以 和 loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在 和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为00,同理可得,在 和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.,因此,x0=0. 于是- =1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.,评析 本题主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究初等函数的单调性及零点问 题,考
23、查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.,考点 函数的零点与方程的根,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,8)已知函数f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|,则方程f(2x-1)=f(x)所有 根的和是 ( ) A. B.1 C. D.2,答案 C 由题意可知函数f(x)为偶函数,且在(-,0)上单调递减,(0,+)上单调递增. 从而方程f(2x-1)=f(x)等价于|2x-1|=|x|,解得x=1或x= ,所以所有根的和为 ,故选C.,2.(2019浙江宁波效实中学期中,9)设aR,则函数f(x)=|x3-3x+
24、2|-a|的零点个数最多为( ) A.4 B.6 C.8 D.12,答案 A 将问题转化为求函数y=|x3-3x+2|与y=a图象交点个数最多的问题.易知y=|x3-3x+2|在 (-2,-1),(1,+)上单调递增,在(-,-2),(-1,1)上单调递减.在坐标系中画出其图象(如图),易得当a (0,4)时两函数图象的交点个数最多,为4,故选A.,3.(2019浙江高考信息优化卷(二),10)设f(x)=|sin x|+(x-a)2,已知m,n是实数,那么对某个正整数a, 关于x的方程f 2(x)+mf(x)+n=0的解组成的集合不可能为 ( ) A.1 B.1,2 018 C.1,2,2
25、018,2 019 D.1,2 018,2 019,答案 D 由已知得函数f(x)的图象上存在两对点关于直线x=a对称,所以所求方程的解也有 对称性,而D选项中的集合不存在对称性,故选D.,4.(2019浙江高考数学仿真卷,10)函数f(x)=x+ 对任意mR,|f(m+x)|+|f(m-x)|=a均有解,则a的取 值范围是 ( ) A.4,+) B.(-,-4 C.(-,2) D.(-2,+),答案 A 令g(x)=|f(m+x)|+|f(m-x)|,易知g(x)为偶函数,设x0,则 (1)若m0,则当x2 4; 当xm时,g(x)=2x+ 2 4. (2)若m0,当x2 4; 当x-m时,
26、g(x)=2x+ 2 4. (3)若m=0,则g(x)=2 4. 故当x0时,g(x)4.又g(x)是偶函数,当x0时,g(x)=g(-x)4. 综上,g(x)4,即a4,故选A.,5.(2019浙江金丽衢第一次联考,12)已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x0,1时, f(x)=x,则f = .若在区间-1,3内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是 .,答案 ;,解析 由已知可得函数f(x)是周期为2的偶函数,则f =f =f = . 当x-1,0)时,-x(0,1,f(x)=f(-x)=-x, 当x(1,2时,2-x0,1),f(x)=f(
27、x-2)=f(2-x)=2-x, 当x(2,3时,x-2(0,1,f(x)=f(x-2)=x-2,从而在区间-1,3上, f(x)的解析式为f(x)= 令g(x)=0f(x)=k(x+1),则需保证两个函数y=f(x)和y=k(x+1)的图象有四个不同的 交点,画出图象(图略)可得k .,6.(2019浙江学军中学高三上期中,14)已知函数f(x)= -4,若m=4,则函数f(x)的零点个数为 ;若函数f(x)有4个零点,则实数m的取值范围是 .,答案 2;(-,0)(0,4),解析 当m=4时,f(x)= -4,易得y= 4,当且仅当x=2时等号成立,所以函数f(x)= - 4的零点个数为2
28、. 当m0时,易得y= 2 ,当且仅当x= 时等号成立,要使f(x)= -4有4个零点,则需2 4,解得0m4; 当m=0时,f(x)=|x|-4,此时f(x)仅有2个零点,故舍去; 当m0时,函数y= 0,当且仅当x= 时等号成立,所以此时函数f(x)= -4有4个零 点. 综上,实数m的取值范围为(-,0)(0,4).,7.(2017浙江温州三模(4月),17)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)在区间0,1上有零点,则ab的最大 值为 .,答案,解析 设t为函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的零点,所以t2+at+b=0,即b=-t2-at, 所以ab=-at2-a2t,
29、显然a0. 故ab=-at(t+a)-at(1+a)-a-a2=- + . 故ab的最大值为 .,8.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),17,15分)函数f(x)=2a2ln x+x(a0). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)讨论方程f(x)=x2+x在x(1,e2)上零点个数的情况.,解析 (1)当a=1时, f(x)=2ln x+x, f (x)= +1. f (1)=3. 又f(1)=1,曲线在点(1,1)处的切线方程为y=3x-2. (2)令F(x)=2a2ln x-x2,所以F(x)= = . x0,a0,当00,当xa时,F(x)0, F(
30、x)在(0,a)上是增函数,在(a,+)上是减函数. F(x)max=F(a)=a2(2ln a-1). 讨论函数的零点情况如下: 当a2(2ln a-1)0,即0a 时,函数f(x)无零点,在(1,e2)上也无零点; 当a2(2ln a-1)=0,即a= 时,函数f(x)在(0,+)内有唯一零点a,而1a= e2,F(x)在(1,e2)内 有一个零点;,当a2(2ln a-1)0,即a 时,由于F(1)=-10,F(e2)=2a2ln e2-e4=4a2-e4=(2a-e2) (2a+e2),当2a-e20,即 a 时,1 a e2,F(e2)0,由单调性可知,函数F(x)在(1,a)内有唯
31、,一零点,在(a,e2)内有唯一零点,满足F(x)在(1,e2)内有两个零点;当2a-e20,即a 时,F(e2) 0,而且F( )=2a2 -e=a2-e0,F(1)=-10,由单调性可知,无论ae2还是ae2,F(x)在(1, )内有 唯一的一个零点,在( ,e2)内没有零点,从而F(x)在(1,e2)内只有一个零点. 综上所述,当0a 时,函数F(x)无零点; 当a= 或a 时,函数F(x)有一个零点; 当 a 时,函数F(x)有两个零点.,9.(2017浙江衢州质量检测(1月),22)已知函数f(x)=|x2-a|,g(x)=x2-ax,aR. (1)当a=1时,求f(x)在区间-1,
32、1上的最大值; (2)求f(x)在区间-1,1上的最大值M(a)的最小值; (3)若关于x的方程f(x)+g(x)=0在(0,2)上有两个解,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时, f(x)=|x2-1|, f(x)在区间-1,1上的最大值为1. (2)由于f(x)=|x2-a|在区间-1,1上是偶函数,故只需考虑f(x)在区间0,1上的最大值即可. 若a0,则f(x)=x2-a,它在0,1上是增函数,故M(a)=1-a. 当00,故方程f (x)+g(x)=0在(0,2)上无解. 当a0时,y= 令h(x)=2x2-ax-a.由h(0)=-a0知,方程h(x)=0在(0,+)上只有一解,
33、 又x=1是方程-ax+a=0的解,所以a1,方程h(x)=0在(1,2)上必有一解.,由h(1)h(2)0,得(2-2a)(8-3a)0,所以1a , 综上所述,a的取值范围为1a .,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:30分钟 分值:54分 一、选择题(每小题4分,共12分),1.(2019浙江高考模拟试卷(四),7)已知函数f(x)=ax+1,g(x)= 若两个函数的图象只 有一个交点,则实数a的取值范围为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 当f(x)=ax+1的图象过点(2,2)时,a= ,两函数图象有两个交点;当直线f(x)=ax+1与曲 线g(x)=2 (
34、x2)相切时,a= ,两函数图象有两个交点.结合函数图象(图略)可得所求 实数a的范围为 .,2.(2019浙江衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,9)已知函数f(x)=ax2+bx- (a0)有两个不同 的零点x1,x2,则 ( ) A.x1+x20,x1x20 C.x1+x20 D.x1+x20,x1x20,答案 A 解法一:令f(x)=0,得ax2+bx- =0,即ax3+bx2-1=0,令g(x)=ax3+bx2-1,则函数g(x)有两个非 零的零点,其中g(x)=3ax2+2bx,若b=0,易知g(x)0,不可能有两个零点;若b0,解g(x)=0,得x1=0,x2 =- 0,所以g(x
35、)有两个零点满足x1=- 0,x2 ,所以x1+x20,x1x20,选 A. 解法二:令f(x)=0,得ax2+bx- =0,即ax+b= ,分别画出g(x)=ax+b,h(x)= 的图象,由图可得g(x)= ax+b的图象必与h(x)= 的图象左支相切,变形前后零点的值不变,所以两图象两个交点的横 坐标x1,x2就是f(x)的两个零点,所以x1x20,由对称性可得x1-x2,即x1+x20,选A.,解法三:取a=2,b=3,不难得到两个零点为-1和 ,排除B,C,D,选A.,3.(2019浙江三校第一次联考(4月),10)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c有零点,且a+b+c=1,则ma
36、x mina,b,c= ( ) A. B. C. D.,答案 C 由题意知仅需考虑a,b,c均为正数. 解法一:由题意可知, 由对称性不妨假设ac,所以b24ac4a2,所以b2a,则mina,b,c=a. 此时 所以1=a+b+ca+2a+a=4a, 从而a ,故maxmina,b,c= ,此时f(x)= x2+ x+ 满足题意. 解法二:由题意可知, 所以b2 . 结合基本不等式知1=b+a+c2 +2 ,解得 . 设m=mina,b,c,则 两式相乘可得m2ac ,所以m ,此时f(x)= x2+ x+ ,满足题意.,.二、填空题(共12分),4.(2017浙江名校协作体,17)设函数f
37、(x)=x2-2ax+15-2a,x(0,+)的两个零点分别为x1,x2,且在区 间(x1,x2)上恰好有两个正整数,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 令f(x)=0,即x2+15=2a(x+1),所以 =2a,令x+1=t,则t1, 已知可转化为 =2a在(1,+)上的两个解t1,t2之间恰有两个正整数. 作出函数y=t+ -2和y=2a的图象(如图所示).,易知,仅需t=3,t=5恰有一个满足条件, 而当t=3时,y= ;t=5时,y= .,当2a= ,即a= 时, f(x)=x2- x+15- =x2- x+ .令f(x)=0,解得x1= ,x2=4.此时(x1,x2)内只有1 个正
38、整数.故 2a ,所以 a ,因而实数a的取值范围是 .,5.(2019浙江高考模拟试卷(四),17)函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)在(0,2)上有两个零点x1,x2,且|x1-x2| 1,则a2+a-3b的取值范围为 .,答案,解析 由题意得 则-4b1-a2-3b - a2,a2+a-3b a2+a+ - , 当a=-2,b= 时取等号. 当-4-2a0时,b-4-2aa2+a-3b0a2+a-3ba2+a2(-2a-1). 综上所述,答案为 .,6.(2019浙江金丽衢第二次联考,16)定义在R上的偶函数f(x)满足:当x0时,f(x+4)= f(x),且当0 x4时,f(x)
39、=3|x-3|,若方程f(x)-mx=0恰有三个实根,则m的取值范围是 .,答案 ,解析 因为f(x)是偶函数,所以,可先考虑x0的情况, 当0x4时,f(x)=3|x-3|= 当4x8时, 有0x-44,由f(x+4)= f(x)得 f(x)= f(x-4)=|x-7|= 当8x12时,有0x-84,4x-48, f(x)= f(x-4)= (x-8)= |x-11|= f(x)-mx=0恰有三个实根,转化为函数y=f(x)与y=mx的图象恰有三个交点. 画出函数图象如图:,图中,直线OB与y=f(x)的图象有4个交点,直线OA与y=f(x)的图象有2个交点,在OA与OB之间的 直线与y=f
40、(x)的图象有3个交点,又A(4,3),B(8,1),所以kOA= ,kOB= ,所以, m , 由对称性可知,当x0时,有- m- ,所以,m的取值范围是 .,7.(2017浙江镇海中学一轮阶段测试,22)已知a是不为1的正常数,函数f(x)= - + . (1)当=0时,试判断函数f 的奇偶性,并说明理由; (2)若函数f(x)不存在零点,求实数的取值范围.,三、解答题(共30分),解析 (1)当=0时,函数f 是偶函数,理由如下:当=0时,f(x)= - = = , 因此, f = . 因为定义域 关于原点对称, 且f =f ,所以函数f 为偶函数.,(2)假设f(x)存在零点,即方程
41、- + =0有解, 其等价于= = 在集合xR|x0,x1,xa上有解. 设t= ,g(t)=at2-(a+1)t+1=(at-1)(t-1),其中t0,t1且t . 当 1时,g(t)的取值范围是 (0,+),即 (0,+),此时(-,0) ; 当 1,即01时,若函数f(x)不存在零点,则实数的取值范围为 ; 当0a1时,若函数f(x)不存在零点,则实数的取值范围为 .,8.(2019浙江高考信息优化卷(五),22)已知函数f(x)=ex-mx. (1)设函数g(x)=(x-2)f(x)+mx2+2,若g(x)0在(0,+)内恒成立,求m的取值范围; (2)若函数f(x)有两个不同的零点x
42、1,x2,求证:x1+x22.,解析 (1)g(x)=(x-2)ex+2mx+20在(0,+)上恒成立, 又g(0)=0,g(x)=(x-1)ex+2m,令h(x)=g(x),则h(x)=xex0,所以g(x)在(0,+)上单调递增. 因为g(0)=-1+2m,所以 若g(0)=-1+2m0,则g(x)在(0,+)上单调递增,即g(x)g(0)=0恒成立,即m ; 若g(0)=-1+2m0,则存在x0(0,+),g(x)在(0,x0)上单调递减,当x0(0,+)时,g(x)0,不满足条件. 所以实数m的取值范围是 .,(2)证明:不妨设x1x20,因为f(x1)=f(x2)=0,所以 =mx1
43、, =mx2, 可得m(x1+x2)= + ,m(x1-x2)= - ,消去m,得 x1+x2= = , 令t=x1-x20,则x1+x2= ,令m= , 由(1)得g(t)=(t-2)et+t+20, 所以x1+x2-2= 0,即证得x1+x22.,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,1.(2019 53原创题)已知xf (x)=1+x,x0,且f(1)=2,若不等式f(x)(a+1)x+1有解,则正实数a的取 值范围是 ( ) A.(0, B.(0, ) C. D.,答案 C 由xf (x)=1+x,可得f (x)= +1, 易知f(x)=ln x+x+C, f(1)=2,1+C
44、=2,C=1,f(x)=ln x+x+1. 不等式f(x)(a+1)x+1有解等价于ln xax有解, 即a .令g(x)= ,x0, 则g(x)= ,令g(x)=0,得x=e, 当x(0,e)时,g(x)0,g(x)递增, 当x(e,+)时,g(x)0, 所以0a ,即a .,2.(2019 53原创题)已知函数f(x)=x+ ,过点(1,0)作曲线f(x)的两条切线,切点为A(x1, f(x1),B(x2, f (x2)(0x1x2),若在区间(x1,x2)内存在唯一整数,则a的取值范围是 ( ) A.(-,-2) B.-1,-2) C. D.,答案 C f(x)=x+ ,f (x)=1-
45、 , 由题意知,方程 =1- , 即方程2x2+2ax-a=0有两个不相等的实数根x1,x2(0x1x2), x1+x2=-a,x1x2=- , 0x1x2, 解得a-2.,令g(x)=2x2+2ax-a,则g(1)=a+20, 区间(x1,x2)内存在的唯一整数,为1, 即 a .,3.(2019 53原创题)已知方程ex-1+ x+ -2=0(a0)存在正实数解,则a= ( ) A. B.1 C.2 D.3,答案 B 若ex-1+ x+ -2=0(a0)存在正实数解,只需ex-1-x+ + =2.ex-1-x0(当x=1时等号 成立),且 + 2 ,两式相加可得ex-1-x+ + 2(当且仅当x=1,a=1 时等号成立),由此可知a=1.故选B.,
