1、考点一 正弦、余弦定理,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,1.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD = ,cosABD= .,答案 ;,解析 本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长 度和角度的计算体现了数学运算的核心素养. 在BDC中,BC=3,sinBCD= ,BDC=45,由正弦定理得 = ,则BD= = , 在ABD中,sinBAD= ,cosBAD= ,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos 45cosBAD+s
2、in 45sinBAD= = .,思路分析 在BCD中,由正弦定理求BD的值;cosABD的值可通过两角差的余弦公式求解.,解题反思 三角恒等变换和正弦定理、余弦定理是解三角形的基础知识,在熟练掌握的前提 下,应比较运算量大小,从而选取比较理想的解法.,2.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a= ,b=2,A=60,则sin B= ,c= .,答案 ;3,解析 本题考查正弦定理、余弦定理. 由 = 得sin B= sin A= , 由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).,1.(2017浙江,11,4分)我国
3、古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的 值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领 先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= .,考点二 解三角形及其综合应用,答案,解析 本题考查圆内接正六边形面积的计算. S6=6 11sin 60= .,2.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则 BDC的面积是 ,cosBDC= .,答案 ;,解析 本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解 能力. A
4、B=AC=4,BC=2,cosABC= = , ABC为三角形的内角,sinABC= , sinCBD= ,故SCBD= 22 = . BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC= , 2cos2BDC-1= ,得cos2BDC= , 又BDC为锐角,cosBDC= .,3.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若ABC的面积S= ,求角A的大小.,解析 (1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=s
5、in B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 由已知得cos B0,则B .又A(0,),故- A-B. 所以,B=-(A-B)或B=A-B, 因此A=(舍去)或A=2B, 所以,A=2B.,(2)由S= 得 absin C= ,故有sin Bsin C= sin 2B=sin Bcos B, 因sin B0,得sin C=cos B. 又B ,C(0,),所以C= B. 当B+C= 时,A= ; 当C-B= 时,A= .,综上,A= 或A= .,评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考 查运算求解能力.,4.
6、(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A= ,b2-a2= c2. (1)求tan C的值; (2)若ABC的面积为3,求b的值.,解析 (1)由b2-a2= c2及正弦定理得sin2B- = sin2C,所以-cos 2B=sin2C. 又由A= ,即B+C= ,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2. (2)由tan C=2,C(0,)得sin C= ,cos C= . 又因为sin B=sin(A+C)=sin ,所以sin B= . 由正弦定理得c= b, 又因为A= , bcsin A=3,所以bc
7、=6 ,故b=3.,评析 本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.,5.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan =2. (1)求 的值; (2)若B= ,a=3,求ABC的面积.,解析 (1)由tan =2,得tan A= , 所以 = = . (2)由tan A= ,A(0,),得 sin A= ,cos A= . 又由a=3,B= 及正弦定理 = ,得b=3 . 由sin C=sin(A+B)=sin 得sin C= . 设ABC的面积为S,则S= absin C=9.,评析 本题主要考查三角恒等变换、正弦定理
8、等基础知识,同时考查运算求解能力.,考点一 正弦、余弦定理,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2018课标全国理,6,5分)在ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,则AB= ( ) A.4 B. C. D.2,答案 A 本题考查二倍角公式和余弦定理. cos = ,cos C=2cos2 -1=2 -1=- , 又BC=1,AC=5, AB= = =4 .故选A.,2.(2017课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= , 则C= ( ) A. B. C. D.,答案 B 在ABC
9、中,sin B=sin(A+C), 则sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, 即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, cos Asin C+sin Asin C=0,sin C0,cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A= . 由 = 得 = ,sin C= , 又0C ,C= ,故选B.,3.(2017山东理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+
10、cos Asin C,则下列等式成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A,答案 A 本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理. 解法一:因为sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C), 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B, 即cos C(2sin B-sin A)=0, 所以cos C=0或2sin B=sin A, 即C=90或2b=a, 又ABC为锐角三角形,所以0C90,故2b=a.故选A.,解法二:由
11、正弦定理和余弦定理得 b =2a +c , 所以2b2 =a2+3b2-c2, 即 (a2+b2-c2)=a2+b2-c2, 即(a2+b2-c2) =0,所以a2+b2=c2或2b=a, 又ABC为锐角三角形,所以a2+b2c2,故2b=a,故选A.,方法总结 解三角形时,可以由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求 解.注意灵活运用三角公式.,4.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB= ,BC=3,C=120,则AC= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 A 在ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcos C,得13
12、=9+b2-23b ,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.,评析 本题考查了余弦定理的应用和方程思想,属容易题.,5.(2019课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B = .,答案 ,解析 本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算. 在ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0, sin A0,sin B+cos B=0, 即tan B=-1, 又B(0,),B= .,6.(2018课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b
13、,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为 .,答案,解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解. 由已知条件及正弦定理可得2sin Bsin C=4sin Asin Bsin C,易知sin Bsin C0,sin A= ,又b2+c 2-a2=8,cos A= = ,cos A0,cos A= ,即 = ,bc= , ABC的面积S= bcsin A= = .,解题关键 正确利用正弦定理将“边”转化为“角”,求出sin A是解决本题的关键.,7.(2016课标全国,13,5分)ABC的内角A,B,C
14、的对边分别为a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1,则 b= .,答案,解析 由已知可得sin A= ,sin C= ,则sin B=sin(A+C)= + = ,再由正弦定理可得 = b= = .,解后反思 在解三角形的问题中,给出边长及角的正弦或余弦值时,往往要用到两角和或差的 正、余弦公式及正、余弦定理.,8.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3 ,b-c =2,cos A=- ,则a的值为 .,答案 8,解析 因为cos A=- ,0A,所以sin A= = .由3 = bcsin A得bc=24.又因为b-
15、c= 2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=36+16+12=64.故a=8.,9.(2015福建,12,4分)若锐角ABC的面积为10 ,且AB=5,AC=8,则BC等于 .,答案 7,解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及 bcsin A=10 得sin A= ,因为A为锐角, 所以A=60,cos A= .由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=64+25-240 =49,故a=7,即BC=7.,评析 本题考查了三角形的面积公式和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键.,10.(2015广东,11,5分)设ABC的内
16、角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a= ,sin B= ,C= ,则b= .,答案 1,解析 在ABC中,由sin B= ,可得B= 或B= ,结合C= 可知B= .从而A= ,利用正弦定 理 = ,可得b=1.,11.(2019天津理,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4 asin C. (1)求cos B的值; (2)求sin 的值.,解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公 式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养 的重视.满分13分
17、. (1)在ABC中,由正弦定理 = ,得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因为b+c=2a,得到b= a,c= a. 由余弦定理可得cos B= = =- .,(2)由(1)可得sin B= = , 从而sin 2B=2sin Bcos B=- ,cos 2B=cos2B-sin2B=- , 故sin =sin 2Bcos +cos 2Bsin =- - =- .,思路分析 (1)由已知边角关系:3csin B=4asin C利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理 即可求出cos B. (2)由(1)利用
18、同角三角函数基本关系式,求出sin B再由二倍角公式求出sin 2B、cos 2B,代入两 角和的正弦函数公式即可求出sin 的值.,易错警示 角B为三角形内角,故sin B0,由cos B求sin B仅有一正解.,12.(2019北京文,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求b,c的值; (2)求sin(B+C)的值.,解析 本题主要考查余弦定理及其推论的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力, 以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得b2=32+c2-23c . 因为b=c+2,
19、 所以(c+2)2=32+c2-23c . 解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=- 得sin B= . 由正弦定理得sin A= sin B= . 在ABC中,B+C=-A. 所以sin(B+C)=sin A= .,13.(2019江苏,15,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b= ,cos B= ,求c的值; (2)若 = ,求sin 的值.,解析 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考 查运算求解能力.满分14分. (1)因为a=3c,b= ,cos B= , 由余弦定理得cos B= ,得 = , 即
20、c2= .所以c= .,(2)因为 = , 由正弦定理 = ,得 = ,所以cos B=2sin B. 从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B), 故cos2B= . 因为sin B0,所以cos B=2sin B0,从而cos B= . 因此sin =cos B= .,14.(2019课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A- sin Bsin C. (1)求A; (2)若 a+b=2c,求sin C.,解析 本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运 算求
21、解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算. (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cos A= = . 因为0A180,所以A=60. (2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得 sin A+sin(120-C)=2sin C, 即 + cos C+ sin C=2sin C,可得cos(C+60)=- . 由于0C120,所以sin(C+60)= , 故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60= .,思路分析 (1)先借助正弦定理将角化为
22、边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角 A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正 弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C.,15.(2019北京理,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值.,解析 本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心素养. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得 b2=32+c2-23c . 因为b=c+2
23、,所以(c+2)2=32+c2-23c .解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=- 得sin B= . 由正弦定理得sin C= sin B= . 在ABC中,B是钝角,所以C为锐角. 所以cos C= = . 所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C= .,16.(2018课标全国理,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB; (2)若DC=2 ,求BC.,解析 (1)在ABD中,由正弦定理得 = . 由题设知, = ,所以sinADB= . 由题设知,ADB90,所以cosADB= = . (2
24、)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB= . 在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252 =25. 所以BC=5.,方法总结 正、余弦定理的应用原则. (1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通 过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用. (2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用. (3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因 式,以免漏解. (4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答 此类问题时需要进行分类讨论
25、,以免漏解或增解.,17.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B= ,C= . (1)求AB的长; (2)求cos 的值.,解析 (1)因为cos B= ,0B,所以sin B= = = . 由正弦定理知 = ,所以AB= = =5 . (2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C), 于是cos A=-cos(B+C)=-cos =-cos Bcos +sin Bsin , 又cos B= ,sin B= ,故cos A=- + =- . 因为0A,所以sin A= = . 因此,cos =cos Acos +sin Asin =- + = .,评析 本题主要考
26、查正弦定理、同角三角函数关系与两角和(差)的三角函数,考查运算求解能力.,18.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍. (1)求 ; (2)若AD=1,DC= ,求BD和AC的长.,解析 (1)SABD= ABADsinBAD, SADC= ACADsinCAD. 因为SABD=2SADC,BAD=CAD, 所以AB=2AC. 由正弦定理可得 = = . (2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD= . 在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcos
27、ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.,1.(2018课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为 ,则C= ( ) A. B. C. D.,考点二 解三角形及其综合应用,答案 C 因为a2+b2-c2=2abcos C,且SABC= , 所以SABC= = absin C, 所以tan C=1,又C(0,), 所以C= .故选C.,2.(2019课标全国理,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B= ,则 ABC的面积为 .,答案 6,解析 本题考
28、查解三角形,余弦定理,三角形面积公式;通过余弦定理和三角形面积公式的运用 考查推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. 由b2=a2+c2-2accos B及已知得62=(2c)2+c2-22cc , c=2 (c=-2 舍去). a=2c=4 ,ABC的面积S= acsin B= 4 2 =6 .,3.(2018北京文,14,5分)若ABC的面积为 (a2+c2-b2),且C为钝角,则B= ; 的取 值范围是 .,答案 ;(2,+),解析 本题主要考查正弦、余弦定理,三角形面积公式,三角恒等变换. 依题意有 acsin B= (a2+c2-b2)= 2accos B,
29、 则tan B= ,0 , 又A0,0 ,故 + =2.故 的取值范围为(2,+).,4.(2017课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b= ,c=3,则 A= .,答案 75,解析 由正弦定理得 = ,sin B= , 又cb,B=45,A=75.,易错警示 本题求得sin B= 后,要注意利用bc确定B=45,从而求得A=75.,5.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是 .,答案 ( - , + ),解析 如图,依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,C
30、BD=.在BCD中, 由正弦定理得 = .由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定 理得 = ,所以 = ,即y= = = = .,因为075,+75=180,所以30105, 当=90时,易得y= ; 当90时,y= = , 又tan 30= ,tan 105=tan(60+45)= =-2- ,结合正切函数的性质知, ,( -2, ),且 0,所以y= ( - , )( , + ). 综上所述:y( - , + ).,评析 本题考查了三角函数和解三角形,利用函数的思想方法是求解关键,属偏难题.,6.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,
31、则 = .,答案 1,解析 在ABC中,由余弦定理可得cos A= = = ,由正弦定理可知 = = = =1.,评析 本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算 求解能力和知识的应用转化能力.,7.(2019课标全国文,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsin A. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.,解析 本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌 握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)由题设及正
32、弦定理得sin Asin =sin Bsin A. 因为sin A0,所以sin =sin B. 由A+B+C=180,可得sin =cos , 故cos =2sin cos . 因为cos 0,故sin = ,因此B=60.,(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC= a. 由正弦定理得a= = = + . 由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90. 由(1)知A+C=120,所以30C90, 故 a2,从而 SABC .,因此,ABC面积的取值范围是 .,思路分析 (1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B. (2)用正弦定理先表示出a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出
33、角C的范围,进而求出ABC 面积的取值范围.,8.(2018北京理,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=- . (1)求A; (2)求AC边上的高.,解析 (1)在ABC中,因为cos B=- ,所以sin B= = . 由正弦定理得sin A= = . 由题设知 B,所以0A .所以A= . (2)在ABC中, 因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= , 所以AC边上的高为asin C=7 = .,9.(2018天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos . (1)求角B的大小
34、; (2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.,解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余 弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在ABC中,由正弦定理 = ,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos ,得asin B=a- cos ,即sin B=cos ,可得tan B= .又因为B(0,),可得B= . (2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B= ,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b= . 由bsin A=acos ,可得sin A= . 因为ac,故cos A= .
35、因此sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1= . 所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B= - = .,10.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为 . (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.,解析 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行 运算求解的能力. (1)由题设得 acsin B= ,即 csin B= . 由正弦定理得 sin Csin B= . 故sin Bsin
36、C= . (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=- , 即cos(B+C)=- .所以B+C= ,故A= . 由题设得 bcsin A= ,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= . 故ABC的周长为3+ .,思路分析 (1)首先利用三角形的面积公式可得 acsin B= ,然后利用正弦定理,把边转化 成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc 的值,
37、最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出ABC的周长.,方法总结 解三角形的综合应用. (1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计 算,例如:将 csin B= 变形为 sin Csin B= . (2)三角形面积公式:S= absin C= acsin B= bcsin A. (3)三角形的内角和为.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+ C)=sin A.,11.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+ cos A=0, a=2 ,b=2. (1)求c; (2
38、)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.,解析 本题考查解三角形. (1)由已知可得tan A=- ,所以A= . 在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos ,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),或c=4. (2)由题设可得CAD= , 所以BAD=BAC-CAD= . 故ABD面积与ACD面积的比值为 =1. 又ABC的面积为 42sinBAC=2 , 所以ABD的面积为 .,思路分析 (1)由sin A+ cos A=0,可求得tan A=- ,注意到A是三角形内角,得A= ,再由余 弦定理求c.(2)由题意知CAD= ,BAD= ,于是可求得 的值,再由SA
39、BC= 42sin BAC=2 得解.,一题多解 (2)另解一:由余弦定理得cos C= ,在RtACD中,cos C= ,CD= ,AD= ,DB=CD= ,SABD=SACD= 2 sin C= = . 另解二:BAD= ,由余弦定理得cos C= ,CD= , AD= ,SABD= 4 sinDAB= . 另解三:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB= - = ,AB=4,BE=2, BE=CA,从而可得ADCEDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD= SABC= 24sin CAB= .,12.(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别
40、为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c= ,ABC的面积为 ,求ABC的周长.,解析 (1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, (2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C. (4分) 可得cos C= ,所以C= . (6分) (2)由已知,得 absin C= . 又C= ,所以ab=6. (8分) 由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25. (10分) 所以ABC的周长为5
41、+ . (12分),评析 本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式 也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转 化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.,13.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ ac. (1)求B的大小; (2)求 cos A+cos C的最大值.,解析 (1)由余弦定理及题设得cos B= = = . 又因为0B,所以B= . (6分) (2)由(1)知A+C= . cos A+cos C= cos A+cos = cos A- cos A+ sin A = cos
42、 A+ sin A =cos . (11分) 因为0A , 所以当A= 时, cos A+cos C取得最大值1. (13分),思路分析 第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角 形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题得解.,评析 本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.,14.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角. (1)证明:tan = ; (2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan +tan +tan +tan 的值.,
43、解析 (1)证明:tan = = = . (2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B. 由(1),有tan +tan +tan +tan = + + + = + . 连接BD. 在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A, 在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C, 所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A. 则cos A= = = . 于是sin A= = = .,连接AC.同理可得 cos B= = = , 于是sin B= = = . 所以,tan +tan +tan +tan = + = + = .,
44、评析 本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识, 考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.,考点一 正弦、余弦定理,C组 教师专用题组,1.(2017课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .,答案,解析 由正弦定理及三角形的内角和定理或余弦定理可得. 解法一:2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin Bcos B= B= . 解法二:由余弦定理可得2bcos B=a +c ,所以2bcos B=b
45、,故cos B= .又B为 ABC的内角,故B= .,名师点睛 解三角形问题,多为边或角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件 灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤: 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实现边角之间的互化. 第三步:求结果.,2.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB= ,A的角平分线AD= ,则AC= .,答案,解析 依题意知BDA=C+ BAC,由正弦定理得 = ,sin = , C+BAC=180-B=60, C+ BAC
46、=45, BAC=30,C=30.从而AC=2ABcos 30= .,3.(2017山东文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3, =-6,SABC=3,求 A和a.,解析 本题考查向量数量积的运算及解三角形. 因为 =-6,所以bccos A=-6, 又SABC=3,所以bcsin A=6, 因此tan A=-1,又0A,所以A= . 又b=3,所以c=2 . 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 得a2=9+8-232 =29, 所以a= .,4.(2016四川,17,12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 + = . (
47、1)证明:sin Asin B=sin C; (2)若b2+c2-a2= bc,求tan B.,解析 (1)证明:根据正弦定理,可设 = = =k(k0). 则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入 + = 中,有 + = ,变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C, 所以sin Asin B=sin C.,(2)由已知,b2+c2-a2= bc,根据余弦定理,有 cos A= = . 所以sin A= = . 由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以 sin B= cos B+ sin B, 故tan B= =4.,评析 本题考查的知识点主要是正、余弦定理以及两角和的正弦公式.,1.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c= a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求ABC的面积.,考点二 解三角形及其综合应用,解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式. (1)在ABC中,因为
