1、(2016浙江文,10,6分)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 , 半径是 .,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,答案 (-2,-4);5,解析 方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+ 8y+10=0,即x2+y2+x+2y+ =0,亦即 +(y+1)2=- ,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+ 8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5.,评析 本题重点考查了圆的一般方程.圆的一般方程除了要求
2、x2,y2的系数相等以外,还要注意 求出的圆的半径的平方必须为正.(对于x2+y2+Dx+Ey+F=0,要求D2+E2-4F0),考点 圆的方程,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2019北京文,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程 为 .,答案 (x-1)2+y2=4,解析 本题考查了圆的方程和抛物线的方程与性质;考查了直线与圆的位置关系. 抛物线的方程为y2=4x,其焦点坐标为F(1,0),准线l的方程为x=-1.又圆与直线l相切,圆 的半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+y2=4.,易错警示 由抛物线方程求焦点坐标时出错,从而导
3、致错解.,2.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .,答案 x2+y2-2x=0,解析 本题主要考查圆的方程. 解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆的圆心为(1,0),半 径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0. 解法二:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由已知条件可得 解得 所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.,方法总结 常见的求圆的方程的方法: (1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程. (
4、2)利用待定系数法,若利用所给条件易求得圆心的坐标和半径长,则常用标准方程求解;若所 给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常用一般方程求解.,3.(2015课标,14,5分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆 的标准方程为 .,答案 +y2=,解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线 的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x= ,所以圆心坐标为 ,则半径r=4- = .故该圆的标准方程为 +y2= .,评析 本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.,4.(2015湖北文,16,5分
5、)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的 上方),且|AB|=2. (1)圆C的标准方程为 ; (2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 .,答案 (1)(x-1)2+(y- )2=2 (2)- -1,解析 (1)记AB的中点为D,在RtBDC中,易得圆C的半径r=BC= .因此圆心C的坐标为(1, ),所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y- )2=2. (2)因为点B的坐标为(0, +1),C的坐标为(1, ),所以直线BC的斜率为-1,所以所求切线的斜 率为1.由点斜式得切线方程为y=x+ +1,故切线在x轴上的截距为- -1.,5.(2018课标
6、全国理,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交 于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.,解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0), 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. =16k2+160,故x1+x2= . 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= . 由题设知 =8,解得k=-1(舍去),或k=1, 因此l的方程为y=x-1.,(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线
7、方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得 或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.,方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注意 利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.,6.(2017课标全国理,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线 段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.,解析 本题考查直线
8、与圆锥曲线的位置关系. (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 由 可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4. 又x1= ,x2= ,故x1x2= =4. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 = =-1,所以OAOB. 故坐标原点O在圆M上.,(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r= . 由于圆M过点P(4,-2), 因此 =0, 故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得y1y2
9、=-4,x1x2=4.,所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=- . 当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为 ,圆M的方程为(x-3)2+(y -1)2=10. 当m=- 时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为 ,圆M的半径为 ,圆M的方程为 + = .,解后反思 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与 系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表 示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.,7.(2016江苏,18,16分)如图
10、,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60= 0及其上一点A(2,4). (1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程; (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程; (3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得 + = ,求实数t的取值范围.,解析 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5. (1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0). 因为圆N与x轴相切,与圆M外切, 所以0y07, 于是圆N的半径为y0, 从而7-y0=5+
11、y0,解得y0=1. 因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. (2)因为直线lOA,所以直线l的斜率为 =2. 设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0, 则圆心M到直线l的距离 d= = . 因为BC=OA= =2 , 而MC2=d2+ ,所以25= +5,解得m=5或m=-15. 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设P(x1,y1),Q(x2,y2). 因为A(2,4),T(t,0), + = , 所以 因为点Q在圆M上, 所以(x2-6)2+(y2-7)2=25. 将代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25. 于是点P(x1,y
12、1)既在圆M上,又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5 5+5, 解得2-2 t2+2 . 因此,实数t的取值范围是2-2 ,2+2 .,评析 本题主要考查直线方程,圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系,平面 向量的运算等基础知识,考查分析问题的能力及运算求解的能力.,考点 圆的方程,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019浙江嘉兴9月基础测试,4)已知点A(1,0),B(0,3),则以AB为直径的圆的方程是 ( ) A.x2+y2-x-3y=0
13、 B.x2+y2+x+3y=0 C.x2+y2+x-3y=0 D.x2+y2-x+3y=0,答案 A 解法一:由题意得圆心坐标为 ,半径为 |AB|= ,所以所求圆的方程为 + = ,即x2+y2-x-3y=0,选A. 解法二:设所求圆上任意一点为M(x,y),则 =0,即(1-x,-y)(-x,3-y)=0,即x2+y2-x-3y=0,选A.,2.(2019浙江温州普通高中适应性测试,7)已知存在实数k,使直线l:y=kx+k2与圆C:x2+(y+4)2=r2(r 0)有公共点,则r的最小值为 ( ) A.2 B.2 C.4 D.2,答案 B 解法一:由 得(1+k2)x2+2k(k2+4)
14、x+(k2+4)2-r2=0, 由0,整理得r2 = =k2+1+ +612,当且仅当k= 时取等 号, 所以rmin=2 . 解法二:直线l:kx-y+k2=0,圆C的圆心为A(0,-4),点A到直线l的距离d= , 依题意得dr,即 r, 令 =t,则t1,k2=t2-1,即rt+ 2 ,当且仅当t= 时取等 号,所以r2 ,故选B.,3.(2018浙江温州三模(5月),15)已知点P是圆x2+y2=1上任意一点,A(-5,0),B(b,0)(b0),若 = (为定值),则b= .,答案 -1,解析 取P(-1,0),则|PA|=4,|PB|=|1+b|;取P(1,0),则|PA|=6,|
15、PB|=|1-b|. 所以= = ,这样b=-5(舍)或b=- ,此时=5,所以b=-1.,4.(2019浙江高考数学仿真卷(三),12)已知圆的方程x2+y2-2x-4y+m+3=0(mR),则m的取值范围 为 ,经过圆心且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .,答案 m2;x+y-3=0或2x-y=0,解析 易知圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2-m, 2-m0,即m2,圆心(1,2).若直线经过原点,则直线方程为2x-y=0,若直线不经过原点,则直线方 程为x+y-3=0.所以经过圆心且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y-3=0或2x-y=0.,5.(2019浙江宁波北仑中学
16、高三模拟(一),13)已知双曲线x2- =1(m0)的离心率是2,则m= ,以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 .,答案 3;(x-2)2+y2=3,解析 由题意得e= = =2,故m=3,其渐近线方程为y= x,右焦点为(2,0),则圆心到渐近 线的距离即为半径r,r= ,故所求圆的方程为(x-2)2+y2=3.,6.(2017浙江镇海中学阶段检测,21)已知过点P(0,-2),且斜率为k的直线l与圆C:x2+y2-10x-2y+22= 0交于A,B两点,若5 =3 ,求k的值.,解析 设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得(1+k2)x
17、2-(6k+10)x+30=0, 则有 又5 =3 ,得5x1=3x2,代入上式得 消去x1得32(1+k2)=(3k+5)2,解得k=1或k= . 当直线方程为x-y-2=0时,圆心(5,1)到直线的距离为 2,即直线与圆相交,符合题意.当直线方 程为7x-23y-46=0时,圆心(5,1)到直线的距离为 2,即直线与圆也相交,符合题意. 故k的值为1或 .,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:10分钟 分值:22分 一、选择题(每小题4分,共12分),1.(2018浙江金华十校模拟(4月),6)已知椭圆 + =1(ab0)经过圆x2+y2-4x-2y=0的圆心,则ab 的取
18、值范围是 ( ) A. B.4,+) C. D.(0,4,答案 B 易知圆x2+y2-4x-2y=0的圆心坐标为(2,1),所以 + =1, 由基本不等式知1= + 2 = ,当且仅当 = 时取等号,所以ab4,故选B.,一题多解 该题也可利用三角代换处理,设 =cos , =sin ,且满足 ,即tan . 此时ab= =2 =2 =2 4,+).,2.(2019浙江高考模拟仿真卷(二),3)点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对 称,则该圆的半径为 ( ) A.3 B.2 C. D.1,答案 A 将圆的一般方程化为标准方程: +(y+1)2= k2
19、+5.因为圆上的点M,N关于直线x -y+1=0对称,所以直线x-y+1=0过圆心 ,所以- +1+1=0,解得k=4,所以半径r= = 3,故选A.,3.(2019浙江高考模拟试卷(五),7)若圆x2+y2-4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax+2by-2=0(a0,b 0)对称,则 + 的最小值为 ( ) A. +1 B.3+2 C.2 D.9,答案 B 由已知得圆x2+y2-4x-2y-1=0的圆心为(2,1),直线ax+2by-2=0必经过圆心(2,1),即a+b= 1,所以 + = (a+b)=3+ + 3+2 =3+2 ,当且仅当 = 时等号成立,故选B.,4.(2019浙江“
20、七彩阳光”联盟期初联考,11)公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollo- nius)在平面轨迹一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:平面内到两定点 距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.在平面直角 坐标系中,若A(-2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹的圆心为 ,面积为 .,二、填空题(共10分),答案 ; ,解析 设P(x,y),由|PA|=2|PB|得 +y2= ,所以圆心是 ,半径是 ,面积是 .,5.(2019浙江高考模拟卷,15)若圆C:x2+y2=r2(r0)的周长被直线l:(1-t2)x+2ty-(1+t2)=0(tR)所截, 且分得的比例为1:3,则圆C的方程是 .,答案 x2+y2=2,解析 设圆心到直线的距离为d,则由题意得圆心到直线的距离d= =1,所以有r= d= . 所以圆C的方程为x2+y2=2.,
