1、考点 复数的概念及运算,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,1.(2018浙江,4,4分)复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 ( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i,答案 B 本题考查复数的有关概念和运算. = =1+i, 的共轭复数为1-i.,思路分析 (1)利用复数的运算法则把 化为a+bi(a,bR)的形式; (2)由共轭复数的定义得出结论.,2.(2019浙江,11,4分)复数z= (i为虚数单位),则|z|= .,答案,解析 本题考查复数的概念及其四则运算,重点考查对概念的理解以及运算能力. z= = = = - i, |z|= = .,3.(2017浙江,12,
2、6分)已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .,答案 5;2,解析 本题考查复数的四则运算,复数相等的充要条件,复数模的运算,解二元二次方程组,考 查运算求解能力. 解法一:(a+bi)2=a2-b2+2abi,a,bR, a2+b2=2a2-3=5,ab=2. 解法二:由解法一知ab=2, 又|(a+bi)2|=|3+4i|=5,a2+b2=5.,4.(2016浙江自选,“复数与导数”模块,03(1),5分)已知i为虚数单位.若复数z满足(z+i)2=2i,求复数z.,解析 设复数z=a+bi,a,bR,由题意得a2-(b+1)2+2a(b+1)i
3、=2i, 解得 或 z=1或z=-1-2i.,评析 本题考查复数的运算,正确将(z+i)2=2i变形是求解的关键.,5.(2015浙江自选,“复数与导数”模块,03(1),5分)已知i是虚数单位,a,bR,复数z=1+ai满足z2+ z=1+bi,求a2+b2的值.,解析 由题意得(2-a2)+3ai=1+bi, 解得a2=1,b=3a, 故a2+b2=10.,考点 复数的概念及运算,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2019课标全国文,2,5分)设z=i(2+i),则 = ( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i,答案 D 本题主要考查复数的有关概念及复数的
4、运算;考查学生的运算求解能力;考查数学 运算的核心素养. z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i, =-1-2i,故选D.,解题关键 正确理解共轭复数的概念是求解的关键.,2.(2019课标全国文,2,5分)若z(1+i)=2i,则z= ( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i,答案 D 本题考查复数的四则运算,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 由题意得z= = =1+i,故选D.,解题关键 牢记i2=-1.分母实数化是求解本题的关键.,3.(2019北京文,2,5分)已知复数z=2+i,则z = ( ) A. B. C.3 D.5,答案 D 本题主要考查
5、复数的运算,共轭复数的概念,考查学生运算求解的能力,考查的核心 素养是数学运算. z=2+i, =2-i,z =(2+i)(2-i)=4+1=5,故选D.,4.(2019课标全国文,1,5分)设z= ,则|z|= ( ) A.2 B. C. D.1,答案 C 本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. z= = = = = - i, |z|= = ,故选C.,易错警示 易将i2误算为1,导致计算出错.,5.(2019课标全国理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则 ( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
6、C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1,答案 C 本题主要考查复数的概念及几何意义;考查学生的运算求解能力,以及数形结合思 想;考查的核心素养是数学运算. 设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P,则P(0,1),且|z-i|表示复平面内点Z与点P之间的距离, 所以点Z(x,y)到点P(0,1)的距离为定值1,所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,故选C.,6.(2019课标全国理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 C 本题考查了复数的概念与运算;考查的核心素养为数学运算. z
7、=-3+2i, =-3-2i, 在复平面内, 对应的点为(-3,-2),此点在第三象限.,7.(2018课标全国理,1,5分) = ( ) A.- - i B.- + i C.- - i D.- + i,答案 D 本题主要考查复数的四则运算. = = =- + i,故选D.,8.(2018课标全国文,2,5分)设z= +2i,则|z|= ( ) A.0 B. C.1 D.,答案 C z= +2i= +2i= +2i=i, |z|=|i|=1,故选C.,9.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数 的共轭复数对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案
8、D 本题主要考查复数的概念、运算和几何意义. = = + i,其共轭复数为 - i,又 - i在复平面内对应的点 在第四象 限,故选D.,10.(2018课标全国理,2,5分)(1+i)(2-i)= ( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i,答案 D 本题考查复数的运算. (1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.,11.(2017课标全国文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i),答案 C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i2i=-2; B.i2(1
9、-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i; D.i(1+i)=-1+i,故选C.,12.(2017北京文,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围 是 ( ) A.(-,1) B.(-,-1) C.(1,+) D.(-1,+),答案 B 本题考查复数的运算. 复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限, a-1.故选B.,13.(2017课标全国理,3,5分)设有下面四个命题: p1:若复数z满足 R,则zR; p2:若复数z满足z2R,则zR; p3:若复数z1,z2满足z1z2R,则z1= ; p4
10、:若复数zR,则 R. 其中的真命题为 ( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4,答案 B 本题考查复数与共轭复数的概念、复数的运算以及命题真假的判断,考查学生的 逻辑思维能力和运算求解能力. 解法一(特值法):取z=i,则z2=-1R,但zR,故命题p2不正确;取z1=i,z2=2i,则 =-2i,z1z2=-2R,但z1 ,故命题p3不正确,结合选项可知选B. 解法二(直接法):对于命题p1,设z=a+bi(a,bR),由 = = R,得b=0,则zR成立,故命 题p1正确;对于命题p2,设z=a+bi(a,bR),由z2=(a2-b2)+2abiR,得ab=
11、0,则a=0或b=0,复数z可能为 实数或纯虚数,故命题p2错误;对于命题p3,设z1=a+bi(a,bR),z2=c+di(c,dR),由z1z2=(ac-bd)+ (ad+bc)iR,得ad+bc=0,不一定有z1= ,故命题p3错误;对于命题p4,设z=a+bi(a,bR),则由zR, 得b=0,所以 =aR成立,故命题p4正确.故选B.,14.(2017山东理,2,5分)已知aR,i是虚数单位.若z=a+ i,z =4,则a= ( ) A.1或-1 B. 或- C.- D.,答案 A 本题主要考查复数的概念及运算. z=a+ i, =a- i,又z =4,(a+ i)(a- i)=4,
12、a2+3=4,a2=1,a=1.故选A.,15.(2016课标全国,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= ( ) A.1 B. C. D.2,答案 B x,yR,(1+i)x=1+yi,x+xi=1+yi, |x+yi|=|1+i|= = .故选B.,评析 本题考查复数相等的条件,属容易题.,16.(2016课标全国,2,5分)若z=1+2i,则 = ( ) A.1 B.-1 C.i D.-i,答案 C z =(1+2i)(1-2i)=5, = =i,故选C.,17.(2016课标全国,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则
13、实数m的取 值范围是 ( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+) D.(-,-3),答案 A 由已知可得 -3m1.故选A.,18.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+ =3-2i,其中i为虚数单位,则z= ( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i,答案 B 设z=a+bi(a、bR),则2z+ =2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,a=1,b=-2,z=1-2i,故选B.,19.(2015课标,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i, 则a= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,答案 B (2+ai)(a-
14、2i)=-4i4a+(a2-4)i=-4i, 解得a=0.,20.(2015安徽,1,5分)设i是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 B = =-1+i,复数 在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.,21.(2015湖北,1,5分)i为虚数单位,i607的 为 ( ) A.i B.-i C.1 D.-1,答案 A i607=i4151+3=(i4)151i3=-i, i607的共轭复数为i.,22.(2015湖南,1,5分)已知 =1+i(i为虚数单位),则复 数z= ( ) A.1+i B.1-i C
15、.-1+i D.-1-i,答案 D z= = = =-1-i.,23.(2015山东,2,5分)若复数z满足 =i,其中i为虚数单位,则z= ( ) A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i,答案 A =i(1-i)=1+i,则z=1-i.,24.(2015四川,2,5分)设i是虚数单位,则复数i3- = ( ) A.-i B.-3i C.i D.3i,答案 C i3- =-i+2i=i.故选C.,25.(2015福建,1,5分)若集合A=i,i2,i3,i4(i是虚数单位),B=1,-1,则AB等于 ( ) A.-1 B.1 C.1,-1 D.,答案 C A=i,-1,-i,1,B
16、=1,-1,所以AB=1,-1,故选C.,26.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 .,答案 2,解析 本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. (a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0, a-2=0,解得a=2.,解题关键 掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.,27.(2019天津文,9,5分)i是虚数单位,则 的值为 .,答案,解析 本题考查复数的四则运算,以复数的模为背景考查学生的运算求解能力. = = =|2-3i|= = .,小题巧解 = = =
17、 .,28.(2018江苏,2,5分)若复数z满足iz=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为 .,答案 2,解析 本题考查复数的概念、复数的运算. iz=1+2i,z= = =2-i. 复数z的实部为2.,一题多解 设z=x+yi,x,yR, iz=1+2i, i(x+yi)=1+2i,即-y+xi=1+2i, x=2,y=-1,复数z的实部为2.,29.(2018天津文,9,5分)i是虚数单位,复数 = .,答案 4-i,解析 本题主要考查复数的四则运算. = = =4-i.,30.(2017天津文,9,5分)已知aR,i为虚数单位,若 为实数,则a的值为 .,答案 -2,解析 因为 =
18、 为实数,所以- =0, 解得a=-2.,31.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 .,答案,解析 本题考查复数的运算. z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1, |z|= = .,32.(2016北京,9,5分)设aR.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .,答案 -1,解析 (1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,aR,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,a+1=0,a=-1.,33.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 .,答
19、案 5,解析 (1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.,34.(2015重庆,11,5分)设复数a+bi(a,bR)的模为 ,则(a+bi)(a-bi)= .,答案 3,解析 复数a+bi(a,bR)的模为 = ,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2i2=a2+b2=3.,35.(2015江苏,3,5分)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为 .,答案,解析 设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi, 由复数相等的定义得 解得 或 从而|z|= = .,考点 复数的概念及运算,C组 教师专用题组
20、,1.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2= ( ) A.-2i B.2i C.-2 D.2,答案 A 本题考查复数的运算. 由zi=1+i得z= =1-i, 所以z2=(1-i)2=-2i,故选A.,2.(2017课标全国文,2,5分)(1+i)(2+i)= ( ) A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i,答案 B 本题考查复数的基本运算. (1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.,3.(2017课标全国文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四
21、象限,答案 C z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限. 故选C.,4.(2015课标,1,5分)设复数z满足 =i,则|z|= ( ) A.1 B. C. D.2,答案 A 由已知 =i,可得z= = = =i,|z|=|i|=1,故选A.,5.(2015北京,1,5分)复数i(2-i)= ( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i,答案 A i(2-i)=2i-i2=1+2i,故选A.,6.(2015广东,2,5分)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则 = ( ) A.2-3i B
22、.2+3i C.3+2i D.3-2i,答案 A i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2+3i, 所以 =2-3i,故选A.,7.(2016天津,9,5分)已知a,bR,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则 的值为 .,答案 2,解析 由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则 解得 所以 =2.,8.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 .,答案 -2,解析 (1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数, 解得a=-2.,考点 复数的概念及运算,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考
23、点基础题组,1.(2019浙江高考信息优化卷(一),1)已知复数z=1-i,则 =( ) A.i B.-i C. + D. -,答案 C = = = = + ,故选C.,2.(2019浙江三校第一次联考(4月),2)已知i为虚数单位,z= ,则z的虚部为 ( ) A.1 B. -2 C. 2 D. -2i,答案 B 由题意可知,z= =1-2i,所以z的虚部为-2,故选B.,3.(2019浙江高考信息优化卷(二),2)复数z= (aR,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可 能位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限,答案 A 因为z= a-1-(a+1)i,所以z
24、在复平面上对应的点为 ,又点 在直线x+y+2=0上,故不过第一象限,故选A.,4.(2019浙江高考信息优化卷(四),1)复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 ( ) A. B. C. D.,答案 B = ,所以其共轭复数为 = .故选B.,5.(2019浙江高考信息优化卷(三),3)已知i是虚数单位,若z1=a+i,z2=a-i,若 为纯虚数,则实数a= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.1或-1,答案 D 由题意知 = = = 为纯虚数,则a2-1=0且2a0,所以a=1.故 选D.,6.(2019浙江浙南联盟高三上期末,4)若复数z1=2+i,z2=cos +isin (R),其中i
25、是虚数单位,则|z1 -z2|的最大值为 ( ) A. -1 B. C. +1 D.,答案 C |z1-z2|=|(2-cos )+(1-sin )i|= = , 利用辅助角公式知|z1-z2|= , 由三角函数图象的性质知|z1-z2|max= = +1,故选C.,7.(2019浙江台州高三上期末,2)设复数z满足iz=2+i,其中i为虚数单位,则复数z对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 D 易知z= =1-2i,其对应的点坐标为(1,-2),位于第四象限,故选D.,8.(2019浙江高考“超级全能生”联考(2月),2)已知复数z= (i为虚数
26、单位),则其共轭复数 的 虚部为 ( ) A.- B. C.- i D. i,答案 A 由复数的四则运算法则知z= = = + i,则 = - i,所以 的虚部为- , 故选A.,9.(2019浙江宁波高三上期末,11)设i为虚数单位,复数z= ,则z的虚部为 ,模为 .,答案 -1;,解析 z= = = =-1-i,则其虚部为-1,模为 .,10.(2019浙江名校协作体联考(2月),11)若复数z= -2i,则z的虚部为 ,|z|= .,答案 -3;3,解析 z= -2i=-3i,z的虚部为-3,|z|=3.,11.(2019浙江学军中学高三上期中,11)复数z= (i为虚数单位),则复数
27、z的虚部为 , 模为 .,答案 ;,解析 z= = = ,因此复数z的虚部为 ,模为 = .,12.(2019浙江高考数学仿真卷,11)设复数z=5+bi(bR,i为虚数单位),若|z|=7,则b= ;若z2=1 6+30i,则b= .,答案 2 ;3,解析 易知 =7b=2 ; (5+bi)2=25+10bi-b2=16+30i,25-b2=16,10b=30, b=3.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:25分钟 分值:50分 一、选择题(每小题4分,共32分),1.(2019浙江金丽衢第二次联考,3)复数z1=2-i,z2=3+i,则|z1z2|= ( ) A. 5 B
28、. 6 C. 7 D. 5,答案 D z1z2=(2-i)(3+i)=7-i,所以|z1z2|= =5 ,故选D.,2.(2019浙江高考数学仿真卷(二),2)复数z= (i为虚数单位)的虚部为2,则实数m的值是 ( ) A.2 B. 4 C. 2 D. 4,答案 B z= = = , =2,m=4,故选B.,3.(2019浙江高考数学仿真卷(一),3)若复数z满足(1+3i)z=1(i为虚数单位),则 的虚部是 ( ) A. B.- C. i D.- i,答案 A 易知z= = = = - , = + ,复数 的虚部为 ,故选A.,4.(2019浙江绍兴数学调测(3月),2)已知i为虚数单位
29、,则 = ( ) A.-1 B.1 C.-1+i D.1+i,答案 B =- =- =1,故选B.,5.(2019浙江杭州高级中学高三上期中,2)复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 ( ) A.2-i B.2+i C.-2+i D.-2-i,答案 A = =2+i,故其共轭复数为2-i,故选A.,6.(2019浙江高考数学仿真卷,3)在复平面内,复数z= (i为虚数单位)对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 D z= = = = - ,故z在复平面内对应的点为 ,位于第四象限,故选D.,7.(2019浙江诸暨高三上期末,2)a,b,cR,i是虚数单
30、位,若 =ci,则 ( ) A.a=b B.a= C.a=-b D.a=-,答案 C 由题意得1+ai=(b+i)ci=-c+bci,c=-1, a=-b,故选C.,8.(2019浙江宁波北仑中学高三模拟(二),3)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,1) B.(-,-1) C.(1,+) D.(-1,+),答案 B 因为(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以 解得a-1,故选B.,9.(2019浙江高考数学仿真卷(三),11)历史上虚数的引入并非一帆风顺,在16世纪以前的
31、数学家 看来,负数开平方就是一件“不可能”的事情.复数最早出现在16世纪意大利数学家卡当的数 学著作大术中:将10分成两个部分,使它们的乘积等于40.卡当得到的两个数是5+ 和5 - ,他是数学史上第一个使用负数平方根的人.不过,他称这样的数为“诡辩式的数”.1637 年法国数学家笛卡尔在几何学中给出“虚数”这个术语,即虚构出来的数.1777年瑞士科 学家欧拉在微分公式一文中用i表示 ,首创了用符号i作为虚数单位.已知a,bR,复数z =a+i且 =1+bi(i为虚数单位),则a-b= ,|z|= .,二、填空题(共18分),答案 -1;,解析 由题意得a+i=(1+bi)(1-i)=1+b+(b-1)i, 由复数相等的充要条件知 解得 所以a-b=1,z=3+i,所以|z|= .,10.(2019浙江金华十校高三上期末,11)已知复数z的共轭复数 = ,则复数z的虚部是 ,| z|= .,答案 - ;,解析 由 = = = + i,可得z= - i,所以复数z的虚部是- , |z|= = .,11.(2019浙江嵊州高三上期末,11)已知复数z=a+bi(a,bR,i是虚数单位)是方程x2-2x+5=0的解, 则a= ,b= .,答案 1;2,解析 由求根公式得方程的解为x= =12i,因此a=1,b=2.,
