1、A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的 点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1. 可知 = = = = ,故选A.,2.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .,答案 9,解析 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10
2、,x0=9,即点 M到y轴的距离为9.,3.(2016浙江文,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等 于|AF|-1. (1)求p的值; (2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x 轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.,解析 (1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定 义得 =1,即p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1. 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由 消去
3、x得y2-4sy-4=0, 故y1y2=-4,所以,B . 又直线AB的斜率为 ,故直线FN的斜率为- . 从而得直线FN:y=- (x-1),直线BN:y=- . 所以N . 设M(m,0),由A,M,N三点共线得 = ,于是m= .,所以m2.经检验,m2满足题意. 综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).,思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的 方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐 标,最后利用A,M,N三点共线可得kAM=kAN,最终求出结果.,评析 本题主要考查抛物
4、线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查 解析几何的基本思想方法和综合解题能力.,考点一 抛物线的定义和标准方程,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2017课标全国理,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴 于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .,答案 6,解析 如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交 点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1| =3,从而|FN|=2|FM|=6.,方法总结
5、 当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义 在解题中的重要作用.,思路分析 过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解.,2.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .,答案 2,解析 抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=- (p0),故直线x=- 过双曲线x2-y2=1的左焦点(- ,0), 从而- =- ,得p=2 .,3.(2019北京理,18,14分)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程; (2)设O为原点,过抛物线C的焦
6、点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交 直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.,解析 本题主要考查抛物线、直线和圆的基本概念,重点考查直线与抛物线的位置关系,考查 学生对数形结合思想的应用以及逻辑推理能力,通过直线与抛物线的位置关系考查了数学运 算的核心素养. (1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2. 所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1. (2)抛物线C的焦点为F(0,-1). 设直线l的方程为y=kx-1(k0). 由 得x2+4kx-4=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2
7、=-4,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4, 直线OM的方程为y= x. 令y=-1,得点A的横坐标xA=- . 同理得点B的横坐标xB=- .,设点D(0,n),则 = , = , = +(n+1)2= +(n+1)2 = +(n+1)2=-4+(n+1)2. 令 =0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3. 综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).,1.(2016课标全国,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两 点.已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则C的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4
8、C.6 D.8,考点二 抛物线的几何性质,答案 B 不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2 ),则x1= = ,由题意可知|OA|=|OD|,得 +8= +5,解得p=4.故选B.,2.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4, 则抛物线的焦点坐标为 .,答案 (1,0),解析 本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算. 由题意得a0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2 ),B(1,-2 ),故|AB|=4 =4,得a=1,故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).,3.(2018
9、课标全国理,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A,B两点.若AMB=90,则k= .,答案 2,解析 本题考查抛物线的几何性质及应用. 解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x= +1,设A ,B ,将直线方程与抛物线方程联立得 整理得y2- y-4=0,从而得y1+y 2= ,y1y2=-4. M(-1,1),AMB=90, =0,即 +(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则 -得 - =4(x2-x1),从而k
10、= = .,设AB的中点为M,连接MM.直线AB过抛物线y2=4x的焦点, 以线段AB为直径的M与准线l:x=-1相切. M(-1,1),AMB=90, 点M在准线l:x=-1上,同时在M上,准线l是M的切线,切点为M,且MMl, 即MM与x轴平行, 点M的纵坐标为1,即 =1y1+y2=2, 故k= = =2.,疑难突破 运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.,4.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点 作直线l与抛物线C交于不同 的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点. (1)求抛
11、物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A为线段BM的中点.,解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系. (1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p= . 所以抛物线C的方程为y2=x. 抛物线C的焦点坐标为 ,准线方程为x=- . (2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+ (k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2). 由 得4k2x2+(4k-4)x+1=0. 则x1+x2= ,x1x2= .,因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y= x, 点B的坐标为 . 因为
12、y1+ -2x1=,= = = =0, 所以y1+ =2x1. 故A为线段BM的中点.,方法总结 在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联 立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.,易错警示 在设直线方程时,若设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若设成x=ty+n的 形式,注意先讨论斜率是不是0.,考点一 抛物线的定义和标准方程,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),2)抛物线y2=4ax的焦点坐标为 ( ) A.(a,0)或(-a,0) B.(a,0) C.(-
13、a,0) D.(|a|,0),答案 B 当a0时,抛物线的焦点为(a,0),当a0时,焦点坐标为(-(-a),0).故选B.,2.(2018浙江名校协作体期初,15)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y 轴于点N.若 = ,则| |= .,答案 5,解析 由题意知F(1,0),设M(x,y),N(0,n),由 = ,得x= ,y= . 由y2=4x,得n2=24,则| |= =5.,3.(2019浙江高考信息优化卷(四),12)抛物线y=x2-2x的焦点坐标是 ,准线方程是 .,答案 ;y=-,解析 因为x2=y的焦点坐标是 ,所以抛物线(x-1)2-1=y的焦点
14、坐标为 ,故其准线方程 为y=- .,4.(2019浙江浙南联盟高三上期末,15)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F.若抛物线上存在点A, 使得线段AF的中点的横坐标为1,则|AF|= .,答案 2,解析 解法一:设点A的坐标为(x,y),由题意得, +x=2,所以x=2- ,因为抛物线上任一点到焦点 的距离等于到准线的距离,所以|AF|=x+ =2- + =2. 解法二:过点A作x轴的垂线,交x轴于点G, 由题意得F ,设A(x,y),因为线段AF的中点的横坐标为1,所以x=2- ,所以|FG|=|2-p|,y2=2px= 2p =4p-p2,所以|AF|2=|FG|2+y2=(2-p
15、)2+4p-p2=4,则|AF|=2.,5.(2019浙江名校新高考研究联盟第一次联考,21)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点M(-2,8), 且|MF|=4 . (1)求抛物线的方程; (2)设A,B是抛物线上的两点,当F为ABM的垂心时,求直线AB的方程.,解析 (1)由题意得|MF|= =4 , 解得p=4或p=-12(舍去), 所以抛物线的方程为y2=8x. (5分) (2)设A(x1,y1),B(x2,y2). 因为F是ABM的垂心,所以MFAB,所以kMFkAB=-1, 故kAB= , (7分) 所以设直线AB的方程为x=2y+n,与y2=8x联立得y2-16y-8n=
16、0. 令0,有n-8. y1+y2=16,y1y2=-8n. (10分),因为F是ABM的垂心,所以MAFB. 即x1x2-2x1+2x2-4+y1y2-8y2=0, 同理,x1x2-2x2+2x1-4+y1y2-8y1=0, +得2x1x2-8+2y1y2-8(y1+y2)=0. (13分),所以n2-8n-68=0,解得n=42 ,又因为n-8, 所以直线AB的方程为x-2y-42 =0. (15分),1.(2018浙江杭州二中期中,8)已知点A(4,4)在抛物线y2=2px(p0)上,该抛物线的焦点为F,过点A 作抛物线准线的垂线,垂足为E,则EAF的平分线所在的直线方程为 ( ) A.
17、2x+y-12=0 B.x+2y-12=0 C.2x-y-4=0 D.x-2y+4=0,考点二 抛物线的几何性质,答案 D 由题意知,所求直线即为在点A处的切线4y=4 ,即x-2y+4=0,故选D.,2.(2019浙江金华十校高三上期末,17)已知点F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,点A在抛物线上, 点B在抛物线的准线上,且A,B两点都在x轴的上方.若FAFB,tanFAB= ,则直线FA的斜率为 .,答案,解析 y2=2px(p0)的焦点为F ,准线方程为x=- ,如图,设A在x轴上的射影为N,准线与x轴 的交点为M,FAFB,tanFAB= = , 可设|AF|=3t,|BF|=
18、t, 易得AFN=FBM, 则sinAFN= =sinFBM= , 即有yA=3p,xA= p,则直线AF的斜率为 = = . 故答案为 .,解后反思 本题考查抛物线的方程和性质,注意在直角三角形中,运用正弦和正切的定义解题, 属于中档题. 先求得抛物线的焦点坐标和准线方程,再在直角三角形中,运用正弦和正切的定义,求得A点的 坐标,最后由斜率公式计算求得直线FA的斜率.,3.(2019浙江新高考调研模拟卷(五)(绍兴一中),21)已知抛物线C1的方程为y2=4x,直线x=-1上有 一动点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B. (1)证明:直线AB过定点; (2)如果圆C2的方程为(x
19、-2)2+y2=4,直线AB与圆C2交于C、D两点,求|AB|CD|的最小值.,解析 (1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(-1,t),则kPA= ,直线PA:y-y1= (x-x1),将P(-1,t)代入,得t-y1= (-1-x1),即ty1- =2(-1-x1). 因为 =4x1,所以2x1-ty1-2=0,同理有2x2-ty2-2=0, 从而(x1,y1),(x2,y2)是直线2x-ty-2=0上的两个点, 所以直线2x-ty-2=0经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 即直线AB:2x-ty-2=0,所以直线AB过定点(1,0) . (2)联立方程 得y2-2
20、ty-4=0, 故=4t2+160,y1+y2=2t,y1y2=-4, |AB|=x1+x2+2= +2= +2= +2=t2+4, |CD|=2 =2 =2 (d为圆心(2,0)到直线AB的距离), 所以|AB|CD|=(t2+4)2 =2 =4 8 ,当且仅当t=0时取 到等号,故|AB|CD|的最小值为8 .,4.(2019浙江台州一中、天台一中高三上期中,21)如图,已知直线PA,PB与抛物线x2=4y分别相 切于点 A,B . (1)若点P在直线y=-1上,求证:直线AB过定点; (2)若点P是半椭圆 + =1(y0)上的动点,求PAB面积的取值范围.,解析 (1)证明:设A(x1,
21、y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 易知y= ,直线AB:y= x- . 易得切线PA的方程为y= x- ,切线PB的方程为y= x- . 由两切线相交于点P,可得 由y0=-1,可得直线AB的方程为y= x+1,直线AB过定点(0,1). (2)由(1)知直线AB:y= x- ,即y= x-y0,且 点P 到直线AB的距离d= ,|AB|= = , SPAB= |AB|d= . 令t= -4y0,由 + =1,可得t=- -4y0+4,y0- ,0),则t(4,7,从而PAB面积的取值范围为 .,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:45分钟 分值:84分 一、选择题
22、(每小题4分,共8分),1.(2018浙江镇海中学期中,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为原点,若M是抛物线上的动点,则 的最大值为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 设M(x,y),则 = = . 令x+1=t1,则 = = , (0,1, = 时,即x=2时, 取到最大值 ,故选C.,2.(2019浙江新高考调研模拟卷(二)(浙师大附中),8)如图,已知圆方程(x-1)2+y2=1,直线l过抛物线 y2=4x的焦点F,且直线l与抛物线和圆的交点从上到下依次为A,B,C,D,则 ( ) A.|AB|+|CD|为定值 B.|AB|CD|为定值 C.|AC|BD|为定值 D.|AC
23、|BD|为定值,答案 B 设A(x1,y1),D(x2,y2),由抛物线的定义得,|AF|=x1+1,|DF|=x2+1,则|AB|=x1,|CD|=x2,|AC|=x1 +2,|DB|=x2+2.若直线l的斜率不存在,则直线方程为x=1,|AB|=1,|CD|=1,|AC|=3,|BD|=3;若直线l的 斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),与y2=4x联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根与系数的关系得x1+x2=2 + ,x1x2=1,所以|AB|CD|=x1x2=1,故|AB|CD|为定值1,故选B.,3.(2019浙江新高考调研模拟卷(一),13)抛物线y2=4x的焦点F
24、的坐标为 ,过F的直线交 抛物线y2=4x于A,B两点,若 =2 ,则A点的坐标为 .,二、填空题(共16分),答案 (1,0);(2,2 ),解析 由题意可知焦点F的坐标为(1,0),则LABy=k(x-1). 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线AB与抛物线的方程得y2- -4=0,则y1y2=-4,又因为 =2 ,所以y1= -2y2, 联立 解得y1=2 , 所以x1=2,故A(2,2 ).,4.(2019浙江新高考调研模拟卷(四)(绍兴一中),16)如图,已知E、F为双曲线的左、右焦点,F为 抛物线的焦点,A,B为双曲线与抛物线的公共点,若|BE|= |AF|,则双曲线的离
25、心率为 .,答案 4,解析 连接AE,过E作抛物线的准线l,过A作AAl.由抛物线的定义得|AA|=|AF|,由双曲线的定 义得|AE|-|AF|=2a,又|AE|=|BE|= |AF|,可得|AF|=8a,|AE|=10a.因为cosAEF=sinAEA= ,所以 在三角形AEF中,由余弦定理得 = ,即e2-8e+9=0,解得e=4 .,5.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,13)设抛物线y2=4x的焦点为F,P,R为抛物线上的点,若|PF| =4,则点P的坐标是 ;若直线RF与抛物线的另一交点为Q,且RQO(O为坐标原点)的 重心在直线y= x上,则直线RF的斜率是 .,答案 (3
26、,2 );2或1,解析 由xP+1=4,得xP=3,所以yP= =2 ,故P点坐标为(3,2 ). 显然直线RF的斜率存在且不为0,设直线RF:y=k(x-1)(k0).将其代入y2=4x,消去x,得ky2-4y-4k=0, 设R(x1,y1),Q(x2,y2),所以y1+y2= ,y1y2=-4, 因此x1+x2= ( + )= -2y1y2= +2, 所以RQO的重心坐标为 ,又重心在直线y= x上,故 = ,即k2-3k+2 =0,所以k=1或2.,6.(2019浙江新高考调研模拟卷(三)(镇海中学),21)已知抛物线y2=4x,直线l:y=- x+b与抛物线交 于A,B两点. (1)若
27、以AB为直径的圆过抛物线的焦点,求直线l的方程; (2)若直线l与y轴负半轴相交,设抛物线的准线与x轴的交点为M,求MAB面积的最大值.,三、解答题(共60分),解析 由 得y2+8y-8b=0, 由题意知0,即b-2,由根与系数的关系得y1+y2=-8,y1y2=-8b,且x1+x2=4b-2(y1+y2)=4b+16,x1x2= =4b2. (1)令A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1-1)(x2-1)+y1y2=0, (x1-1)(x2-1)+ =0, x1x2- (x1+x2)+b2+1=0,则4b2-12b-15=0, b= ,故直线l的方程为y=- x+ . (2)由弦长公
28、式得|AB|= ,设点M到直线AB的距离为d,则由点到直线的距离公式得d = , SMAB=2 |1+2b|(b0),令f(b)=(2+b)(1+2b)2(-2b0),f (b)=(1+2b)(9+6b),令f (b)=0,得b=- 或b=- , f(b)在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增, 当b=- 时MAB的面积最大,最大值为4.,7.(2019浙江宁波高三上期末,21,15分)过抛物线x2=2y的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,抛物 线在A,B处的切线交于点E. (1)求证:EFAB; (2)设 = ,当 时,求ABE的面积的最小值.,解析 (1)证明:显然AB的斜率存在,
29、易得F ,设直线AB的方程为y=kx+ , 与抛物线方程x2=2y联立,得x2-2kx-1=0, 设A ,B ,由根与系数的关系得x1+x2=2k,x1x2=-1. (2分) 由题易得切线AE的方程为x1x=y+ ,切线BE的方程为x2x=y+ , (4分) 当k0时,联立AE与BE的方程可得y= = =- ,x= = =k,故E . (6分) 所以kEFkAB= k=-1,所以EFAB. 当k=0时,显然有EFAB. 所以EFAB. (7分) (2)由 = ,得x1=-x2,结合根与系数的关系, 得x2= , = ,从而k2= , (9分),又|AB|= |x1-x2|= =2(1+k2),
30、 |EF|= , (11分) 所以SABE= |AB|EF|= , 因为k2= = 在 上递减, 所以当= 时,k2取最小值,此时ABE的面积取得最小值 . (15分),解后反思 1.研究直线与圆锥曲线位置关系的问题,通常有两种方法:一是转化为研究方程组 的解的问题,利用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组消去一个变量后,将交点问题(包括 公共点个数、与交点坐标有关的问题)转化为一元二次方程根的问题,再结合根与系数的关系 及判别式解决问题;二是运用数形结合,迅速判断直线和圆锥曲线的位置关系.,2.涉及弦长问题,利用弦长公式及根与系数的关系求解,涉及弦的中点及中点弦问题,利用点差 法较为简便.,3
31、.充分发挥判别式和根与系数的关系在解题中的作用.灵活应用数形结合的思想、函数思 想、等价转化思想、分类讨论思想解题.,8.(2018浙江嵊州高三期末质检,21)如图,已知抛物线y2=x,点A(1,1),B(4,-2),抛物线上的点P(x,y) (y1),直线AP与x轴相交于点Q,记PAB,QAB的面积分别是S1,S2. (1)若APPB,求点P的纵坐标; (2)求S1-5S2的最小值.,解析 (1)因为kAP= = = ,kBP= = = . 由APBP,得kAPkBP= =-1,即y2-y-1=0,得y= 或y= (舍去). (2)解法一:设直线AP:y-1=k(x-1),则Q , 由y1,
32、知0k . 联立 消去x得ky2-y+1-k=0, 则yP= ,P . 所以|AP|= |xP-1|= = , |AQ|= |xQ-1|= = , 点B到直线AP的距离d= = = .,所以S1-5S2= |AP|d- |AQ|d= (|AP|-5|AQ|)d = = - (k+1)= = -24, 故当k= 时,S1-5S2有最小值-24. 解法二:设P(t2,t)(t1),则kAP= ,所以直线AQ:y-1= (x-1),则Q(-t,0). 又直线AB:x+y-2=0,|AB|=3 . 则点P到直线AB的距离d1= = ,点Q到直线AB的距离d2= = , 所以S1-5S2= |AB|(d
33、1-5d2)= = (t-2)2-24. 故当t=2时,S1-5S2有最小值-24.,9.(2019浙江嵊州高三上期末,21)已知抛物线y2=2x,P(1,0),M(0,a),其中a0,过点M作抛物线的切 线,切点为A(不同于原点O),过点A、P作直线交抛物线于点B,过点M、P作直线交抛物线于 点C、D. (1)直线MA、MP的斜率之积为定值; (2)若BCD的面积为 ,求实数a的值.,解析 (1)证法一:设A(2m2,2m)(m0),则kAM= ,所以直线AM:y= x+a,即x= (y-a), (1分) 与抛物线方程联立得y2- y+ =0, (3分) 因为直线AM与抛物线相切, 所以=
34、- =0,解得m=a, (5分) 所以A(2a2,2a),所以kMAkMP= =- ,为定值. (7分) 证法二:把抛物线的标准方程化为x= y2, 则x=y,设A(2m2,2m)(m0), (1分) 则 =2m,所以kAM= = ,化简得m=a, 所以A(2a2,2a), (5分) 所以kMAkMP= =- ,为定值. (7分) (2)易得kCD=kMP=-a,所以直线CD:y=-ax+a,即x=- y+1,与抛物线方程联立得y2+ y-2=0, (9分) 设C(x1,y1),D(x2,y2), |y1-y2|= = ,|CD|= |y1-y2|= , 又kAB= ,所以直线AB:y= (x
35、-1),即x= y+1,与抛物线方程联立得y2- y-2=0, 所以yAyB=-2, 所以yB=- ,所以B , (12分) 所以点B到直线CD的距离d= , (13分) 所以SBCD= = ,整理得 = , 所以 = ,解得a=2或a=-2(舍去). (15分),解题思维 (1)证法一:设A点坐标AM斜率AM方程与抛物线方程联立消x=0得m=a kMAkMP为定值. 证法二:抛物线方程视为函数关系导数几何意义得出m=akMAkMP为定值. (2)直线CD与抛物线方程联立用弦长公式求出|CD|直线AB与抛物线方程联立点B坐标 计算点B到直线CD的距离根据面积列出关于a的方程求解.,C组 201
36、72019年高考模拟应用创新题组 (2019 53原创题)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点是椭圆 + =1的一个顶点. (1)求E的方程. (2)已知点P(2,4),斜率为-1的直线l与E交于异于点P的两个不同的点M,N,若直线PM,PN分别与x 轴交于A,B两点,求证:PAB为等腰三角形.,解析 (1)由y2=2px(p0)可知E的焦点为 , 又椭圆 + =1的右顶点为(2,0), =2,p=4,E的方程为y2=8x. (2)证明:设l:y=-x+m,M(x1,y1),N(x2,y2). 由 消去y可得x2-2(m+4)x+m2=0. 则x1+x2=2(m+4),x1x2=m2. 由=4(m+4)2-4m20可得m-2.,kPM+kPN= + = + = = = =0,直线PM与PN的倾斜角互补, PAB=PBA,即PAB为等腰三角形.,
