1、(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+ ,x0,1.证明: (1)f(x)1-x+x2; (2) f(x) .,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,证明 (1)1-x+x2-x3= = , 由于x0,1,故 ,即1-x+x2-x3 , 所以f(x)1-x+x2.,(2)由0x1得x3x,故f(x)=x3+ x+ =x+ - + = + , 所以f(x) . 由(1)得f(x)1-x+x2= + , 又因为f = ,所以f(x) . 综上, f(x) .,疑难突破 (1)将证明f(x)1-x+x2转化为证明1-x+x2-x3 成立,而左边= = =右边,从而问题得证. (2)运用
2、放缩思想,由0x1x3x,从而f(x)=x3+ x+ ,而x+ =x+ - + = + ,由(1)及f = 得f(x) ,从而问题得证.,考点一 基本不等式,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2019天津理,13,5分)设x0,y0,x+2y=5,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运 算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养. x+2y=5,x0,y0, = = =2 + 2 =4 ,当且仅当 即 或 时,原式取得最小值4 .,2.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x
3、0)上的一个动点,则点P到直线 x+y=0的距离的最小值是 .,答案 4,解析 本题通过曲线y=x+ (x0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基 本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何 关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养. 设P ,x00,则点P到直线x+y=0的距离d= = 4,当且仅当x0= , 即x0= 时取“=”. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.,一题多解 当点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行. 设P ,x00,易知y=1- , 令1- =-1,得 =2. x00,x0=
4、 ,P( ,3 ). 此时点P到直线x+y=0的距离为 =4. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.,3.(2019上海,7,5分)若x,yR+,且 +2y=3,则 的最大值为 .,答案,解析 本题主要考查函数的最值,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力. x0, =3-2y,3-2y0,y0,0y , =3y-2y2=-2 + ,当y= 时, = .,一题多解 x,yR+,则3= +2y2 , ,即 , 当且仅当 =2y= ,即x= ,y= 时, 取最大值,为 .,4.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交 AC于
5、点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 .,答案 9,解析 本题考查基本不等式及其应用. 依题意画出图形,如图所示. 易知SABD+SBCD=SABC, 即 csin 60+ asin 60= acsin 120, a+c=ac, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.,一题多解 作DECB交AB于E, BD为ABC的平分线, = = , DECB, = = = , = , = . = + . = , 1= + +2 | | | ,1= ,ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即a= ,c=
6、3时取“=”.,一题多解2 以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则D(1,0).AB=c,BC=a, A ,C . A,D,C三点共线, , + c =0, ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.,5.(2018天津文,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 .,答案,解析 本题主要考查运用基本不等式求最值. a-3b+6=0,a-3b=-6, 2a+ =2a+2-3b2 =2 =2 = . 当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+ 取得最小值,为 .,易
7、错警示 利用基本不等式求最值应注意的问题: (1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件.,6.(2017山东文,12,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .,答案 8,解析 本题考查基本不等式及其应用. 由题设可得 + =1,a0,b0, 2a+b=(2a+b) =2+ + +24+2 =8 . 故2a+b的最小值为8.,7.(2017天津文,13,5分)若a,bR,ab0,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本
8、题考查基本不等式的应用. a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立), =4ab+ , 由于ab0,4ab+ 2 =4 当且仅当4ab= 时“=”成立 , 故当且仅当 时, 的最小值为4.,规律方法 利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须 一致.,8.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .,答案 8,解析 sin A=2sin Bsin C, sin(B+C)=2sin Bsin C, 即sin Bcos C+cos Bsin C=2s
9、in Bsin C, 亦即tan B+tan C=2tan Btan C, tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C) =- = , 又ABC为锐角三角形, tan A= 0,tan B+tan C0,tan Btan C1, tan Atan Btan C= tan Btan C,= , 令tan Btan C-1=t,则t0,tan Atan Btan C= =2 2(2+2)=8,当且仅当t= ,即tan Btan C=2时,取“=”. tan Atan Btan C的最小值为8.,考点二 不等式的综合应用,1.(2019课标全国理,6,5分)若ab,则 ( ) A.ln(a-b
10、)0 B.3a0 D.|a|b|,答案 C 本题考查不等式的性质及指数函数和对数函数的单调性;通过特值法和综合法考 查了推理论证能力;考查的核心素养为逻辑推理. ab,a-b0,取a-b=1,则ln(a-b)=0.故A错误. 由y=3x在R上单调递增可知3a3b,故B错误. 由y=x3在R上是增函数可知a3b3,故C正确. 取a=0,b=-1,则|a|b|,故D错误.,易错警示 容易由ab直接得|a|b|而致错.,2.(2019天津理,8,5分)已知aR.设函数f(x)= 若关于x的不等式f(x)0在R上 恒成立,则a的取值范围为 ( ) A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e,答案
11、C 本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题,考查学生推理论证能力及运算求解 能力,将恒成立问题转化为求最值问题,考查了学生化归与转化思想及分类讨论思想. (1)当x1时, f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2, 若a1,则f(x)在(-,1上是减函数,所以f(x)f(1)=10恒成立;若a1,则f(x)f(a)=2a-a2,要 使f(x)0在(-,1上恒成立,只需2a-a20,得0a2,0a1,综合可知,a0时, f(x) 0在(-,1上恒成立. (2)当x1时,ln x0, f(x)=x-aln x0恒成立,即a 恒成立. 令g(x)= ,g(x)= ,令g(x)=0,得x
12、=e,当x(1,e)时,g(x)0,g(x)为增函数,g(x)min=g(e)=e,ae. 综合(1)(2)可知,a的取值范围是0ae,故选C.,解后反思 求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)a在R上 恒成立f(x)mina, f(x)a在R上恒成立f(x)maxa;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行 分类讨论,从而确定参数的取值范围.,3.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)= 设aR,若关于x的不等式f(x) 在R上 恒成立,则a的取值范围是 ( ) A. B. C.-2 ,2 D.,答案 A 本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题. 当x1时,
13、关于x的不等式f(x) 在R上恒成立等价于-x2+x-3 +ax2-x+3在R上恒成 立,即有-x2+ x-3ax2- x+3在R上恒成立.由y=-x2+ x-3图象的对称轴为x= ,可得在x = 处取得最大值- ;由y=x2- x+3图象的对称轴为x= ,可得在x= 处取得最小值 ,则 - a . 当x1时,关于x的不等式f(x) 在R上恒成立等价于- +ax+ 在R上恒成立, 即有- a + 在R上恒成立,因为x1,所以- -2 =-2 ,当且仅当x= 时取得最大值-2 ;因为x1,所以 x+ 2 =2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2 a2. 由可得- a2,故选A.,思路分析 讨论
14、当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+ x-3ax2- x+3, 再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x1时,同样可得- a + ,再利 用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.,4.(2015课标,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|c-d|的充要条件.,证明 (1)因为( + )2=a+b+2 ,( + )2=c+d+2 , 由题设a+b=c+d,abcd得( + )2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若|a-b|cd. 由(1)
15、得 + + . (ii)若 + + , 则( + )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以abcd.于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|c-d|.,综上, + + 是|a-b|c-d|的充要条件.,5.(2015湖南,16(3),6分)设a0,b0,且a+b= + .证明: (1)a+b2; (2)a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,证明 由a+b= + = ,a0,b0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b2 =2,即a+b2. (2)假设a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,
16、这与ab=1 矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,评析 本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证法等知识.难度不大.,考点一 基本不等式,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019浙江台州高三上期末,4)已知实数a,b满足a2+b2=4,则ab的取值范围是 ( ) A.0,2 B.-2,0 C.(-,-22,+ D.-2,2,答案 D 因为4=a2+b22 ,所以|ab|2,从而ab的取值范围是-2,2,故选D.,2.(2019浙江诸暨高三上期末,7)已知a+2b=1(a0,b0),则 + 的最小值等于 ( ) A.4 B.2 +2 C. D
17、.2 +1,答案 B + = + = + -1= (a+2b)-1= + +22 +2,当且仅当a= b时取 到最小值.,一题多解 + = + = + +22 +2,当且仅当a= b时取到最小值.,3.(2019浙江高考信息优化卷(二),7)设a是实数2x,2y的等差中项, 是x,y的等比中项,则实数a 的取值范围是 ( ) A.0,4 B.(-,0)4,+) C.-4,0)(0,4 D.(-,-44,+),答案 D 由已知得a=x+y,|a|=xy,因为(x+y)24xy, 所以a24|a|(a0),即|a|4,故选D.,4.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),15)已知a0,b0,a
18、b+2a+b-3=0,则 + 的最小值 为 .,答案,解析 由ab+2a+b-3=0得(a+1)(b+2)=5,所以 + 2 = ,当且仅当 = 时取等号.,5.(2019浙江金丽衢第一次联考,13)若实数x,y满足xy0,且log2x+log2y=1,则 + 的最小值是 , 的最大值为 .,答案 2;,解析 由已知可得log2xy=1,所以xy=2,则 + 2 =2,当且仅当x=2,y=1时取等号.令x-y=t 0,则 = = = ,当且仅当t=2时取等号.,6.(2019浙江学军中学高三上期中,17)实数x、y、z满足x2+y2+z2=1,则 xy+yz的最大值为 .,答案,解析 由于1=
19、x2+y2+z2= + 2 xy+2 yz= ( xy+yz), xy+yz = ,当且仅当 时取等号,故 xy+yz的最大值为 .,1.(2019浙江高考数学仿真卷(三),8)已知x,y,z为正实数,且xy=2x+y=xyz+z,则z的最小值为 ( ) A. B. C.1 D.,考点二 不等式的综合应用,答案 B 由xy=2x+y2 可得xy8(当且仅当x=2,y=4时取等号). 而由xy=xyz+z=(xy+1)z可知 = =1+ . 所以z ,即z的最小值为 .故选B.,2.(2018浙江宁波模拟(5月),10)已知x,y均为非负实数,且x+y1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值
20、范围 为 ( ) A. B.1,4 C.2,4 D.2,9,答案 A 解法一:令 =z,则x+y+2z=1,满足x,y,z0,问题转化为求4(x2+y2+z2)的取值范 围. 设点A ,B(1,0,0),C(0,1,0),点P(x,y,z)可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点,则| OP|2=x2+y2+z2,于是问题转化为求|OP|的取值范围. 显然|OP|1,|OP|的最小值为O到平面ABC的距离,可以利用等积法计算.因为VO-ABC=VA-OBC,于是 可以得到|OP| ,所以|OP|2 ,即4(x2+y2+z2) .,解法二:因为x,y0,所以 x2+y2(x+y)2, 令t=x
21、+y,则0t1. 4x2+4y2+(1-x-y)24t2+(1-t)2=5t2-2t+14. 当xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0时取等号. 另一方面,4x2+4y2+(1-x-y)22t2+(1-t)2=3t2-2t+1 . 当且仅当x=y= 时取等号. 所以4x2+4y2+(1-x-y)2 .,3.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足 则xyz的最小值为 .,答案 9 -32,解析 将 变形为 由|xy| 知,|1-2z| ,即- 1-2z ,解得2- z -2. 所以xyz=(1-2z)z=-2z2+z在2- , -2上的最小值为9 -32.,
22、B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:15分钟 分值:28分 一、选择题(每小题4分,共8分),1.(2018浙江嘉兴高三期末,8)若f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+ 1)( ) A.都大于1 B.都小于1 C.至少有一个大于1 D.至少有一个小于1,答案 D 若f(x)在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则设f(x)的两个零点分别为x1,x2,不妨设x1x 2,则m-1x1x2m+1,且f(x)=(x-x1)(x-x2). 因为f(m-1)=(m-1-x1)(m-1-x2)=(x1-m+1)(x2-m+1), f(m+
23、1)=(m+1-x1)(m+1-x2), 所以f(m-1)f(m+1)=(x1-m+1)(x2-m+1)(m+1-x1)(m+1-x2) =1, 故f(m-1)和f(m+1)中至少有一个小于1,故选D.,2.(2019浙江高考“超级全能生”联考(2月),7)已知正数x,y满足x+y=1,则 + 的最小值 是 ( ) A. B. C. D.,答案 C x+y=1,2x+2+2y+1=5, + = (2x+2+2y+1) = , 当且仅当2x2-4y2+4x-4y+1=0时等号成立,故选C.,3.(2019浙江台州一中、天台一中高三上期中,17)已知实数 x, y 满足x2-y2-x+3y-2=0
24、,则x2+y2的最 小值为 .,二、填空题(共20分),答案,解析 对x2-y2-x+3y-2=0配方得 = ,则(x+y-2)(x-y+1)=0(其几何图形为两条互相垂 直的直线). 由几何意义可知x2+y2的值为原点到两直线上点的距离的平方,其最小值为原点到直线x-y+1=0 的距离的平方,所以 = = .,4.(2019浙江金华十校高三上期末,16)已知x2+2y2- xy=1(x、yR),则x2+y2的最小值为 .,答案,解析 解法一:设x2+y2=t,则x2+y2=t(x2+2y2- xy), 整理可知,关于x的方程(1-t)x2+ tyx+(1-2t)y2=0有解, 所以=3t2y
25、2-4(1-t)(1-2t)y20,解得 t2, 所以x2+y2的最小值为 .,解法二:配方可得 + y2=1,设 即 则x2+y2=cos2+ sin2+ sin 2 = + + sin 2 = - cos(+) .,5.(2019浙江高考数学仿真卷(一),15)实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则M=3xy+z的最大值为 .,答案,解析 M=3xy+z (x2+y2)+z= (1-z2)+z=- + ,当z= ,x=y= 时,M取得最大值 .,6.(2019浙江高考信息优化卷(一),16)已知a,b,c为正实数,且a+b+c= ,则 的最小值 为 .,答案 2,解析 = =2,当且仅
26、当a=b=c= 时取等号,故 的最小值为2.,7.(2019浙江名校协作体联考(2月),17)若正数a,b,c满足a2+b2+c2-ab-bc=1,则c的最大值是 .,答案,解析 解法一:由题意得 =1-a2- b2+ab, 因为要求c的最大值,所以可取c= + , 对于 ,可将a当作主元, 则当a= 时, 取到最大值 ,所以c= + , 令f(x)= + (0x ),则f (x)= - ,故当x= 时,f(x)取到最大值 , 所以c的最大值是 .,解法二:由a2+b2+c2-ab-bc=1变形可知b2+c2-bc-1=a(b-a) = b2, 当且仅当 时取等号,所以 b2+c2-bc-10, c2-1b = b c2 ,即c2-1 c2,得c2 ,所以0c ,当且仅当 时, 取等号. 经验证,取a= ,b= ,c= 时,以上条件成立,所以cmax= .,
